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高校数学C 楕円の軸と焦点—分母の大小と座標軸を分けて図の情報を復元する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 式と曲線を掘り下げる

縦長の式で大きい分母を見つけ、頂点と焦点を座標に戻す手順をたどります。円との境目も含めて読み解く楕円の軸と焦点です。

よくあるのは、理系の高校3年生が縦長の楕円を描いたのに、焦点を横軸上に置いてしまう場面です。焦点の距離を求める式は覚えていても、その距離をどちらの軸に取るかが曖昧だと、計算結果と図が別々の話になります。まず軸との交点を式から取り出し、長い方向を決めてから焦点を置きましょう。

式と図を行き来する問い

出方の1つは、分母の異なる2つの平方の和が1となる式から、頂点、軸の長さ、焦点を求めるものです。分母の平方根が中心から軸端までの距離です。大小を比べる前に、どの分母がどの座標についているかを見ます。

別の型では、長軸の方向と長さ、焦点の位置などから式を復元します。条件が矛盾する場合もあるので、数を代入して終わらず、長半軸が短半軸より長く正であることまで調べます。さらに、文字を含む式では分母の大小が入れ替わる値と、等しくなる値を境に分けます。等しいと円になり、長軸の方向を一方に決められません。

軸端から焦点へ

中心が原点で座標軸に沿う楕円を考えます。正の数 a, b が a > b > 0 を満たすとき、横長の標準形は x²/a² + y²/b² = 1 です。x軸上では y = 0 とおくので x = ±a、y軸上では x = 0 とおくので y = ±b です。軸端は (±a, 0), (0, ±b) です。長半軸は a、短半軸は b、長軸の長さは 2a、短軸の長さは 2b です。半分の長さと端から端までの長さを区別します。

焦点を (±c, 0) とすると、c > 0 で c² = a² − b² です。長軸上に焦点があり、c < a なので焦点は長軸の両端の間にあります。図1のように、短軸端 (0, b) から両焦点までの距離はそれぞれ √(b² + c²) = a です。したがって距離の和は 2a になります。軸端でも距離の和は (a − c) + (a + c) = 2a です。

図1のように長い方の軸に焦点を置きます。縦長なら座標を交換し、x²/b² + y²/a² = 1、焦点 (0, ±c)、長軸端 (0, ±a)、短軸端 (±b, 0) となります。c²の引き算は大きい分母から小さい分母を引くので、縦長でも負になりません。

分母が等しいときは x² + y² = a² という円です。中心から各方向への半径が等しいため、長軸と短軸の方向は決まりません。式 c² = 0 から2つの焦点は中心に重なりますが、異なる2焦点を持つ楕円の図と区別します。分母が0以下の式は、ここで扱う正の半軸を持つ標準形ではありません。

基本例題：縦の分母を読む

問題：x²/9 + y²/25 = 1 について、長軸と短軸の長さ、4つの軸端、2つの焦点を求めてください。長さは整数、座標は整数で表します。

まず分母は正で、25 > 9 です。25は y² の下にあるため縦長です。半軸は平方根なので、長半軸 a = 5、短半軸 b = 3 です。図2のように縦の端が中心から5、横の端が3離れます。

図2の焦点までの距離 c は正として次のように求まります。

c² = a² - b²
   = 25 - 9
   = 16
c = 4

したがって長軸の長さは 10、短軸の長さは 6 です。長軸端は (0, ±5)、短軸端は (±3, 0)、焦点は (0, ±4) です。±はそれぞれ正負の2点を表します。

元の式に軸端を戻すと、(0, 5) は 0/9 + 25/25 = 1、(3, 0) は 9/9 + 0/25 = 1 です。符号を変えた2点も平方が同じです。また短軸端 (3, 0) から両焦点までの距離はそれぞれ √(3² + 4²) = 5、和は10です。縦の端 (0, 5) からの距離は1と9で、和はやはり10です。数値と焦点の方向の両方を戻して確かめられます。

標準例題：図の条件から式へ

問題：中心が原点で軸が座標軸に沿う楕円の長軸は横向きで、その長さは 26 です。焦点は (±5, 0) です。方程式と短軸の長さを、整数を使って求めてください。

長軸の長さは半軸の2倍なので、a = 26/2 = 13 です。焦点は横軸上で c = 5、確かに 0 < 5 < 13 です。短半軸を正の b として求めます。

c² = a² - b²
b² = a² - c²
   = 13² - 5²
   = 169 - 25
   = 144
b = 12

13 > 12 > 0 が成り立つので、横長の標準形として使えます。求める方程式は x²/169 + y²/144 = 1、短軸の長さは 24 です。復元した式の横軸端は (±13, 0) で長さ26、焦点は c² = 169 − 144 = 25 より (±5, 0) です。短軸端 (0, 12) から両焦点までの距離は各13で、距離和も26に戻ります。

焦点までの距離が長半軸以上なら、この手順で正の短半軸は得られません。等しい場合は b = 0、超える場合は b² < 0 となり、どちらも指定した楕円ではありません。条件から計算できることと、条件を満たす図が存在することは別に確認します。

発展例題：向きが変わる境界

問題：実数 t について x²/(t + 2) + y²/(10 − t) = 1 を考えます。両分母が正である範囲を求め、横長、縦長、円となる t の範囲を分けてください。さらに t = 6 で焦点を根号を使って求めてください。

両分母が正という条件は次の通りです。

t + 2 > 0
10 - t > 0
-2 < t < 10

長い方向を決める境目は2つの分母が等しい値です。

t + 2 = 10 - t
2t = 8
t = 4

-2 < t < 4 なら y² の分母が大きいので縦長、4 < t < 10 なら x² の分母が大きいので横長です。t = 4 では両分母が6となり、x² + y² = 6 の円です。端の t = -2, 10 は分母が0になるので元の式に含めません。

t = 6 では分母が8と4で、横長です。a² = 8、b² = 4 として c² = 8 − 4 = 4、c = 2 です。焦点は (±2, 0) となります。横軸端 (√8, 0) では焦点までの距離の和が (√8 − 2) + (√8 + 2) = 2√8 です。短軸端 (0, 2) でも距離は各 √8 となり、同じ和に戻ります。

たとえば範囲の外の t = 11 では片方の分母が負です。形式的に差を計算しても、両半軸が正の楕円という前提を満たしません。境界値で円、端で分母0、範囲外で正値の条件が崩れることを別々に扱います。

誤答を図で修正する

基本例題で c = 4 と求めた後、焦点を (±4, 0) と書く誤答を考えます。計算した距離は正しくても、焦点の向きが違います。図3の横軸上の点は、短軸端よりさらに外にあります。

図3のように縦方向が長軸なので、正しい焦点は (0, ±4) です。誤った点を焦点と考えて横軸端 (3, 0) からの距離を足すと 1 + 7 = 8 です。一方、縦軸端 (0, 5) からの距離の和は 2√41 で、一定ではありません。つまり誤った配置は距離和の条件にも戻りません。

原因は、c の値を求める計算と座標を置く方向を分離しなかったことです。修正するときは、まず分母25が y² の下にあると印を付け、次に長軸を縦に描き、最後に中心から上下へ4を測ります。値だけでなく、座標のどちらが0かまで口に出すと、図と式の食い違いを見つけやすくなります。

軸長を5と答える誤りも別に生じます。5は中心から一端までの距離であり、反対側にも同じ長さがあるため、端から端までは 5 + 5 = 10 です。図で測る区間を示してから数字を書くと区別できます。

条件が不足する場合と矛盾する場合

長軸が横向きで長さがわかっても、焦点までの距離が指定されなければ短軸の長さは決まりません。たとえば長半軸が5なら、短半軸を3とする図も4とする図も条件を満たします。それぞれ焦点までの距離は4と3です。両方とも長軸は横向きで長さ10ですが、縦の広がりと焦点の位置は異なります。与えられた条件が向きと大きさのどこまでを決めるか、図の空欄を数えて考えましょう。

一方、焦点の位置と長軸の向きが食い違う条件は、情報が不足しているのではなく矛盾しています。異なる2焦点が縦軸上にあるなら長軸も縦軸上です。横向きと指定された図にはできません。焦点が原点に重なる場合は円として別に判断し、焦点の並びから方向を決める操作は使いません。

式が標準形に見えない場合には、右辺を1にする前に割る数の符号を確認します。たとえば 4x² + 9y² = 36 は、両辺を正の36で割ると x²/9 + y²/4 = 1 です。係数9が大きい y 方向の半軸は2で、係数4の x 方向の半軸は3です。係数の大小をそのまま軸の長さの大小に置き換えると逆になります。右辺が0ならこの例の左辺は非負の項の和なので原点のみ、右辺が負なら実数の点はありません。正の右辺を持つ場合と同じ図を描かないことが必要です。

軸端を先に求めれば、図の横幅と縦幅は式から直接確かめられます。焦点はその後に長軸上へ置き、軸端より内側かどうかも見直します。軸の向きと長さを別々に確かめることが、復元の出発点です。

練習：条件から図を作る

次の5問は、中心が原点で軸が座標軸に沿う図を考えます。座標は整数または根号で表してください。各問を解いた後、元の条件に戻して照合します。

x²/49 + y²/24 = 1 の長軸と短軸の長さ、軸端、焦点を求めてください。
x²/16 + y²/36 = 1 の長軸と短軸の長さ、軸端、焦点を求めてください。
長軸が縦向きで長さ 20、焦点が (0, ±6) である楕円の方程式と短軸の長さを求めてください。
長軸が横向きで長さ 12、焦点が (±6, 0) である楕円は存在しますか。理由も述べてください。
x²/(s + 5) + y²/(13 − s) = 1 の両分母が正のとき、横長、縦長、円となる s の範囲を求めてください。

練習の答えと戻し方

49 > 24 なので横長、a = 7、b = 2√6 です。c² = 49 − 24 = 25 より c = 5 です。長軸は14、短軸は4√6、軸端は (±7, 0), (0, ±2√6)、焦点は (±5, 0) です。軸端を元の式へ入れると各項の和は1です。短軸端から各焦点までの距離は √(24 + 25) = 7、距離和は14です。
36 > 16 なので縦長、a = 6、b = 4 です。c² = 36 − 16 = 20 より c = 2√5 です。長軸は12、短軸は8、軸端は (0, ±6), (±4, 0)、焦点は (0, ±2√5) です。各軸端は元の式を満たし、短軸端から各焦点までの距離は √(16 + 20) = 6 です。距離和12も長軸の長さと一致します。
a = 20/2 = 10、c = 6 です。b² = 100 − 36 = 64、b = 8 です。縦長なので x²/64 + y²/100 = 1、短軸の長さは16です。この式の長軸端は (0, ±10)、焦点は (0, ±√(100 − 64)) = (0, ±6) となり、指定に戻ります。短軸端から各焦点への距離も10です。
a = 6、c = 6 とすると b² = 36 − 36 = 0 です。正の短半軸がないため、指定された楕円は存在しません。焦点が長軸端に重なる境界であり、b = 0 を分母に入れて方程式を作ることはできません。長軸が正という条件だけでなく c < a も必要です。
分母の正値から -5 < s < 13 です。大小を分ける式は s + 5 = 13 − s で、その解は s = 4 です。したがって -5 < s < 4 で縦長、4 < s < 13 で横長、s = 4 で円です。円のとき両分母は9、x² + y² = 9 に戻ります。両端は分母0なので除き、範囲の外も正値の条件に合いません。