高校数学I 正弦定理で辺を求める問題—二つの角と一辺から対応をそろえて未知の辺を求める｜武蔵野個別指導塾

既知の辺と向かいの角を組にして、正弦定理から未知の辺を求めます。内角和で足りない対角を補い、求めた辺から元の長さを復元して計算を点検しましょう。

よくあるのは、高1の高校生が三角形の図を見て、辺の端にある角をその辺と組にしてしまう場面です。正弦定理で組にするのは、辺に接する角ではなく、その辺の向かいにある角です。線を1本たどって対応を確かめれば、図の向きや文字の並びが変わっても同じ方法を使えます。ここでは2つの角と1辺から残りの辺を求め、結果を元の条件に戻すところまで考えます。

どの辺を先に見るか

問題の聞き方には、角Aと角B、それに辺BCの長さから辺ACを求める形があります。また、角Aと角Bと辺ABが与えられ、辺BCを求める形もあります。後者では、辺ABの向かいの角Cがまだ書かれていません。先に内角和で角Cを出す必要があります。

さらに、長さが文字で与えられ、辺の比を求めた後で具体的な長さに直す問題もあります。いずれも最初に見るのは、既知の辺と未知の辺それぞれの向かいの角です。式に数字を入れる作業を急ぐと、対応がずれた式でも計算が進んでしまいます。

角が2つ与えられても、その和が180度以上なら、残りの角を正にできず三角形は成立しません。たとえば100度と80度なら残りは0度です。正弦定理へ進む前に、3つの角がいずれも0度より大きいことを確かめます。与えられた辺の長さが正であることも必要です。

向かい合う組を作る

三角形ABCで、角A、角B、角Cの向かいの辺の長さをそれぞれa、b、cとします。つまりaはBC、bはCA、cはABです。辺の両端の文字ではなく、辺に含まれない頂点の文字が対角を示します。図1のように、頂点Aから反対側を見ると辺BCがあり、Aとaが対応します。

図1では、Bとb、Cとcについても同じ規則です。紙に書くときは辺BCの横にaと書き、角Aのところにも印を付けます。数字の書かれた辺の端に角の数字があっても、接しているというだけでは組にできません。

正弦定理から、この三角形では次の等式が成り立ちます。

a/sin A = b/sin B = c/sin C

3つとも書く必要があるとは限りません。既知の辺と、その向かいの角が1組、未知の辺と、その向かいの角がもう1組あれば、次の2つを等しくします。

a/sin A = b/sin B
b = a・sin B/sin A

内角Aは0度より大きく180度より小さいのでsin Aは正です。したがって、この分母で割れます。角の大きさが決まれば正弦の値も決まり、辺の長さは正弦の比で移し替えられます。分数の形を逆にしてsin A/a = sin B/bとすることもできますが、途中で片方だけ逆にしてはいけません。

角が2つわかるとき、残りの角は180度からそれらの和を引いて求めます。3つの角が決まっても三角形の大きさはまだ決まりません。1辺の長さが与えられると、その大きさが定まり、残りの辺も定まります。長い辺の向かいには大きい角があることを、計算後の見通しとして使えます。ただし長さの正確な値は、対応する正弦の比から求めます。

数学Iの学習範囲には、三角比と正弦定理を用いた図形の計量が含まれます。ここで使う問題の条件と数値は、計算の筋道を考えるためのものです。

基本例題：既知の辺の向かいを見る

三角形ABCで、角A = 30度、角B = 60度、辺BC = 6 cmです。辺CAの長さを根号を用いた正確な値で求めてください。

図2のように、辺BCは角Aの向かい、求める辺CAは角Bの向かいです。辺BCの端にある角Bを6の相手にしないことが出発点です。

まず角Cを求めると、三角形の成立も確かめられます。

角C = 180度 - 30度 - 60度
      = 90度

辺CAをx cmとします。正弦定理で、辺と対角を組にして並べます。

6/sin 30度 = x/sin 60度
6/(1/2) = x/(√3/2)
12 = x/(√3/2)
x = 12・(√3/2)
x = 6√3

答えは6√3 cmです。図2の角Bは角Aより大きく、対応する辺CAも辺BCより長い値です。これは辺の大小の見通しと一致します。

元の条件に戻して確かめます。求めた辺と与えられた辺について、正弦で割った値はそれぞれ6√3/(√3/2) = 12、6/(1/2) = 12です。また角Cが直角なので、辺ABは斜辺です。30度の対辺が6 cmの直角三角形では斜辺は12 cm、60度の対辺は6√3 cmとなり、出発点の辺BCも6 cmに戻ります。

標準例題：足りない対角を作る

三角形PQRで、角P = 45度、角Q = 60度、辺PQ = 5(√6 + √2) cmです。辺QRの長さを根号を用いた正確な値で求めてください。

辺PQの向かいは角Rです。角Pと角Qをそのまま既知辺の相手にするのではなく、内角和で角Rを求めます。

角R = 180度 - 45度 - 60度
      = 75度

ここでは75度の正弦を加法定理で求めず、別の直角三角形から出します。角75度の正弦は補角の性質によりsin 105度と等しく、特別角の値だけで処理できる図形を利用できます。具体的には、45度と60度を持つ三角形に高さを下ろすと、sin 75度 = (√6 + √2)/4が得られます。以下にその導出を示します。

長さ1の線分XYを底辺とし、角X = 45度、角Y = 60度となる点ZからXYに垂線を下ろし、足をHとします。XH = ZH = t、YH = t/√3です。したがってt + t/√3 = 1、t = (3 − √3)/2です。XZ = t√2、YZ = 2t/√3なので、面積を底辺XYと高さZH、および2辺XZ、YZとその間の角Z = 75度で表すと次のようになります。

t/2 = (XZ・YZ・sin 75度)/2
sin 75度 = t/(XZ・YZ)
           = √3/(2√2・t)
           = (√6 + √2)/4

この値と辺PQの長さを使い、辺QRをx cmとします。

x/sin 45度 = 5(√6 + √2)/sin 75度
x/(√2/2) = 5(√6 + √2)/((√6 + √2)/4)
x/(√2/2) = 20
x = 20・√2/2
x = 10√2

答えは10√2 cmです。角Rは75度、角Pは45度で、既知の辺PQは求めた辺QRより長いはずです。実際に5(√6 + √2)は10√2より大きい値です。

逆にQR = 10√2 cmから、正弦の比で辺PQを復元します。

PQ = 10√2・sin 75度/sin 45度
   = 10√2・((√6 + √2)/4)/(√2/2)
   = 5(√6 + √2)

元の長さに戻り、角の和も180度です。分母のsin 75度は正なので計算は有効です。

発展例題：比から長さと条件を読む

三角形DEFで、角D = 30度、角E = 45度、辺DE = 7(√6 + √2) cmです。辺EFと辺FDの長さを、それぞれ根号を用いた正確な値で求めてください。

まず辺DEの向かいの角Fを求めます。

角F = 180度 - 30度 - 45度
      = 105度

角Fは鈍角ですが、sin 105度 = sin 75度 = (√6 + √2)/4です。標準例題の導出と補角の性質を使えます。3つの角は正で、その和は180度なので条件を満たす三角形です。辺EFをu cm、辺FDをv cmとします。

u/sin 30度 = v/sin 45度 = DE/sin 105度
DE/sin 105度 = 7(√6 + √2)/((√6 + √2)/4)
               = 28
u/(1/2) = 28
u = 14
v/(√2/2) = 28
v = 14√2

答えは辺EFが14 cm、辺FDが14√2 cmです。角Fが最大で、向かいの辺DEが最長です。角Eは角Dより大きいのでFDもEFより長く、求めた値と矛盾しません。

辺EFから元の辺DEを復元すると、14・sin 105度/sin 30度 = 7(√6 + √2) cmです。辺FDからも14√2・sin 105度/sin 45度 = 7(√6 + √2) cmとなります。2つの復元が一致し、与えられた長さに戻ります。辺の和も最大辺を上回り、三角形の辺の条件を満たします。

誤答をほどく：辺の端にある角ではない

基本例題で、6/sin 60度 = x/sin 30度と立てると、x = 2√3 cmになります。これは式の計算自体を進められても、対応が反対です。図3のように、6 cmの辺BCの両端にある角のうちBを選んでしまうと、向かいの角Aを見落とします。

図3では、辺BCの向かいはA、辺CAの向かいはBです。組を入れ替えて正しく書けば、6/sin 30度 = x/sin 60度です。誤った答えの2√3 cmは6 cmより短いのに、その辺の向かいの60度は30度より大きいので、辺と角の大小にも合いません。

別の誤りは、辺ABを使う問題で角Cを出さずに、与えられた角のどちらかを当てることです。辺ABに含まれない頂点はCなので、まず角C = 180度 − 角A − 角Bとします。残りの角が0度以下なら、式の分母を計算する前に条件を見直します。正弦定理の形を覚えることと、与えられた三角形が成立することの確認は別の手順です。

練習問題

各問は独立した三角形です。長さは根号を用いた正確な値で、単位も付けて答えてください。角の条件が成立しないときは、その理由を答えてください。

1. 三角形ABCで角A = 30度、角B = 45度、BC = 8 cmです。CAを求めてください。
2. 三角形KLMで角K = 60度、角L = 90度、KL = 9 cmです。LMを求めてください。
3. 三角形XYZで角X = 45度、角Y = 45度、XY = 10 cmです。YZを求めてください。
4. 三角形RSTで角R = 120度、角S = 30度、RS = 4 cmです。STを求めてください。
5. 三角形UVWについて角U = 110度、角V = 70度、辺UV = 3 cmという条件が示されました。三角形が成立するか調べてください。

練習問題の解答と道筋

1. BCは角A、CAは角Bの対辺です。角Cは105度で正です。CAをx cmとして、正弦定理を使います。

8/sin 30度 = x/sin 45度
8/(1/2) = x/(√2/2)
16 = x/(√2/2)
x = 8√2

答えは8√2 cmです。逆に8√2・sin 30度/sin 45度 = 8 cmとなり、元のBCに戻ります。105度と45度と30度の和は180度です。

2. KLの対角はMであり、まず角Mを求めます。LMの対角はKです。

角M = 180度 - 60度 - 90度
      = 30度
LM/sin 60度 = 9/sin 30度
LM/(√3/2) = 9/(1/2)
LM/(√3/2) = 18
LM = 9√3

答えは9√3 cmです。9√3・sin 30度/sin 60度 = 9 cmと戻せます。角Lが直角で、KLは30度の対辺、LMは60度の対辺という対応も成立します。

3. XYの対角はZ、YZの対角はXです。角Zを出してから式を作ります。

角Z = 180度 - 45度 - 45度
      = 90度
YZ/sin 45度 = 10/sin 90度
YZ/(√2/2) = 10/1
YZ = 10・√2/2
YZ = 5√2

答えは5√2 cmです。斜辺XYは5√2・sin 90度/sin 45度 = 10 cmと復元できます。角Xと角Yが等しいため、もう一方の辺XZも5√2 cmで、二等辺直角三角形の条件に合います。

4. RSの対角Tは180度 − 120度 − 30度 = 30度です。STの対角はRです。補角の性質からsin 120度 = sin 60度 = √3/2です。

ST/sin 120度 = 4/sin 30度
ST/(√3/2) = 4/(1/2)
ST/(√3/2) = 8
ST = 4√3

答えは4√3 cmです。4√3・sin 30度/sin 120度 = 4 cmとなり、RSに戻ります。角Sと角Tはともに30度なので、RTも4 cmです。最長辺4√3は残りの2辺の和8より短く、辺の条件も満たします。

5. 残りの角Wを計算します。

角W = 180度 - 110度 - 70度
      = 0度

内角は正でなければならないため、この条件の三角形は成立しません。辺UVが正であっても、3点は三角形を作れません。0度をそのまま正弦定理の分母に入れると0で割ることになるので、辺の計算に進めないことも同じ結論に対応します。

手元に残す要点

辺と組にするのは、その辺の向かいの角です。 2つの角の和を180度から引き、残りの角が正か確かめます。 既知の組と未知の組で正弦定理を書きます。 求めた値から既知の辺を復元し、大小関係も点検します。

途中で止まったときの見直し

式を作れないときは、まず辺の両端に含まれない頂点を探します。図に頂点と対辺の組を同じ印で示し、2組そろってから数字を代入すると、どの値が分母に入るかを追いやすくなります。求める辺の対角が未記入なら、内角和の式を先に書きます。

値が出ても元の辺へ戻らないときは、分数を逆にした箇所と根号の約分を1行ずつたどります。個別指導で確かめるなら、完成した答えだけでなく、図の対角に付けた印と最初の等式を見せると、対応の誤りと計算の誤りを区別できます。向かい合う組がそろえば、辺を求める式は自分で選べます。