高校数学I 境界の角の三角比—端の点の座標から定義できる値とできない値を区別する｜武蔵野個別指導塾

0度・90度・180度の点を半円に置き、正弦と余弦を座標から求めます。90度の正接を定義できない理由は、横座標が分母になることにあります。

よくあるのは、高1の高校生が90度のtanを0と答える場面です。半円の一番上の点は横の座標が0なので、その0を答えにしたくなるのかもしれません。しかし、横の座標はtanの分母です。分子が0の場合と分母が0の場合を分けて考えると、答えの違いが見えてきます。

ここでは0度から180度までの角を扱い、端の点を含めてsin、cos、tanを調べます。角を半円の外まで広げる話は使いません。学習範囲の根拠として示された表には、鋭角から鈍角への三角比の拡張が含まれています。

どこで値が決まらなくなるか

たとえば、0度、90度、180度について3つの比を表に埋める問題があります。座標を先に書けば、3つの記号を一度に暗記しなくても順に調べられます。もう1つは、値を含む式が計算できるかどうかを判断する問題です。式の見た目が簡単でも、最初から存在しない値を含む場合があります。

さらに、文字で表された式に角を代入するとき、途中で約分した後の式に代入してよいかを問われることがあります。計算の前に元の式が意味を持つ範囲を確かめることが必要です。約分が正しい角と、約分によって隠れてしまう角を分けましょう。

半円の座標を読む

座標平面で原点をOとし、半径1の円の上半分を考えます。正のx軸から上側を通って角θを測り、その半円上の点をP(x, y)とします。角の範囲は0度以上180度以下です。半径が1なので、三角比は次のように定めます。

cos θ = x
sin θ = y
cos θ ≠ 0 のとき、tan θ = y/x = sin θ/cos θ

図1のように、右端、上端、左端をそれぞれ角と結び付けます。点Pが端にあると直角三角形がつぶれてしまいますが、座標は決まります。そこで座標による定義を使います。90度ではPは上端にあり、x = 0、y = 1です。tanの分母はxなので、ここでは割り算が定義されません。

図1の右端ではP = (1, 0)、左端ではP = (-1, 0)です。横の座標には符号があり、左側は負です。縦の座標は上半円では負にならず、両端では0です。座標を長さとして読むと左端の符号が失われるので、位置を表す数として読みます。

0度では0/1 = 0、180度では0/(-1) = 0です。どちらも分母は0ではありません。一方、90度では1/0です。もしこれをある数qとすると、割り算の意味から0・q = 1となるはずですが、左辺はどんな数qでも0です。よって、そのような数はありません。「値が0」と「値を定められない」は別の結論です。

分子と分母がともに0の0/0も、0とは決められません。0・q = 0はどの数qでも成り立ち、商を1つに決められないからです。1/0と理由は違いますが、どちらも分母が0の割り算として扱えません。電卓に入力したときに表示が出ないことだけを根拠にせず、分母を見て判断しましょう。

分母を見るもう一つの練習

値が定義されるかを確かめるときは、式のどの場所が分母なのかを先に囲みます。たとえば 1/(1 − sin θ) なら、分母全体が0かどうかを調べます。90度ではsin θ = 1なので、分母は1 − 1 = 0です。この角では式を計算できません。0度では分母が1 − 0 = 1なので、式の値は1です。180度でも分母は1となり、値は1です。

反対に、分子が0になったという情報だけで式が定義されないと結論するのも誤りです。たとえば cos 90度/(1 + sin 90度) は0/2なので0です。分母2は0ではありません。分母を調べてから商を計算するという順序を守ると、この違いを説明できます。

範囲の端を確かめる際には、0度と180度をどちらも含めるか、問題文の不等号にも注目します。今回の例では両端を含みますが、端を含まない条件の問題なら、その条件を後から広げてはいけません。定義の条件と問題文の範囲の両方を満たす角が、実際に使える角です。図に印を付けて確かめます。

基本例題：上端での3つの値

半径1の上半円で、正のx軸から90度の点をPとします。sin 90度、cos 90度、tan 90度をそれぞれ求め、定義されないものはその理由を述べてください。

図2のようにPは円の真上にあります。原点からの高さは半径と同じ1で、横の座標は0です。図2の位置から、まずPの座標を (0, 1) と読みます。

定義に順に代入すると次のようになります。

sin 90度 = y = 1
cos 90度 = x = 0
tan 90度 = y/x = 1/0

最後の式は計算結果を表す式ではなく、商を作ろうとすると分母が0になることの確認です。したがって、答えはsin 90度 = 1、cos 90度 = 0、tan 90度は定義されない、です。横座標が0であることと、正接の値が0であることは同じではありません。

値を座標へ戻す検算もできます。cosを横、sinを縦に並べると (0, 1) となり、最初に図から読んだ点に戻ります。tanは分母が0のままなので、数を答えとして書かないことまで確認します。

標準例題：端点を使う式

A = 4 sin 0度 + 3 cos 180度、B = 7 tan 180度 − 2 cos 0度を求めてください。答えは整数で表します。

最初にそれぞれの角の点を書きます。0度の点は (1, 0)、180度の点は (-1, 0) です。したがって必要な値はsin 0度 = 0、cos 180度 = -1、tan 180度 = 0、cos 0度 = 1です。tan 180度の分母は-1であり、0ではありません。

A = 4・0 + 3・(-1)
  = 0 - 3
  = -3
B = 7・0 - 2・1
  = 0 - 2
  = -2

A = -3、B = -2です。代入した値を点に戻すと、0度の点の縦座標は0、横座標は1です。180度の点の横座標は-1、縦座標は0であり、その商も0です。負の横座標を正に直していないか、最後に確かめます。

ここで、もしBのtan 180度をtan 90度に変えたら事情は変わります。0を代入して計算を続けることはできません。tan 90度が数として定義されないため、元の式も値を持たないからです。係数が付いていても、定義されない箇所を先に確認する必要があります。

発展例題：約分する前の条件

0度以上180度以下のθについて、次の式が定義される角を示し、定義されるときの値を求めてください。

C = (2 sin θ cos θ)/(cos θ)

元の式では分母がcos θです。半円上でx座標が0になるのは上端なので、cos θ = 0となる角は90度です。したがってCが定義されるのは、0度以上180度以下で90度を除いた角です。

その範囲ではcos θ ≠ 0なので、分子と分母をcos θで割れます。

C = (2 sin θ cos θ)/(cos θ)
  = 2 sin θ

この等式は、元の式が定義される範囲で成り立ちます。たとえばθ = 0度では、元の式に戻して (2・0・1)/1 = 0 です。右辺も2・0 = 0です。θ = 180度でも、元の式は (2・0・(-1))/(-1) = 0、右辺も0です。両端は分母が0でないため含まれます。

一方、θ = 90度を元の式に入れると、分子も分母も0で、0/0となります。右辺の2 sin 90度は2ですが、それを元の式の値として採用できません。約分後の式が90度で計算できることと、元の式が90度で定義されることは別です。値を求める範囲の答えには、除いた角を残して書きます。

誤答を図で直す

図3のように、90度の点の横座標0を見て「tan 90度 = 0」と書いたとします。横座標を読むところまでは正しいものの、最後の対応が違います。横座標はcosであり、tanは縦座標を横座標で割った商です。

図3で縦座標1を分子、横座標0を分母に置くと、1/0になります。そこで立ち止まり、商が存在するための条件を確認します。0で割れないので、正しい答えは「定義されない」です。

別の誤りとして、180度でも横座標が負だからtanは負だと判断することがあります。符号だけでなく分子も必要です。縦座標0を-1で割るため答えは0です。また、cos 180度を1とすると座標の左側を表せません。円の左端は原点からの距離が1でも、x座標は-1です。

計算に時間が足りないときも、3つの値を一気に書こうとせず、点の座標、分母、商の順に短く残します。式を作ってから分母が0と判明した場合は、途中の式を数値として扱わず、定義されない理由を書き直します。途中の代入を省かないことが、0と定義されない場合を分ける手がかりになります。

練習問題

次の5問は互いに独立しています。数値を求める場合は整数で答え、定義されない場合はその旨と理由を書いてください。角の範囲は0度以上180度以下です。

1. D = 5 cos 0度 − 6 sin 180度を求めてください。
2. E = 8 sin 90度 + 2 cos 180度を求めてください。
3. F = tan 0度 + 9 tan 180度を求めてください。
4. G = (3 sin 90度)/(cos 90度) は定義されますか。理由も述べてください。
5. H = (sin θ cos θ)/(cos θ) が定義される角の範囲と、その範囲での式の値を求めてください。

練習問題の解答と解き方

1. 0度の点は (1, 0)、180度の点は (-1, 0) です。よってcos 0度 = 1、sin 180度 = 0です。

D = 5・1 - 6・0
  = 5 - 0
  = 5

座標に戻すと、使った横座標は1、縦座標は0です。答えは5です。

2. 90度の点は (0, 1)、180度の点は (-1, 0) です。縦座標と横座標をそれぞれ使います。

E = 8・1 + 2・(-1)
  = 8 - 2
  = 6

点の高さ1と左端の横座標-1を元の式に戻しても6です。答えは6です。

3. 端点の座標からtan 0度 = 0/1 = 0、tan 180度 = 0/(-1) = 0です。分母がどちらも0でないことを確認します。

F = 0 + 9・0
  = 0

元の式へ戻しても2つの項は0です。答えは0です。

4. 90度の点は (0, 1) なので、sin 90度 = 1、cos 90度 = 0です。

G = (3・1)/0
  = 3/0

0を掛けて3になる数はありません。したがってGは定義されません。分子の3が0ではないことと、分母が0であることを区別します。

5. 元の式の分母はcos θなので、cos θ ≠ 0が必要です。この範囲でcos θ = 0となるのは90度です。よって、定義されるのは0度以上180度以下で90度を除く角です。

H = (sin θ cos θ)/(cos θ)
  = sin θ

約分はcos θ ≠ 0の範囲で行いました。0度と180度を元の式に戻すと、それぞれ (0・1)/1 = 0、(0・(-1))/(-1) = 0です。90度では元の式が0/0となるため含めません。

手元に残す要点

0度、90度、180度の点は順に (1, 0)、(0, 1)、(-1, 0) です。 sinは縦座標、cosは横座標です。 tanは縦座標を横座標で割り、分母が0なら定義されません。 約分前の式で除く角を調べます。

つまずいた場所を見つける

表の値を間違えたときは、まず半円に3点を置き、角と座標の対応を見直します。座標が正しくてもtanを間違えた場合は、縦を分子、横を分母とした式を書き出します。分母に0が入る行では計算を進めず、定義されないと記します。

個別指導で確かめるなら、点の位置、座標の符号、商の分母を順に説明してみましょう。約分を使った答案では、元の分母が0となる角に印を付けます。どの行で条件が落ちたかが見えれば、次の問題でも同じ判定を自分で使えます。境界の角では、値と値を決められる条件を並べて読むことが答えにつながります。