高校数学B 信頼区間の意味—繰り返す抽出の区間と固定された母平均を区別する｜武蔵野個別指導塾

繰り返す抽出で区間が変わる様子を図で比べ、信頼係数が有限回の被覆数を固定しない理由を確かめます。

よくあるのは、測定した長さの平均について信頼区間を出した後、高2の人が「母平均はその区間の中を確率的に動く」と説明する場面です。計算した両端は合っていても、何を繰り返し、何が変わるのかを取り違えると結論が変わります。母平均を固定したまま、抽出前と抽出後で区間がどう見えるかを分けて考えましょう。

問われる型を見分ける

1つ目は、区間の作り方と信頼係数の意味を言葉にする型です。同じ母集団から同じ条件で標本を取り直すと、標本平均が変わり、それを中心に作る区間も変わります。母平均を含む区間ができる確率を、その手続の信頼係数と読みます。

2つ目は、標本平均、標本数、信頼係数の変化が区間に与える影響を比較する型です。条件が同じで標本平均が変われば区間は平行に移ります。標本数が変われば幅も変わりますが、母集団そのものの平均や標準偏差を動かす操作ではありません。

3つ目は、観測された複数の区間や誤った説明を検討する型です。正しい信頼係数を持つ手続でも、得られた区間が母平均を含まないことはあります。抽出の偏りや、公式を使う条件が満たされない場合も、計算結果の解釈とは別に点検します。

固定するものと動くもの

母集団の平均を m、既知の母標準偏差を σ とします。母集団が正規分布に従い、互いに独立で同じ分布に従う大きさ n の標本を取り、その標本平均を X̄ とします。母平均 m は未知でも固定された値です。抽出前の X̄ は標本によって値が変わる確率変数で、その平均は m、標準偏差は σ/√n です。

ある正の数 c について、問題の条件として次の確率が与えられたとします。

P(-c ≦ (X̄ - m)/(σ/√n) ≦ c) = γ

σ は正、n は正の整数です。不等式の各辺に正の σ/√n を掛けて整理すると、同じ事象は次のように表せます。

X̄ - cσ/√n ≦ m ≦ X̄ + cσ/√n

したがって、この左右の端点を使って区間を作る手続は、確率 γ で固定された m を含みます。この γ が信頼係数です。たとえば γ = 0.9 なら、同じ手続を独立に何度も繰り返したとき、母平均を含む区間の割合は長い繰り返しで 0.9 に近づくという意味です。少数回では割合がちょうど 0.9 になるとは限りません。

図1のように、縦の線を固定された母平均とし、横の線を別々の標本から作った区間として見ます。縦線に届く区間も届かない区間もあり、動いているのは区間の方です。図1の4本は仕組みを示す例で、信頼係数をこの本数から推定するものではありません。

実際に標本を得て X̄ = x̄ と数値が決まると、区間の両端も固定されます。その区間は未知の m を含むか含まないかのどちらかです。通常の信頼区間の解釈では、決まった区間の中を m が確率 γ で動くとは言いません。未知であることと、確率的に変動することは別です。

区間の中心は x̄、端までの距離は cσ/√n、全幅は 2cσ/√n です。信頼係数を変えず σ と n も同じなら幅は一定ですが、中心は標本ごとに変わります。信頼係数を高くするため c を大きく選べば、同じ標本では区間が広くなります。ここでは正規母集団と既知の σ を使います。未知の σ を標本から求めた値で置き換える場合、この式を小標本にそのまま適用しません。

基本例題：同じ手続で2回作る

ある長さの母集団は正規分布に従い、母標準偏差は既知で 6 cm です。独立で同じ分布に従う標本を毎回 9 個取り、標本平均 x̄ から区間 x̄ − 2σ/√n ≦ m ≦ x̄ + 2σ/√n を作ります。この手続の信頼係数を γ = P(-2 ≦ Z ≦ 2) とします。ただし Z は標準正規分布に従います。2回の標本平均がそれぞれ 20 cm、23 cm だったとき、各区間を cm 単位の整数で求め、信頼係数の意味を述べてください。2回は互いに独立とします。

まず条件を確認します。正規母集団、既知の母標準偏差、独立同分布の標本が与えられているので、この区間の手続を使えます。信頼係数は与えられた値を使い、表から別の数を求める必要はありません。

σ/√n = 6/√9 = 2 cm

標本平均の標準偏差が 2 cm なので、端までの距離は次のとおりです。

2σ/√n = 2・2 = 4 cm

1回目の中心は 20 cm ですから、下端と上端をそれぞれ求めます。

20 - 4 = 16 cm
20 + 4 = 24 cm

よって1回目は 16 cm ≦ m ≦ 24 cm です。同様に2回目は次のようになります。

23 - 4 = 19 cm
23 + 4 = 27 cm

2回目は 19 cm ≦ m ≦ 27 cm です。図2のように、どちらも全幅は 8 cm で、中心の差 3 cm だけ区間が移っています。図2の区間は比較用であり、真の母平均を図に指定していません。

信頼係数 γ は、同じ条件で抽出と区間作成を繰り返す手続について、母平均を含む区間ができる確率が γ という意味です。この2本がともに母平均を含むとは限らず、どちらが含むかも、母平均の値がわからなければ判定できません。中心と端の差がともに 4 cm であることを元の式に戻して確かめます。

標準例題：幅と標本数

正規母集団の母標準偏差は既知で 12 g です。独立同分布の標本から、区間 x̄ ± 3σ/√n を作ります。この手続の信頼係数は問題の条件として一定とします。標本数を 16 個から 64 個に変え、標本平均はいずれも 50 g だったとき、2つの区間と全幅を g 単位で求めてください。また、母標準偏差が変化したか答えてください。

両方の標本で母集団と係数 3 が同じです。最初の標本では次のように端までの距離を計算します。

3σ/√n = 3・12/√16
             = 36/4
             = 9 g

中心 50 g から 9 g を引き、足します。

50 - 9 = 41 g
50 + 9 = 59 g
59 - 41 = 18 g

区間は 41 g ≦ m ≦ 59 g、全幅は 18 g です。次に標本数 64 の場合を計算します。

3σ/√n = 3・12/√64
             = 36/8
             = 4.5 g

端点は整数とは限らないため、小数で表します。

50 - 4.5 = 45.5 g
50 + 4.5 = 54.5 g
54.5 - 45.5 = 9 g

区間は 45.5 g ≦ m ≦ 54.5 g、全幅は 9 g です。端点はこのように小数で表せます。標本数が4倍になると √n が2倍になり、幅は半分です。母標準偏差はどちらも 12 g で変わらず、小さくなったのは標本平均の標準偏差です。端点の差がそれぞれ計算した全幅に戻ることも確認できます。

発展例題：複数回の被覆と失敗

ある正規母集団から、互いに独立な方法で同じ大きさの標本を3回取り、それぞれ同じ信頼区間の手続を使います。各回で母平均を含む確率は問題の条件として 3/4 です。3回とも含む確率と、少なくとも1回は含まない確率を、それぞれ既約分数で求めてください。母平均は固定され、各回の区間は独立に作られるものとします。

各回に母平均を含む事象を考えます。区間の作成は独立なので、3回とも含む確率は各回の確率の積です。

(3/4)・(3/4)・(3/4) = 27/64

「少なくとも1回は含まない」の反対は「3回とも含む」です。したがって全体の確率 1 から引きます。

1 - 27/64 = 64/64 - 27/64 = 37/64

答えは順に 27/64、37/64 です。2つの事象は重ならず全体を尽くし、和も 1 に戻ります。各回の失敗確率 1/4 を3倍した 3/4 は答えではありません。複数回失敗する場合を重複して数えるためです。独立性がなければ積を使う根拠がなく、各回の信頼係数だけからこの答えは決まりません。

誤答を直す：95回と95パーセント

「信頼係数が 0.95 だから、100回区間を作れば必ず95回は母平均を含む」と書くのは誤りです。信頼係数は各回の手続の確率であり、有限回の結果の個数を固定しません。極端な回数も確率が小さくても起こりえます。

図3のように、手続の確率と、実際に繰り返して得られた個数を分けます。たとえば100回中93回だったとしても、それだけで手続の信頼係数を 0.93 と言い換えることはできません。図3の93回は説明のために置いた結果であり、実際の調査結果ではありません。

もう1つの誤りは「得られた区間には 0.95 の確率で母平均が入る」と、固定した区間にそのまま確率を付ける説明です。抽出前には端点が変動し、母平均を含む事象に確率を付けられます。抽出後には端点も母平均も固定され、含むか否かは決まっています。正しくは「母平均を含む区間を作る確率が 0.95 の手続で得た区間」と述べます。

さらに、標本の取り方に偏りがあっても、数を増やせば信頼係数どおりになるとは限りません。測りやすいものだけを集めた標本では、母集団からの独立同分布という前提を確かめられないからです。計算ができることと、その区間を目的の母集団に使えることは別に吟味します。

練習問題

各問の母集団は正規分布に従い、母標準偏差は既知です。各標本は独立同分布で抽出されるとします。信頼係数はそれぞれ問題で与え、表の値を求める必要はありません。

1. 母標準偏差が 8 mm、標本数が 16、標本平均が 31 mm です。区間を x̄ ± 2σ/√n とする手続で、端点を mm 単位の整数で求めてください。
2. 母標準偏差が 10 秒、標本数が 25、係数が 3 の手続を使います。標本平均が 40 秒から 44 秒へ変わったとき、2つの区間を秒単位の整数で求め、全幅を比べてください。信頼係数は同じとします。
3. 母標準偏差が 15 g、係数が 2 の手続を使います。標本数が 25 から 100 に変わると、区間の全幅は何 g から何 g に変わりますか。整数で答えてください。信頼係数は同じとします。
4. 各回の被覆確率が 2/3 の手続を独立に2回使います。2回とも含まない確率と、少なくとも1回含む確率を既約分数で求めてください。
5. 信頼係数 0.8 の手続で、区間を独立に5回作ります。「必ず4回は母平均を含む」という説明は正しいですか。5回とも含む確率を既約分数で求め、その結果を使って理由を述べてください。

練習問題の答えと解き方

1

母標準偏差、標本数、係数から端までの距離を求めます。

2σ/√n = 2・8/√16 = 16/4 = 4 mm
31 - 4 = 27 mm
31 + 4 = 35 mm

答えは 27 mm ≦ m ≦ 35 mm です。両端と中心の差はいずれも 4 mm で、元の作り方に戻ります。信頼係数は、この1本に入る確率として固定後に読み替えず、繰り返す手続の被覆率として読みます。

2

標本数と母標準偏差が同じなので、両方の端までの距離は共通です。

3σ/√n = 3・10/√25 = 30/5 = 6 秒
40 - 6 = 34 秒
40 + 6 = 46 秒
44 - 6 = 38 秒
44 + 6 = 50 秒

区間は順に 34 秒 ≦ m ≦ 46 秒、38 秒 ≦ m ≦ 50 秒です。全幅はそれぞれ 46 − 34 = 12 秒、50 − 38 = 12 秒です。中心の差 4 秒だけ両端も移動しており、条件に戻して確認できます。

3

全幅は端までの距離の2倍です。標本数 25 の場合を先に求めます。

2σ/√25 = 2・15/5 = 6 g
全幅 = 2・6 = 12 g

標本数 100 の場合も同じ式に代入します。

2σ/√100 = 2・15/10 = 3 g
全幅 = 2・3 = 6 g

答えは 12 g から 6 g です。標本数が4倍、平方根が2倍なので幅が半分になることも元の式と一致します。

4

1回で含まない確率は、全体から含む確率を引きます。

1 - 2/3 = 1/3

独立なので、2回とも含まない確率は次の積です。

(1/3)・(1/3) = 1/9

少なくとも1回含む事象はその余事象です。

1 - 1/9 = 8/9

答えは順に 1/9、8/9 です。和が 1 となり、含む回数が0回か1回以上かの全場合に戻ります。

5

0.8 = 4/5 です。独立な5回がすべて含む確率を掛け算します。

(4/5)・(4/5)・(4/5)・(4/5)・(4/5) = 1024/3125

この確率は正なので、5回含む結果も起こりえます。よって「必ず4回」は誤りです。各回が含まない確率 1/5 も正なので、5回とも含まない場合もあり、回数は固定されません。1024/3125 は 0 と 1 の間で、各回の確率を5回掛けた条件にも戻ります。

覚えておくこと

信頼係数は、繰り返す手続が固定された母平均を含む区間を作る確率です。 抽出後の区間と母平均は固定され、含むか否かが決まっています。 同じ係数と母標準偏差なら、区間の幅は標本数の平方根に反比例します。

つまずきの見分け方

端点の計算は合っているのに「母平均が動く」と言う場合は、同じ母集団から取り直した2つの標本平均を別々に書き、どの数が変わるかを確かめます。逆に「95パーセントなら100回で95回」と言う場合は、有限回の被覆数と各回の確率を区別できているかを尋ねます。

個別指導では、まず σ/√n が標本平均の標準偏差であること、全幅が 2cσ/√n であることを式にしてもらいます。その後、正規母集団、既知の母標準偏差、独立同分布という条件を問題文に戻して指さし、抽出後の区間について一文で説明してもらいます。固定された母平均と動く区間の区別が、信頼区間の意味を支えます。