高校数学B 標本平均の正規分布—母集団が正規の場合と大標本の近似を区別する｜武蔵野個別指導塾

正規母集団からの標本平均と非正規母集団の大標本近似を比べ、少数の値を平均しただけでは正規分布にならない理由を考えます。

よくあるのは、少数の測定値を平均しただけで、その平均は必ず正規分布に従うと考える場面です。平均をとると値の散らばりは小さくなりますが、分布の形については母集団の形と標本数も確認しなければなりません。正規母集団からの標本平均は厳密に正規分布に従います。一方、母集団が正規分布でないときは、独立に十分多くの値を集めた場合の近似として考えます。この違いを、式と具体的な反例の両方でたどります。

問われる型を見分ける

1つ目は、正規母集団から独立に抽出した標本の平均について、その分布を答える型です。母平均を中心に置き、母分散を標本数で割って分布の第2項に書きます。標本数が小さくても、母集団の正規性と独立性が与えられていれば厳密な結論です。

2つ目は、正規とは限らない母集団について、十分大きな標本の平均を近似する型です。平均と分散は独立同分布の条件の下で正確に求まりますが、分布の形は近似です。問題が「十分大きい」と認める条件を読み、等号と近似の言葉を混ぜないようにします。標本数の具体的な1つの境界を、どの母集団にも通用する基準として決めることはできません。

3つ目は、与えられた条件から正規分布と結論できるかを問う型です。小標本で母集団が非正規なら、標本平均が正規分布だとは一般にいえません。また、同じ分布から測っていても値どうしが強く連動すると、分散を標本数で割る公式をそのまま使えないことがあります。計算に進めない理由を示すことも解答です。

分布を決める前に確かめること

母集団から得る値を確率変数 X とし、その平均を m、分散を σ²、標準偏差を σ とします。ここでは σ は正で、平均と分散は有限とします。独立に同じ母集団から取り出した n 個の確率変数を X₁、X₂、…、Xₙ とすると、標本平均 X̄ は次のように定義されます。

X̄ = (X₁ + X₂ + … + Xₙ)/n

抽出前の X̄ は結果によって値が変わる確率変数です。抽出後に得られた数値の平均とは区別します。各 Xᵢ の期待値が m なので、期待値の和の性質から E(X̄) = m です。さらに独立性により分散を足せるので V(X̄) = σ²/n、標準偏差は σ/√n です。分散と標準偏差のどちらを記号の第2項に入れるかが重要です。

図1のように、母集団が正規分布 N(m, σ²) なら、独立な標本の平均は標本数 n が正の整数である限り、厳密に N(m, σ²/n) に従います。記号 N の第2項は分散です。n = 1 の場合は標本平均が元の1個の値そのものであり、結論も元の正規分布に戻ります。

一方、母集団が正規分布でなくても、独立同分布で有限の平均と正の有限の分散をもち、n が十分大きければ、中心極限定理により標本平均の分布を N(m, σ²/n) で近似できます。これは大標本での性質であり、どの小さい n にも正規分布を保証するものではありません。元の分布が偏っているほど、近似のよさを標本数だけで安易に判定しない姿勢が必要です。

正規分布に従う、または正規分布で近似する条件が整ったら、標準化に使う量は Z = (X̄ − m)/(σ/√n) です。母標準偏差 σ をそのまま分母に置くと、平均の散らばりを誤ります。ただし、数値の確率を求めるには、問題で与えられた情報や正規分布表が別途必要です。ここでは対称性によって厳密に求まる確率を使います。

基本例題：正規母集団から4回測る

ある装置の1回の測定値は、平均 40、分散 36 の正規分布に従います。4回の測定値は互いに独立とします。4回の標本平均の分布と、標本平均が 40 以下となる確率を求めてください。分布は N の記号で、確率は分数で答えます。

母集団が正規分布で、4回の値は独立です。図2のように、標本平均の中心は母平均の 40 のままで、広がりを決める分散は 4 で割ります。

標本平均を X̄ とすると、母集団の分散と標本数から次のように計算します。

E(X̄) = 40　母平均に等しいためです。

V(X̄) = 36/4 = 9　独立な4個の平均の分散だからです。

したがって X̄ は厳密に N(40, 9) に従います。標準偏差は √9 = 3 であり、分散の 9 ではありません。中心 40 を境に正規分布は左右対称で、1点の確率は 0 です。よって P(X̄ ≦ 40) = 1/2 です。中心を境にした2つの確率は等しく、合わせて 1 になるので、この答えは元の分布の条件にも戻ります。

4個の個々の測定値が 40 以下になる確率と、4個の平均が 40 以下になる確率は、ここでは対称性によりどちらも 1/2 です。しかし平均の標準偏差は 3、個々の測定値の標準偏差は 6 です。中心より離れた範囲についてまで、2つの確率が同じだと考えてはいけません。

標準例題：正規でない母集団の大標本

1回の抽出で得る値は 0 または 8 で、それぞれの確率は 3/4、1/4 です。この母集団から独立に復元抽出を 100 回行います。100 はこの問題では正規近似に十分大きいものとします。標本平均の期待値と分散を求め、近似に使う正規分布を N の記号で答えてください。

まず元の値は2種類なので、連続的な正規分布ではありません。確率の和は 3/4 + 1/4 = 1 で、与えられた分布は成立しています。母平均 m と母分散 σ² を順に計算します。

m = 0・(3/4) + 8・(1/4) = 2　値と確率の積を足します。

E(X²) = 0²・(3/4) + 8²・(1/4) = 16　二乗した値の平均です。

σ² = 16 − 2² = 12　二乗の平均から平均の二乗を引きます。

独立な復元抽出なので、100個の値は独立同分布です。標本平均 X̄ の期待値は E(X̄) = 2、分散は V(X̄) = 12/100 = 3/25 です。これらは近似ではなく、条件から得られる正確な値です。問題の大標本の条件を用いると、X̄ の分布を N(2, 3/25) で近似します。標準偏差は √3/5 です。

元の場面に戻ると、100回中に 8 が出る回数によって X̄ の値は飛び飛びに決まります。したがって連続型の正規分布と厳密に同一ではありません。近似した曲線を使うときも、その違いは残っています。標本平均の取りうる値が離散的であることは、正規近似を使うことと矛盾しません。

発展例題：独立性がないとき

平均 10、分散 16 の正規分布に従う確率変数 X があります。同じ値を2回記録し、X₁ = X、X₂ = X とします。2つの記録の平均 Y = (X₁ + X₂)/2 の分布を求め、独立な2回の標本平均と分散を比べてください。分布は N の記号、分散は整数で答えます。

それぞれの記録は正規分布 N(10, 16) に従います。しかし2つの値は必ず一致するので独立ではありません。平均の定義へ代入すると次のとおりです。

Y = (X + X)/2　2つとも同じ値だからです。

Y = X　同じ量を2個足して2で割ります。

よって Y は N(10, 16) に従い、分散は 16 です。仮に独立な2個を別々に得て平均したなら、正規母集団の公式から分散は 16/2 = 8 です。同じ分布に従うという条件だけでは、この 8 を今回の記録へ適用できません。

実際、X が 14 なら2つの記録はいずれも 14 で、平均も 14 です。同じ測定を写しただけでは、元の測定のずれが打ち消されません。正規分布という形の条件と、値どうしの独立性は別々に点検します。

誤答を直す：小標本なら必ず正規か

「母集団の平均と分散がわかり、2個を独立に抽出した。だから標本平均は正規分布である」という解答を考えます。独立性は確認できていますが、母集団の形が指定されていません。図3のように、平均と分散の公式が使えることと、分布の形まで決まることは別です。

反例として、1回の値が 0 または 2 で、それぞれの確率が 1/2 の母集団を考えます。独立に2回取り、平均を Y とします。取りうる結果の組は (0, 0)、(0, 2)、(2, 0)、(2, 2) の4通りで、それぞれの確率は 1/4 です。

Y = 0 は (0, 0) から生じるので確率は 1/4 です。Y = 1 は異なる2つの組から生じるので確率は 1/4 + 1/4 = 1/2 です。Y = 2 は (2, 2) から生じるので確率は 1/4 です。3つの確率の和は 1 です。この分布は3点に確率をもつため、連続型の正規分布そのものではありません。

修正すると、「母集団が正規分布なら、独立な2個の平均は正規分布に従う。母集団が正規とは限らない場合は、この条件だけでは正規分布と結論できない」となります。十分大きな標本では近似を考えられますが、2個でその近似がよいとは、この情報から決まりません。元の分布の偏りや求めたい精度にも目を向けます。

練習問題

各問で抽出は独立に行うものとします。分布は N の記号、確率は分数で答えてください。正規近似を使う場合は、その旨を明記します。

1. 母集団が N(30, 49) に従います。49個の標本平均の分布と標準偏差を求めてください。
2. 母集団が N(12, 81) に従います。9個の標本平均が 12 以上となる確率と、その平均の分散を求めてください。
3. 1回の値が 1 または 5 で、それぞれの確率が 1/2 です。独立な復元抽出を 64 回行います。64 はこの問題では正規近似に十分大きいものとします。標本平均の期待値、分散、近似に使う分布を求めてください。
4. 1回の値が 0 または 6 で、それぞれの確率が 1/2 です。独立な復元抽出を2回行います。標本平均の取りうる値とそれぞれの確率を求め、正規分布そのものか判定してください。
5. 正規母集団の分散が 144 です。独立な標本の平均の標準偏差を 2 にするには、標本数をいくつにすればよいですか。標本数は正の整数で答えてください。

練習の答えと解き方

1. 正規母集団からの独立な標本なので、標本平均は厳密に正規分布に従います。期待値は 30、分散は 49/49 = 1 です。したがって分布は N(30, 1)、標準偏差は √1 = 1 です。標本数と分散を掛け戻すと 49 となり、元の母分散に戻ります。

2. 正規性と独立性から標本平均は N(12, 81/9)、すなわち N(12, 9) に従います。分散は 9 です。中心 12 に関する対称性と1点の確率が 0 であることから、12 以上の確率は 1/2 です。12 未満の確率も 1/2 であり、合計は 1 です。

3. 母平均は 1・(1/2) + 5・(1/2) = 3 です。二乗の平均は 1²・(1/2) + 5²・(1/2) = 13 なので、母分散は 13 − 3² = 4 です。独立同分布より標本平均の期待値は 3、分散は 4/64 = 1/16 です。問題が十分大きいとする条件を使い、N(3, 1/16) で近似します。標本平均は飛び飛びの値をとるので、これは厳密な正規分布ではありません。分散に 64 を掛けると母分散 4 に戻ります。

4. 2回とも 0 なら平均は 0、異なる値なら平均は 3、2回とも 6 なら平均は 6 です。独立性から、各々の確率は順に (1/2)・(1/2) = 1/4、2・(1/2)・(1/2) = 1/2、(1/2)・(1/2) = 1/4 です。合計は 1 です。有限個の点に確率をもつので、連続型の正規分布そのものではありません。

5. 母標準偏差は √144 = 12 です。標本数を n とすると、独立性から標本平均の標準偏差は 12/√n です。条件により 12/√n = 2、したがって √n = 6、n = 36 です。実際に 12/√36 = 2 となり、求める条件を満たします。n は正の整数です。

覚えておくこと

正規母集団からの独立な標本平均は、どの正の標本数でも正規分布に従います。 非正規母集団では、独立同分布などの条件の下で大標本の正規近似を考えます。 標本平均の分散は σ²/n、標準偏差は σ/√n です。

つまずきを見分ける

式の第2項に σ/√n と書いたときは、それが標準偏差か分散かを尋ね、平方して σ²/n に戻せるかを確かめます。近似の記号を付け忘れたときは、標本平均の取りうる値が連続か飛び飛びかを調べると違いが見えます。小標本を正規と断定したときは、母集団そのものの形が問題文にあるかを探します。

個別指導では、同じ記録の写しを平均した場合と、独立な記録を平均した場合を並べて、分散を割ってよい理由を説明できるかを確認します。次に正規母集団と非正規母集団の条件を隠さず読み直し、厳密な分布と近似をそれぞれ言葉にします。標本平均の形は、標本数と抽出の仕方を合わせて判断します。