高校数学B 隣接三項間の漸化式—二つの初期値と差の変換で一般項までつなぐ｜武蔵野個別指導塾

二つの初期値を使い、異なる根と重根の違いを差の変換からたどる隣接三項の解法です。

よくあるのは、高2の高校生が隣接三項の式から一般項を作り、初期値を一つしか使わないまま係数を残してしまう場面です。次の項を決めるには、その直前の2項が必要です。式を変形して等比数列を見つけても、変形前の数列へ戻す段階で、もう一方の初期値が必要になります。

ここでは定係数の同次型を扱います。三つの項を一度に見つめ続ける代わりに、隣り合う2項の差を新しい数列とし、初項から元の数列へ戻します。異なる実数の根を持つ場合と、同じ根が重なる場合を比べましょう。

まず条件から読む

典型的な問いは、2つの初期値と漸化式から一般項を求めるものです。別の問いでは、一般項の候補が与えられ、初期値と漸化式を満たすかを確認します。また、係数に文字が含まれる場合は、根が重なる値を先に分けます。いずれも、式が成り立つ添字の範囲と求める一般項の範囲を読み取ります。

a₁とa₂があり、nが1以上の整数のときaₙ₊₂がaₙ₊₁とaₙで定まるなら、まずa₃が決まり、続いてa₄が決まります。この順序で各項が一意に決まります。初期値が一つ欠けると、通常は次の項も決まりません。たとえばa₁だけではa₂を選べるため、その選択によって後の項が変わります。

候補の検算では、最初の2項を代入し、その後、任意のnについて元の漸化式を満たすことを示します。数項が一致することは計算ミスを見つける手がかりですが、それだけではすべての項の証明になりません。

三項を二項の関係に変える

nを1以上の整数とし、aₙ₊₂ = P aₙ₊₁ + Q aₙを考えます。ここでP、Qは定数です。二次式 x² − P x − Q が実数r、sを使って(x − r)(x − s)と因数分解できるとします。係数を比べるとP = r + s、Q = -rsです。したがって次のように書き換えられます。

aₙ₊₂ = (r + s)aₙ₊₁ - rs aₙ
aₙ₊₂ - r aₙ₊₁ = s(aₙ₊₁ - r aₙ)

bₙ = aₙ₊₁ − r aₙと置けば、bₙ₊₁ = s bₙです。b₁ = a₂ − r a₁なので、nが1以上のときbₙ = (a₂ − r a₁)sⁿ⁻¹となります。sが0のときも、b₁を別に扱い、b₂以降が0と考えれば割り算は不要です。二つの根を入れ替えれば、別の差の数列も作れます。

図1のように、元の2項から差の1項を作り、その差の間の関係を使います。等比の式を得た時点で求まったのはbₙです。aₙへ戻す式をもう一段解くことを忘れないでください。

rとsが異なり、どちらも0でない場合は、aₙ = A rⁿ⁻¹ + B sⁿ⁻¹という形が使えます。実際、各等比数列は元の式を満たし、その和も満たします。初期値からA + B = a₁、rA + sB = a₂です。r − sが0でないので、この2式からA、Bが一意に決まります。得られた数列が初期値と漸化式を満たすため、一意性によって元の数列と一致します。

根が重なると、この2つの式ではAとBを別々に決められません。そこで同じ差の変換を使い、等比数列を一度割ってから増分を足します。重根が0なら割れないため、元の式から直接求めます。公式の形を覚える前に、割る数が0でないことを確かめましょう。

同じ根が2回現れるときに、異なる根の係数比較をそのまま使うと、2本の条件が独立しなくなります。これは計算が面倒だからではなく、同じ数列を2回足しているからです。差を取った後、割れる場合に限って累乗で割ると、隠れていた一定の増分が見えます。

また、根が異なっても0を含む場合は、0で割る変換を避けます。たとえば一方の根が0なら、三項の式からaₙ₊₂とaₙ₊₁の関係を直接読み、a₂を起点に第3項以降を求められます。初項をその関係に無理に含めないことが大切です。

基本例題：異なる根で差を戻す

数列がa₁ = 2、a₂ = 7、aₙ₊₂ = 5aₙ₊₁ − 6aₙを満たします。nは1以上の整数です。aₙをnの式で求めてください。

二次式を因数分解するとx² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)です。図2のように、まず2倍を引いた差を作ります。

aₙ₊₂ - 2aₙ₊₁ = 3(aₙ₊₁ - 2aₙ)
bₙ = aₙ₊₁ - 2aₙ
bₙ₊₁ = 3bₙ
b₁ = 7 - 2・2 = 3
bₙ = 3ⁿ

よってaₙ₊₁ − 2aₙ = 3ⁿです。2は0でないので、両辺を2ⁿで割り、cₙ = aₙ/2ⁿ⁻¹と置きます。

cₙ₊₁ - cₙ = (3/2)ⁿ
cₙ = c₁ + Σ[k=1..n-1] (3/2)ᵏ
c₁ = 2
Σ[k=1..n-1] (3/2)ᵏ = 3((3/2)ⁿ⁻¹ - 1)
cₙ = 3(3/2)ⁿ⁻¹ - 1
aₙ = 3・3ⁿ⁻¹ - 2ⁿ⁻¹

和を使った行はnが2以上のときです。最後の式はn = 1にも代入でき、2となります。n = 2では9 − 2 = 7です。さらに元の式に戻すと、3の累乗部分には9 = 5・3 − 6、2の累乗部分には4 = 5・2 − 6が成り立つため、任意のnで漸化式を満たします。2つの初期値と式を確認できたので、この一般項が答えです。

差を作る際に3倍を引けば公比2の数列になります。どちらを選んでも答えは同じですが、差の初項は選んだ引き方に合わせて計算します。公比と引いた係数を取り違えないことが、最初の関門です。

標準例題：負の根と初期値

数列がa₁ = 4、a₂ = -1、aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + 2aₙを満たします。nは1以上の整数です。aₙをnの式で求めてください。

x² - x - 2 = (x - 2)(x + 1)
aₙ₊₂ + aₙ₊₁ = 2(aₙ₊₁ + aₙ)
bₙ = aₙ₊₁ + aₙ
b₁ = -1 + 4 = 3
bₙ = 3・2ⁿ⁻¹

この式からaₙ₊₁ + aₙ = 3・2ⁿ⁻¹です。元の式を満たす候補をaₙ = A・2ⁿ⁻¹ + B・(-1)ⁿ⁻¹と置きます。初期値をそれぞれ代入します。

A + B = 4
2A - B = -1
3A = 3
A = 1
B = 3
aₙ = 2ⁿ⁻¹ + 3・(-1)ⁿ⁻¹

n = 1で4、n = 2で-1です。根2と-1はいずれもx² = x + 2を満たすので、それぞれの累乗部分も元の漸化式を満たします。差から得たbₙにも代入すると、負の根の部分が消えて3・2ⁿ⁻¹が残ります。両方の初期値と元の式に戻した確認がそろいました。

負の根の項は正負が交互に変わります。偶数番目と奇数番目で符号を調べず、負の符号を常に外へ出すと、a₂を取り違えます。上の候補形は異なる非零の根で使い、根が重なるときには次の方法に切り替えます。

発展例題：重根のときは増分を足す

数列がa₁ = 1、a₂ = 8、aₙ₊₂ = 4aₙ₊₁ − 4aₙを満たします。nは1以上の整数です。aₙをnの式で求めてください。

x² - 4x + 4 = (x - 2)²
aₙ₊₂ - 2aₙ₊₁ = 2(aₙ₊₁ - 2aₙ)
bₙ = aₙ₊₁ - 2aₙ
b₁ = 8 - 2・1 = 6
bₙ = 6・2ⁿ⁻¹

2は0でないためcₙ = aₙ/2ⁿ⁻¹と置けます。bₙの式の両辺を2ⁿで割ります。

cₙ₊₁ - cₙ = 3
c₁ = 1
cₙ = 1 + 3(n - 1)
cₙ = 3n - 2
aₙ = (3n - 2)2ⁿ⁻¹

cₙは初項1、公差3の等差数列です。n = 1で1、n = 2で8になります。また一般項を元の式に代入すると、両辺はともに(3n + 4)2ⁿ⁺¹です。初期値と漸化式を満たすため、すべてのnに対する答えと確定します。

重根が0の場合は事情が違います。たとえばaₙ₊₂ = 0なら、a₁とa₂は与えられたまま、a₃以降が0です。0の累乗で割る操作はできません。重根という名前だけで同じ割り算を始めず、元の式が簡単になっていないか先に見ます。

誤答を直す：係数を一つ残したままにしない

基本例題で、aₙ = A・2ⁿ⁻¹ + B・3ⁿ⁻¹と置き、a₁ = 2からA + B = 2として終えたとします。図3のように、この一式だけではAとBが別々には決まりません。たとえばA = 0、B = 2も、A = -1、B = 3も初項を満たしますが、第2項はそれぞれ6と7です。

正しくはa₂ = 7も使います。A + B = 2と2A + 3B = 7を連立するとB = 3、A = -1です。これが基本例題の答えと一致します。係数を決める式が足りないときは、複雑な計算を増やす前に、問題で与えられた値をすべて使ったか確認しましょう。

もう一つの誤りは、重根2のときaₙ = A・2ⁿ⁻¹ + B・2ⁿ⁻¹とすることです。これは(A + B)2ⁿ⁻¹にまとめられ、独立した2つの係数を持ちません。発展例題の初項1を入れるとA + B = 1ですが、第2項は2に固定され、与えられた8と合いません。差を2の累乗で割ると一定の増分が現れ、nを含む係数が必要だとわかります。

練習問題

いずれも漸化式はnが1以上の整数で成り立つものとします。一般項はnが1以上の整数の式で答えてください。

1. a₁ = 3、a₂ = 8、aₙ₊₂ = 3aₙ₊₁ − 2aₙの一般項を求めてください。
2. a₁ = 2、a₂ = 1、aₙ₊₂ = 2aₙ₊₁ + 3aₙの一般項を求めてください。
3. a₁ = 5、a₂ = 3、aₙ₊₂ = 2aₙ₊₁ − aₙの一般項を求めてください。
4. a₁ = 6、a₂ = -2、aₙ₊₂ = 0の一般項を、必要に応じて場合分けして求めてください。
5. a₁ = 2、a₂ = 5、aₙ₊₂ = 2t aₙ₊₁ − t² aₙについて、実数tが0でない場合の一般項を求めてください。

解答と道筋

1. 根は1と2です。差bₙ = aₙ₊₁ − aₙとするとbₙ₊₁ = 2bₙ、b₁ = 5です。

bₙ = 5・2ⁿ⁻¹
aₙ = 3 + 5Σ[k=1..n-1] 2ᵏ⁻¹
aₙ = 3 + 5(2ⁿ⁻¹ - 1)
aₙ = 5・2ⁿ⁻¹ - 2

和の行はnが2以上です。最後の式はn = 1で3、n = 2で8となり、各累乗部分は元の式も満たします。

2. 根は3と-1です。候補をA・3ⁿ⁻¹ + B・(-1)ⁿ⁻¹と置き、2つの初期値を使います。

A + B = 2
3A - B = 1
4A = 3
A = 3/4
B = 5/4
aₙ = (3/4)3ⁿ⁻¹ + (5/4)(-1)ⁿ⁻¹

初項は2、第2項は9/4 − 5/4 = 1です。両根はx² = 2x + 3を満たすので、元の式にも戻ります。

3. 根は1の重根です。bₙ = aₙ₊₁ − aₙとするとbₙ₊₁ = bₙ、b₁ = -2です。

aₙ = 5 - 2(n - 1)
aₙ = 7 - 2n

n = 1、2でそれぞれ5、3となります。隣接差が常に-2なので、aₙ₊₂ − aₙ₊₁ = aₙ₊₁ − aₙも満たします。

4. 元の式をn = 1、2、3、…と順に使います。

a₃ = 0
a₄ = 0
nが3以上ならaₙ = 0

答えはa₁ = 6、a₂ = -2、nが3以上ではaₙ = 0です。初めの2項は漸化式の右辺から決まる項ではありません。nが1以上なら左辺の添字は3以上なので、元の式にも一致します。

5. 根はtの重根です。tが0でない条件を使い、差と割った数列を作ります。

bₙ = aₙ₊₁ - t aₙ
bₙ₊₁ = t bₙ
b₁ = 5 - 2t
bₙ = (5 - 2t)tⁿ⁻¹
cₙ = aₙ/tⁿ⁻¹
cₙ₊₁ - cₙ = (5 - 2t)/t
c₁ = 2
cₙ = 2 + (n - 1)(5 - 2t)/t
aₙ = {2 + (n - 1)(5 - 2t)/t}tⁿ⁻¹

n = 1で2、n = 2で2t + 5 − 2t = 5です。cₙの差が一定なので、aₙ₊₂ − t aₙ₊₁ = t(aₙ₊₁ − t aₙ)が成り立ち、元の式に戻ります。t = 0は問題の範囲外であり、この式には代入できません。

手元に残す要点

• 三項の式と2つの初期値から、各項が順に決まります。
• 因数分解の2つの根を使い、隣接2項の差を作ります。
• 根が異なる場合は、2つの初期値で係数を決めます。
• 重根では差の変換を使い、0で割らないようにします。
• 初期値と元の漸化式の両方へ答えを戻します。

止まった場所を確かめる

式変形が止まったら、まずaₙ₊₂、aₙ₊₁、aₙの係数と、因数分解した二次式の符号を並べて見ます。次に差の初項にa₁とa₂のどちらが入るかを指で追います。bₙまで出ている場合は、求めるのがaₙであることに戻り、差の式から復元する行を補います。

個別指導で確認するときも、答えの形だけで判断せず、根が重なるか、割る数は0でないか、2つの初期値をどの行で使ったかを順番にたどります。候補を元の漸化式へ戻す最後の1行まで書けば、途中の符号や添字の誤りを自分で探せます。