高校数学B 定数項を含む一次漸化式—一定の値を引いて等比数列に直す理由を追う｜武蔵野個別指導塾

固定値を引く理由と変換後の初項を分けて整理し、係数が1や0の場合には元の漸化式に戻って計算を分けます。

よくあるのは、高2の高校生が漸化式から引く定数を求めた後、それを変換後の初項にそのまま使ってしまう場面です。引く定数は、変化させても値が変わらない基準です。変換後の初項は、元の初項からその基準を引いた差です。この2つを別々に書けば、等比数列の式を作るときに混ざりません。

問題文から先に拾うもの

自然数 n について、aₙ₊₁ = p aₙ + q と初項 a₁ が与えられる形を考えます。p、q は定数です。初項と次の項を作る規則があれば、a₂、a₃と順に値が決まります。求めるものが一般項なら、答えは自然数 n を用いて表し、初項と元の規則の両方に戻して確かめます。

問い方には、初項と漸化式から一般項を求めるもの、一般項から指定された項を計算するもの、係数に文字を含み場合分けするものがあります。どれも最初に p が 1 かどうかを調べます。p = 1 なら次の項との差が一定です。p が 1 でないなら、基準となる値を引く方法が使えます。

式の右辺に定数があると、そのままでは各項を同じ数倍しているとはいえません。例えば右辺が 2aₙ + 3 なら、aₙ₊₁/aₙ を公比と決めてはいけません。項が 0 になることもあり、割り算自体ができない場合もあるためです。差に注目すれば、項で割らずに変換できます。

固定値を基準にして差を眺める

ある定数 α を入れても次が α になるとします。このとき α = pα + q です。このような値をここでは固定値と呼びます。固定値は数列の初項とは限りません。初項を固定値として与えられた場合は、次もその値になり、その後も同じ値が続きます。

p ≠ 1 なら、固定値の式を移項して次を得ます。

α - pα = q
(1 - p)α = q
α = q/(1 - p)

分母 1 − p が 0 でないことは、p ≠ 1 を確認したので保証されます。固定値の等式を元の漸化式から引くと、次のように定数項が消えます。

aₙ₊₁ - α = p aₙ + q - (pα + q)
aₙ₊₁ - α = p(aₙ - α)

ここで bₙ = aₙ − α と置くと、bₙ₊₁ = p bₙ です。図1のように、元の項から固定値までの符号つきの差が、次の項では p 倍になります。差が負のときも同じ式が成り立ちます。

図1の差は距離の絶対値ではなく、引き算の順序を持つ値です。b₁ = a₁ − α を使い、p ≠ 0 なら等比数列の一般項 bₙ = (a₁ − α)pⁿ⁻¹ を得ます。最後に α を戻すと aₙ = α + (a₁ − α)pⁿ⁻¹ です。初項の差が 0 の場合も、この式は成り立ちます。

p = 0 のときは、元の式が aₙ₊₁ = q です。したがって a₁ は与えられた値、n ≧ 2 では aₙ = q と直接扱えます。固定値 α = q、b₁ = a₁ − q、b₂ 以降は 0 と考えても同じです。n = 1 で 0 の 0 乗を扱う必要を避けるため、初項とそれ以降を分けます。

p = 1 のときは固定値の式が α = α + q となります。q ≠ 0 なら固定値は存在しません。q = 0 ならどの値も固定値ですが、固定値の公式は分母が 0 なので使えません。元の式から aₙ₊₁ − aₙ = q と読み、初項 a₁、公差 q の等差数列として aₙ = a₁ + (n − 1)q を使います。q = 0 もこの式に含まれます。

変換が成り立つ範囲を確かめる

固定値を引く操作は、元の式が与えられた自然数 n の範囲で行います。初項から始まる規則なら、n = 1 を入れた式は a₂ と a₁ の関係です。変換後も b₂ = p b₁ となり、初項の次の差を正しく作ります。一般項に現れる指数が n − 1 なのは、初項から次の項までが1回の乗算だからです。n 回掛けると、初項の時点ですでに1回余分に進んでしまいます。

初項と固定値が等しい場合も確認しましょう。b₁ = 0 なので、漸化式から b₂ = 0、b₃ = 0 と続きます。元の数列は各項が固定値です。差が 0 であることを理由に差で割る必要はありません。むしろ割る操作を避ければ、この場合も他の場合と同じ変形で扱えます。

答えを確かめるには、まず n = 1 を代入して与えられた初項に戻します。次に一般の n について、答えを漸化式の右辺へ入れ、答えの n を n + 1 に替えた式と比べます。前者は初期条件、後者は次の項を作る規則の確認です。両方がそろえば、初項から順に同じ項が決まることを使えます。いくつかの項を計算する確認は計算違いを見つける助けですが、それだけでは任意の n についての証明にはなりません。

基本例題：引く値と初項の差を分ける

自然数 n について a₁ = 7、aₙ₊₁ = 2aₙ − 3 とします。一般項を n の式で求めてください。

まず係数 2 は 1 ではありません。固定値 α は次の式を満たします。

α = 2α - 3
α = 3

よって両辺から 3 を引くと、次のようになります。

aₙ₊₁ - 3 = 2aₙ - 6
aₙ₊₁ - 3 = 2(aₙ - 3)

bₙ = aₙ − 3 と置けば、bₙ₊₁ = 2bₙ です。初項は固定値 3 ではなく、b₁ = 7 − 3 = 4 です。図2のように差を2倍してから固定値を戻すと、元の項が得られます。

bₙ = 4・2ⁿ⁻¹
aₙ = bₙ + 3
aₙ = 3 + 4・2ⁿ⁻¹

答えの範囲は n ≧ 1 の自然数です。n = 1 では 3 + 4 = 7 となり、初項に戻ります。また、右辺から次の項を作ると 2(3 + 4・2ⁿ⁻¹) − 3 = 3 + 4・2ⁿ です。これは求めた式に n + 1 を入れたものと一致します。数項の一致に加えて、この関係が任意の自然数 n で成立するので、初項から順に元の数列と一致します。

標準例題：負の係数で符号を保つ

自然数 n について a₁ = 1、aₙ₊₁ = -2aₙ + 6 とします。一般項を n の式で求めてください。

固定値 α を求めるとき、係数の符号を残します。

α = -2α + 6
3α = 6
α = 2

次に固定値の式を引きます。

aₙ₊₁ - 2 = -2aₙ + 4
aₙ₊₁ - 2 = -2(aₙ - 2)

bₙ = aₙ − 2 とすると、b₁ = 1 − 2 = -1、bₙ₊₁ = -2bₙ です。公比は -2 なので、差の符号は項が進むたびに変わります。

bₙ = -(-2)ⁿ⁻¹
aₙ = 2 - (-2)ⁿ⁻¹

n ≧ 1 の自然数で成り立ちます。初項は 2 − 1 = 1 です。元の式から a₂ = -2・1 + 6 = 4 となり、一般項に n = 2 を入れても 2 − (-2) = 4 です。さらに一般の n で、-2{2 − (-2)ⁿ⁻¹} + 6 = 2 − (-2)ⁿ となり、次の項の式に一致します。負の公比を正に直すと、この交互の符号が失われます。

発展例題：係数が文字のときの分岐

実数 t に対し、a₁ = 5、aₙ₊₁ = t aₙ + 2 とします。自然数 n の一般項を、必要な場合分けをして求めてください。

まず t = 1 なら、隣り合う項の差は 2 です。したがって初項から n − 1 回だけ 2 を足します。

aₙ = 5 + 2(n - 1)
aₙ = 2n + 3

次に t ≠ 1 かつ t ≠ 0 なら、固定値は α = 2/(1 − t) です。分母が 0 でないことを確認してから使います。

aₙ₊₁ - α = t(aₙ - α)
a₁ - α = 5 - 2/(1 - t)
aₙ = 2/(1 - t) + {5 - 2/(1 - t)}tⁿ⁻¹

最後に t = 0 なら、元の規則は aₙ₊₁ = 2 です。よって a₁ = 5、n ≧ 2 では aₙ = 2 です。例えば t = 1 では一般項から a₂ = 7、元の規則からも 5 + 2 = 7 です。t = 0 では次の項が 2 になるという規則そのものに戻ります。

t ≠ 0、1 の式も初項と規則へ戻します。n = 1 で t⁰ = 1 なので右辺は 5 です。また α = tα + 2 を使うと、元の右辺は tα + 2 + t(5 − α)tⁿ⁻¹ = α + (5 − α)tⁿ となり、次の項の式に一致します。文字を含む場合でも、式を出して終わりにせず、それぞれの範囲で分母と初項を確認します。

誤答を直す：固定値を初項にしない

基本例題で固定値が 3 と求まった後、bₙ = aₙ − 3 に対して b₁ = 3 としてしまう誤りを考えます。この計算から得る aₙ = 3 + 3・2ⁿ⁻¹ は、n = 1 で 6 となり、与えられた 7 に戻りません。

図3のように、元の初項 7 から固定値 3 を引くと、変換後の初項は 4 です。3 は基準の値で、4 は基準から初項までの差です。記号を置いた直後に n = 1 を代入すれば、両者を区別できます。

別の誤りは、固定値の式を α = pα + q ではなく α = pα − q と置くことです。固定値とは元の式に同じ値を前後に入れたものですから、右辺の符号は元の問題に合わせます。求めた α を pα + q に戻し、同じ α が出るか確認してください。

また、p = 1 を見落として q/(1 − p) に代入すると分母が 0 になります。計算を続けず、元の式に戻って差が一定と読み直します。p = 0 で初項まで q とする誤りにも注意が必要です。規則は a₂ 以降を q と定めますが、a₁ は別に与えられています。

練習問題

いずれも自然数 n に対する数列です。一般項は n の式で、必要なら n の範囲を分けて答えてください。

1. a₁ = 8、aₙ₊₁ = 3aₙ − 4 の一般項を求めてください。
2. a₁ = -1、aₙ₊₁ = -aₙ + 8 の一般項を求めてください。
3. a₁ = 6、aₙ₊₁ = aₙ − 5 の一般項を求めてください。
4. a₁ = -3、aₙ₊₁ = 0aₙ + 9 の一般項を求めてください。
5. a₁ = 10、aₙ₊₁ = (1/2)aₙ + 3 の一般項と a₄ を求めてください。a₄ は整数または既約分数で答えてください。

練習問題の答えと道筋

1

固定値を α とすると、α = 3α − 4 より α = 2 です。差を bₙ = aₙ − 2 と置きます。

bₙ₊₁ = 3bₙ
b₁ = 8 - 2 = 6
bₙ = 6・3ⁿ⁻¹
aₙ = 2 + 6・3ⁿ⁻¹

n = 1 で 8、n = 2 で 20 です。元の規則も 3・8 − 4 = 20 を与えます。さらに 3aₙ − 4 = 2 + 6・3ⁿ なので、一般の次の項にも戻ります。

2

固定値の式は α = -α + 8 です。これを解くと α = 4 です。

bₙ = aₙ - 4
bₙ₊₁ = -bₙ
b₁ = -1 - 4 = -5
bₙ = -5・(-1)ⁿ⁻¹
aₙ = 4 - 5・(-1)ⁿ⁻¹

初項は -1、次の項は 9 です。元の式でも -(-1) + 8 = 9 です。一般に -aₙ + 8 = 4 + 5・(-1)ⁿ⁻¹ = 4 − 5・(-1)ⁿ となり、次の項の式に一致します。

3

係数が 1 なので固定値の公式は使いません。公差 -5 の等差数列として計算します。

aₙ = 6 + (n - 1)(-5)
aₙ = 11 - 5n

n = 1 で 6、n = 2 で 1 です。元の規則でも 6 − 5 = 1 です。一般に aₙ − 5 = 11 − 5(n + 1) となるため、次の項にも一致します。

4

係数が 0 なので、次の項は直前の値に関係なく 9 です。

a₁ = -3
aₙ = 9  （n ≧ 2）

初項を規則に入れると a₂ = 0・(-3) + 9 = 9 です。以後も 0・9 + 9 = 9 なので、分けた答えは元の条件を満たします。初項を 9 と書き換えないことが要点です。

5

固定値を α とすると、α = α/2 + 3 より α = 6 です。bₙ = aₙ − 6 と置きます。

bₙ₊₁ = (1/2)bₙ
b₁ = 10 - 6 = 4
bₙ = 4・(1/2)ⁿ⁻¹
aₙ = 6 + 4・(1/2)ⁿ⁻¹
a₄ = 6 + 4・(1/2)³
a₄ = 13/2

元の規則で順に計算すると、a₂ = 8、a₃ = 7、a₄ = 13/2 です。また一般の n で (1/2)aₙ + 3 = 6 + 4・(1/2)ⁿ となります。直接作った項と一般項の両方から、指定された項が同じ値になります。

手元に残す要点

• p ≠ 1 では α = pα + q を解き、固定値 α を求めます。
• bₙ = aₙ − α の初項は b₁ = a₁ − α です。
• p = 1 は差が一定、p = 0 は初項とそれ以降を分けます。
• 元の初項と漸化式の両方に答えを戻します。

つまずいた行を見つける

固定値までは求められるのに答えが合わない場合は、b₁ の行に元の初項を実際に代入してみます。値を引く順序が逆なら、その次の一般項にも符号の誤りが残ります。負の公比なら、2項目の差が初項の差と逆符号になっているかも確かめます。

途中の式が合うのに初項へ戻らない場合は、最後に固定値を足し戻したかを点検します。個別に考え方を確かめる場面では、どの行で元の数列から差の数列へ移り、どの行で戻したかを指で追うと、止まった場所が見えます。固定値と初項の差を区別すれば、変換の意味が式の端から端までつながります。