高校数学B 等差数列と等比数列の条件—三つの数の順序と符号を保って連立条件を解く｜武蔵野個別指導塾

三つの数の並べ替えから中項の式を作り、負の公比や0を含む候補を吟味し、並びと符号から中項を追う。

よくあるのは、高2の高校生が中項の条件だけで三つの数の並びまで決まったと思う場面です。左右の端を入れ替えても、真ん中の2倍や2乗を使った式は同じに見えます。しかし、問題が指定する並びはそれぞれ別です。どの文字がどの列の中央に来るかを記録して式を立て、得られた値を順番どおりに戻すところまで考えます。負の公比や0も、条件に反しない限り候補から外せません。

並び替えの条件はどう出るか

三つの実数がある順に等差数列をなし、別の順に等比数列をなす問題では、まず二つの並びをそれぞれ横に書きます。たとえば文字を左から a、b、c と書く並びと、a、c、b と書く並びでは、中項が b と c で異なります。片方の並びに見慣れた式を当てはめて、もう片方にも同じ中項を使うと、別の問題を解いてしまいます。

与えられ方には、両端や中央の値と並び替えを指定する形、三つの和と並び替えを指定する形、公差を文字で置いて別の順の公比を調べる形があります。いずれも、各条件から式を作った後、二次方程式の候補を元の並びへ戻します。実数、正の数、異なる数などの指定があれば、それも最後に照合します。

中項の式は候補を探すための橋です。等比の式を2乗の形にすると正負の情報が消えるので、平方根を取る場面では両方の符号を調べます。また、文字で割る前にその文字が0でないことを確かめます。0を捨ててから計算を進めると、成立する並びを失うことがあります。

中央の位置を先に決める

実数 u、v、w がこの順に等差数列をなすとは、隣り合う差が等しいことです。したがって、

v - u = w - v
2v = u + w

逆に 2v = u + w なら二つの差は等しく、元の順で等差数列になります。v を両端の等差中項と呼びます。公差が0の場合も含み、同じ数が3回並ぶことを除外しません。

実数 u、v、w がこの順に等比数列をなすとは、ある実数 r があって v = ur、w = vr と書けることです。このとき v² = uw です。u が0でなければ、逆に v² = uw から r = v/u と置けます。このとき w = v²/u = vr なので、指定順に等比数列を作れます。r が負でも0でも差し支えありません。

ただし、v² = uw だけを、0を含むすべての並びについて等比数列の十分条件とすることはできません。u = 0 なら等式から v = 0 ですが、w は式だけでは決まりません。公比で順にかける定義に戻すと、先頭が0なら次もその次も0です。つまり (0, 0, 0) は実数の公比を選べますが、(0, 0, 5) は選べません。文字で割れない場合は、式の変形を続けず直接確かめます。

図1のように、二つの並びはそれぞれ中央に印を付けてから式にします。図の a、b、c は実数で、等比の確認は先頭 a が0かどうかで分けます。

図1では等差の中央が b、等比の中央が c です。対応する式は 2b = a + c と c² = ab です。等比の式は、候補が出た後にも先頭から公比をかけて確認します。

基本例題：中央を入れ替えた二つの並び

実数 x、y について、(x, 6, y) はこの順に等差数列、(x, y, 6) はこの順に等比数列です。組 (x, y) をすべて求め、整数の組で答えてください。

図2のように、6 は等差の中央、y は等比の中央です。どちらも3項の並びとして読んでから、条件式を作ります。

等差の条件から x + y = 12 です。等比の条件から y² = 6x です。この式は等比なら必ず成り立つので、まず候補を求めます。x = 12 − y を代入して整理します。

x + y = 12
x = 12 - y
y² = 6x
y² = 6(12 - y)
y² + 6y - 72 = 0
(y - 6)(y + 12) = 0
y = 6 または y = -12

それぞれ x = 12 − y に戻すと、候補は (6, 6) と (24, -12) です。ここで、2乗の式を満たすことだけで終わらず、元の条件を見ます。

(6, 6) なら等差の並びは (6, 6, 6) で公差は0、等比の並びも (6, 6, 6) で公比は1です。(24, -12) なら等差の並びは (24, 6, -12) で公差は -18 です。等比の並びは (24, -12, 6) で、順に -1/2 をかけています。両方とも指定された並びで成立するので、答えは (x, y) = (6, 6), (24, -12) です。

もし y = -12 を「公比は正」と決めつけて捨てると、後者を失います。逆に、問題が正の公比を指定していれば、後者は公比が負なので除きます。何を求めるかと、何が許されているかは問題文から決めます。

標準例題：公差で置いて二つの候補を比較する

実数 a、b、c は、(a, b, c) の順に等差数列をなし、(a, c, b) の順に等比数列をなします。a = 2 のとき、組 (a, b, c) をすべて求め、整数または分数で答えてください。

等差の公差を d と置けば、指定順の3項は (2, 2 + d, 2 + 2d) です。この置き方には初項と公差が含まれ、任意の実数 d に対して等差の条件を満たします。等比の並びは (2, 2 + 2d, 2 + d) です。先頭は2で0ではないので、中項の2乗と両端の積を等しくする式から始められます。

(2 + 2d)² = 2(2 + d)
4 + 8d + 4d² = 4 + 2d
4d² + 6d = 0
2d(2d + 3) = 0
d = 0 または d = -3/2

途中で d で割ると d = 0 の候補を消します。因数分解した後は、それぞれの因数が0の場合を調べます。d = 0 なら (a, b, c) = (2, 2, 2) です。d = -3/2 なら次のようになります。

a = 2
b = 2 - 3/2 = 1/2
c = 2 - 3 = -1

前者は等差の公差0、等比の公比1です。後者は等差の差がともに -3/2 で、等比の並び (2, -1, 1/2) は公比 -1/2 です。どちらも元の条件に戻るので、答えは (2, 2, 2), (2, 1/2, -1) です。

別の立て方として、2b = a + c と c² = ab を連立しても求まります。その場合も a = 2 を代入し、どちらの文字が等比の中央かを保ちます。公差で置く方法は等差の条件を最初から満たし、連立する方法は二つの中項が見えやすいという違いがあります。

発展例題：和から中央を決め、負の候補まで戻す

実数 p、q、r は、(p, q, r) の順に等差数列をなし、(q, p, r) の順に等比数列をなします。p + q + r = 9 のとき、組 (p, q, r) をすべて求め、整数の組で答えてください。

等差の条件は p + r = 2q です。これを和の条件と合わせると、中央の q を先に決められます。

p + r = 2q
p + q + r = 9
2q + q = 9
q = 3
p + r = 6
r = 6 - p

等比の並びは (q, p, r) なので、中央は p です。q = 3 は0ではなく、p² = qr を使って候補を求められます。

p² = qr
p² = 3(6 - p)
p² + 3p - 18 = 0
(p - 3)(p + 6) = 0
p = 3 または p = -6

p = 3 なら r = 3、p = -6 なら r = 12 です。候補は (3, 3, 3) と (-6, 3, 12) です。前者の等差の公差は0、等比の公比は1で、和は9です。後者は等差の差がともに9、等比の並び (3, -6, 12) の公比は -2 で、和は -6 + 3 + 12 = 9 です。したがって、どちらも求める組です。

もし和が0であれば、同じ等差の式から q = 0 となり、等比の先頭も0になります。そのときは q で割れません。先頭が0の等比列は後の項も0であることを使い、残りの条件に戻します。今回の q = 3 という事実と、一般に文字が0ではないという主張は別です。

誤答を並びと定義から直す

基本例題で (x, 6, y) の等差条件を書いた後、等比条件も「6² = xy」としたとします。この式は (x, 6, y) を等比の順として扱ったものです。問題で指定された等比の並びは (x, y, 6) なので、中央の y を2乗して y² = 6x と書き直します。図3では同じ数でも中央の場所が移ることを示しています。

図3の矢印は、並びとそれに対応する条件式を結んでいます。式を覚えていても、順序を写し間違えれば別の条件になります。並びを一列ずつ書き、中項に印を付けてから式へ移ると、どこでずれたかを見つけられます。

もう一つの誤りは、等比の条件 v² = uw を得た時点で、どんな0の並びも成立すると判断することです。たとえば (0, 0, 5) では 0² = 0・5 が成立しますが、先頭0にどの実数をかけても次の0から5には進めません。公比を実際に作れるかを確かめ、成立しない候補は除きます。一方 (5, 0, 0) なら公比0で成立します。0の位置が違えば判断も変わります。

練習問題

次の5問は、各並びの順序を変えずに考えてください。条件を満たす候補をすべて求める問題では、元の並びに戻して漏れと余分な候補を調べます。

1. (4, x, 10) がこの順に等差数列となる実数 x と、(4, y, 9) がこの順に等比数列となる実数 y をそれぞれ求め、整数で答えてください。
2. 実数 a、b、c は (a, b, c) の順に等差数列、(a, c, b) の順に等比数列をなします。a = 3 のとき、組 (a, b, c) をすべて求め、整数または分数で答えてください。
3. (0, x, 0) がこの順に等比数列となる実数 x と、(y, 0, 0) がこの順に等比数列となる実数 y の範囲を、それぞれ答えてください。
4. 実数 p、q、r は (p, q, r) の順に等差数列、(q, p, r) の順に等比数列をなします。p + q + r = 12 のとき、組 (p, q, r) をすべて求め、整数の組で答えてください。
5. 実数 a、b、c は互いに異なり、(a, b, c) の順に等差数列、(b, a, c) の順に等比数列をなします。a = 1 のとき、組 (a, b, c) を求め、整数または分数で答えてください。

練習の解答と解き方

1. 等差は中央の2倍が両端の和なので、2x = 4 + 10 = 14 より x = 7 です。実際に差はどちらも3です。等比は y² = 4・9 = 36 より y = 6 または y = -6 です。前者の公比は 3/2、後者の公比は -3/2 で、どちらも次にかけると9になります。

2. 等差の公差を d とすると、(a, b, c) = (3, 3 + d, 3 + 2d) です。等比の先頭は3で0ではありません。中央 c の条件から次を得ます。

(3 + 2d)² = 3(3 + d)
9 + 12d + 4d² = 9 + 3d
4d² + 9d = 0
d(4d + 9) = 0
d = 0 または d = -9/4

答えは (3, 3, 3), (3, 3/4, -3/2) です。後者の等差の差はどちらも -9/4 です。等比の順では (3, -3/2, 3/4) となり、公比 -1/2 で元の条件に戻ります。前者も公差0、公比1で成立します。

3. (0, x, 0) では、最初の0に実数の公比をかけた値が x なので x = 0 です。実際に (0, 0, 0) は、たとえば公比1で成立します。(y, 0, 0) は任意の実数 y に公比0をかければ成立するので、y はすべての実数です。先頭が0の場合も公比0を選べます。

4. 等差条件と和から、次のように q と r を決めます。

p + r = 2q
p + q + r = 12
3q = 12
q = 4
r = 8 - p

等比の並びの先頭 q は4で0ではないので、中央の p について p² = qr です。

p² = 4(8 - p)
p² + 4p - 32 = 0
(p - 4)(p + 8) = 0
p = 4 または p = -8

答えは (4, 4, 4), (-8, 4, 16) です。前者は公差0、公比1で和が12です。後者は等差の差が12、等比の順 (4, -8, 16) の公比が -2、和が -8 + 4 + 16 = 12 です。

5. 公差を d とすれば (a, b, c) = (1, 1 + d, 1 + 2d) です。等比の順では中央が a なので、a² = bc です。

1 = (1 + d)(1 + 2d)
1 = 1 + 3d + 2d²
d(3 + 2d) = 0
d = 0 または d = -3/2

互いに異なる条件から d = 0 は除きます。残る組は (1, -1/2, -2) です。差はともに -3/2 で、等比の順 (-1/2, 1, -2) は公比 -2 です。3つは互いに異なり、元の条件を満たします。

手元に残す要点

• それぞれの並びを写し、中央の位置を確認します。
• 等差では中央の2倍が両端の和です。
• 等比なら中央の2乗が両端の積ですが、先頭0は定義に戻します。
• 方程式の全候補を元の順序、符号、追加条件で確かめます。

止まった行から確かめる

最初の式が作れないときは、3つの文字を一度に眺めるより、条件ごとに並びを別の行に書いてください。中央の文字を指し、両端を結んでから式にします。式は立ったのに答えが合わないときは、因数で割って0の候補を捨てていないか、平方根の負の候補を落としていないかを確かめます。

個別指導で途中を確かめる場合も、完成した答えだけでなく、どの並びからどの式へ移ったかを見ます。式の段階で止まったのか、候補を元の公比へ戻す段階で止まったのかが見えれば、次に直す行を選べます。二つの条件は、同じ3つの数をそれぞれ指定された順序で見たときに初めてつながります。