高校数学II 常用対数と小数の位置—最初の零でない数字が現れる桁を不等式から求める｜武蔵野個別指導塾

負の整数乗を含む境界と、最初の非零数字の前に並ぶ零の数を不等式で読み分け、小数の位置へつなげます。

よくあるのは、0.0007の最初の零でない数字は小数第4位と読めたのに、その前の零も4個と答えてしまう場面です。小数点のすぐ右が第1位なので、数字が現れる位と、その前にある零の個数には1の差があります。小さな数を実際に書き出せないときは、10の負の整数乗にはさみ、どちらの端に等号が入るかまで確かめます。

小数を並べずに位置を決める

問いの形は大きく3つあります。分数や累乗が与えられ、最初の零でない数字の位を求める形、常用対数の値やその範囲から位を決める形、位が指定されて元の数や対数の範囲を求める形です。最後の形では、境界を逆向きに読み取れるかが試されます。いずれも小数第何位かと零の個数を別々に書きます。

使う道具は、10の整数乗の大小と、正の数に対する常用対数の増加です。常用対数は底が10の対数で、底10は正で1ではありません。真数は正に限ります。小数の位置を考える際はさらに0<N<1を確認します。学習範囲には指数関数、対数の性質と常用対数が含まれます。整数の桁数や先頭の数字の決定には立ち入らず、ここでは最初の非零数字の位置に集中します。

境界を含む側から読む

nを正の整数とします。0<N<1の数の最初の零でない数字が小数第n位に現れることと、次の不等式は同じ意味です。

10⁻ⁿ ≤ N < 10⁻⁽ⁿ⁻¹⁾

左端は小数第n位に1が立つ数です。そこから右端より小さい範囲では、それより左の小数の位はすべて零です。右端そのものは小数第(n-1)位に1が立つので、この範囲に含めません。n=1なら右端は1です。N<1という前提と矛盾しません。最初の非零数字の前にある小数点以下の零は、第1位から第(n-1)位までのn-1個です。

図1のように、数直線で左端に塗った丸、右端に白い丸を置くと等号の位置が見えます。例えば0.001は左端として第3位に入り、0.01は右端なので第2位です。境界を越えたかどうかが位置を変えます。

図1の左端を外し右端を含めると、両方の境界の位を取り違えます。常用対数は正の真数の大小を保つので、上の不等式は次と同値です。

-n ≤ log₁₀ N < -n + 1

したがって、log₁₀ Nが整数でなければ、その整数部分をmとしてn=-mです。ここで整数部分とは、その値以下の最大の整数です。例えば-2.4の整数部分は-3であり、0に近い-2ではありません。対数値がちょうど負の整数のときも同じ不等式を使えばよく、-3なら左端に等しくn=3です。切り上げや絶対値だけを使うと、この端点で間違えやすくなります。

不等式の読み方を逆からも確認します。ある数が10⁻⁴以上なら、小数第4位までに零でない数字が現れます。一方で10⁻³未満なら、小数第3位までには現れません。この2つを合わせると、第4位に初めて現れると決まります。片方の条件だけでは位置を特定できないので、上下の両方を必ず書きます。

対数の不等式も同様です。例えば対数が-5以上-4未満なら、元の数は10⁻⁵以上10⁻⁴未満です。対数の値が負でも真数は正であり、負の小数を考えているわけではありません。対数の符号と元の数の符号を分けて読みます。

基本例題：分数を10の累乗ではさむ

正の数N=1/4000について、最初の零でない数字が現れる位と、その前にある小数点以下の零の個数を整数で求めてください。

分母を比べると、1000<4000≤10000です。どれも正なので逆数を取ると不等号の向きが変わります。

1/10000 ≤ 1/4000 < 1/1000
10⁻⁴ ≤ N < 10⁻³

よってn=4です。最初の零でない数字は小数第4位、その前の零は3個です。図2では左端を含み、右端を含まない区間の中にNを置いています。

図2の位置を、元の分数に戻して確かめます。1/4000=25/100000=0.00025です。第1位から第3位は零、第4位は2です。位と零の個数が異なることも直接確認できます。逆数を取った後に両端の不等号を反転し忘れると、区間自体が成り立たなくなります。

標準例題：近似値の幅ごと運ぶ

N=2の負の12乗について、最初の零でない数字の位とその前の零の個数を整数で求めてください。計算には、与えられた範囲0.3010<log₁₀ 2<0.3011を使ってよいものとします。この範囲は端を含まない精度の条件です。

2は正なので真数条件を満たし、対数の累乗の性質が使えます。負の数を掛けると不等号が逆になる点に注意します。

3.6120 < 12 log₁₀ 2 < 3.6132
-3.6132 < -12 log₁₀ 2 < -3.6120
-4 < log₁₀ N < -3

-4≤log₁₀ N<-3に入るため、最初の非零数字は小数第4位、前の零は3個です。近似値を1つ選んで計算するより、与えられた幅の両端を運ぶと、境界をまたがないことが明示できます。もし計算後の幅が-4をまたいだら、その幅だけから第4位と第5位を判定することはできません。精度の高い条件か、別の正確な比較が必要です。

元の数でも確認します。2¹²=4096なのでN=1/4096です。1000<4096<10000より、10⁻⁴<N<10⁻³です。これは対数から得た第4位と一致します。近似の幅による判断と整数の比較が独立に同じ位置を示しています。

発展例題：位置から元の数の範囲へ戻す

正の数xについてN=x/200とします。Nの最初の零でない数字が小数第3位に現れるためのxの範囲を、不等式で求めてください。また、そのとき非零数字より前の小数点以下の零の個数を整数で答えてください。

小数第3位という条件をまずNの範囲にします。x>0であり、得られる範囲がN<1を満たすことも後で確かめます。

10⁻³ ≤ N < 10⁻²
1/1000 ≤ x/200 < 1/100
1/5 ≤ x < 2

正の200を掛けるので不等号の向きは変わりません。答えは1/5≤x<2、零は2個です。左端x=1/5ではN=1/1000=0.001となり、第3位に1が現れるため含みます。右端x=2ではN=1/100=0.01となり、第2位に現れるため含みません。範囲の内部ではNは正で1より小さく、設定に合います。

対数を使う別の見方では、N>0を確認した後、-3≤log₁₀ N<-2とできます。ただし、今回の分数の両辺に正の数を掛ける方法なら近似は不要です。条件から式への方向と式から条件への方向がどちらも成り立つため、得られた範囲に候補の抜けはありません。

誤答をほどく：位と零を混ぜない

N=0.00001について「小数第5位に最初の1があるから、その前の零も5個」と答える誤りを考えます。第5位そのものは1であり、零ではありません。図3のように第1位から第4位までを数えれば、前の零は4個です。

図3では小数点の左の0を数えず、小数点の右から数えます。修正した答えは小数第5位、零4個です。この数はちょうど10⁻⁵なので、-5≤log₁₀ N<-4の左端にあります。対数値が-5なら第6位とする誤答も、左端の等号を確認すれば防げます。

別の誤りは、与えられた対数の範囲が境界をまたいでいるのに、中央の値で位を決めることです。例えば-3.01<log₁₀ N<-2.99では、-3自体もその両側もあり、第3位と第4位の両方があり得ます。幅を残したままでは一意に決まりません。小数の桁が決まる幅の内部に全体が入るかを先に点検します。

位置から零の個数へ進むとき、nから1を引く理由も図で説明できます。第n位の数字は零でない数字ですから、零として数えるのはその前のn-1か所です。第1位に最初の非零数字があるときは、引き算の結果が0個になります。0個も答えとして自然に扱えます。

逆に零がk個と指定されたら、最初の非零数字は第(k+1)位です。第k位と決めると、零として数えた最後の位に非零数字を同時に置くことになります。この矛盾を小数点の右側に空欄を描いて確かめると、公式を忘れても位置を復元できます。

境界付近の判定では、小数を途中で丸める操作にも気をつけます。例えば0.009999を小数第2位まで丸めた0.01からは、元の数の最初の非零数字の位置を正しく読めません。丸める前の不等式を保持して、位置を決めた後に必要な表現へ直します。

自分で確かめる5問

各問で、最初の零でない数字の位と、その前の小数点以下の零の個数を整数で答えてください。第4問は指定された範囲も不等式で答え、第5問は判定できるかどうかも答えてください。

1. N=1/250について求めてください。
2. N=10⁻⁶について求めてください。
3. N=5の負の5乗について求めてください。
4. 正の数yに対しN=y/50です。最初の非零数字が小数第2位に現れるためのyの範囲を求めてください。
5. 0<N<1で、-2.8<log₁₀ N<-2.2とわかっています。位と零の個数を判定してください。

解答と道筋

1. 分母は100<250<1000なので、逆数を取ります。

1/1000 < 1/250 < 1/100
10⁻³ < N < 10⁻²

小数第3位、零は2個です。元の数は1/250=4/1000=0.004で、実際に第3位に4が現れます。両方の境界が厳密でも、位置を決める区間の内側に入ります。

2. 10⁻⁶=0.000001です。10⁻⁶≤N<10⁻⁵の左端なので、小数第6位、零は5個です。左端を含むことを確かめてから数えます。小数点左の0は零の個数に含めません。

3. 5⁵=3125であり、N=1/3125です。正の分母を10の累乗と比較します。

1000 < 3125 < 10000
1/10000 < 1/3125 < 1/1000
10⁻⁴ < N < 10⁻³

小数第4位、零は3個です。元の数についても、1000<Nの逆数<10000なので、求めた上下限に入ります。対数の近似値を使わなくても正確に判断できます。

4. 第2位に現れる条件をNの不等式にし、正の50を掛けます。

1/100 ≤ y/50 < 1/10
1/2 ≤ y < 5

零は1個です。y=1/2ならN=1/100=0.01で左端を含みます。y=5ならN=1/10=0.1で第1位になるため右端は含みません。内部を含め、この範囲のNは正で1未満です。

5. 与えられた範囲は-3<log₁₀ N<-2に収まります。

-3 ≤ log₁₀ N < -2
10⁻³ ≤ N < 10⁻²

したがって判定でき、小数第3位、零は2個です。底10の指数は増加するので、元の数は0.001以上0.01未満です。範囲の端を丸めて整数にする必要はありません。

解答を出すときは、与えられた数がちょうど境界にある可能性を最後まで残します。近似の上下限の片方が境界と一致していても、等号を含むかによって結論は変わります。例えば対数が-3以上-2未満と確定していれば第3位ですが、-3未満の値が混じる範囲なら第4位の可能性が残ります。

分数の比較では、分母が正かを確認したうえで逆数を取ります。分母が大きいほど分数は小さくなるので、大小の向きを逆にする必要があります。確かめとして両端を小数に直し、求める数がその間にあるかを見ると、向きの取り違えを発見できます。

要点

位置は10⁻ⁿ≤N<10⁻⁽ⁿ⁻¹⁾から小数第n位と読む。 その前の小数点以下の零はn-1個です。 対数では-n≤log₁₀ N<-n+1とし、負の整数の端点も含めて確かめます。 近似値は誤差の幅ごと扱い、境界をまたぐなら判定を保留します。

位の数え方を言葉にする

手が止まったら、まず小数点の右から第1位、第2位と指で追い、非零数字の場所とそれより前の零を別々に数えてみてください。個別指導では、10の負の整数乗を境にした不等式を本人が書き、左端と右端を元の小数に戻して説明できるかを確かめます。近似の幅が境界をまたぐ場合には、答えを急がず判定に必要な情報を言葉にできるかも見ます。境界の等号が定めるのが小数の位置です。