高校数学II 底に文字がある対数—底の条件と増減の場合分けから方程式と不等式を解く｜武蔵野個別指導塾

底にxがある対数で、x=1の候補を除く理由を確かめます。不等式は1未満と1より大きい場合に分け、各真数の条件と重ねます。

よくあるのは、底にxがある対数方程式を変形し、x = 1を候補に残してしまう場面です。指数の式に直すと等式が成立して見えるため、安心して答えに書きたくなります。しかし、底が1の対数は定義されません。変形後に成立することと、元の式が意味を持つことは別の確認です。まず使えるxを決め、その範囲で変形を進めましょう。

どこで条件を使うか

底に文字がある問いには、対数の値が定数に等しい方程式と、対数の値を定数や別の対数と比べる不等式があります。方程式では指数の式に直して候補を求め、元の底と真数を検査します。不等式では、同じ底の対数の増減が底の範囲によって変わるため、比較する前に場合分けが必要です。

例えば底がxで真数にもxが含まれるとき、底の条件だけでは足りません。真数が正となる範囲も同時に満たす必要があります。既習の2次方程式、2次不等式、数直線の共通範囲を使えば処理できます。指数の式に移す操作や不等号の向きに意識が向いたときほど、最初に書いた条件を最後に見直します。

定義できる場所と増減の向き

底と真数には a>0、a≠1、M>0 が必要です。この条件のもとで、Mを底aの累乗で表したときの指数が対数 logₐ M です。つまり logₐ M = p と aのp乗 = M は同じ意味です。底がxなら、式を操作する前に x>0、x≠1 と書きます。さらに真数が式なら、その式が正という条件を加えます。複数の対数があれば、真数をそれぞれ調べます。

図1のように、底の条件は1を境として2つに分かれます。真数の条件はその後で各範囲に重ねます。境目の1はどちらにも含まれず、0も底になれません。条件の境界が等式を満たすように見えても、定義されない点を戻すことはできません。

底が1より大きいとき、対数関数は真数が増えると値も増えます。したがって正のM、Nについて logₓ M < logₓ N は M<N と同じです。一方、0<x<1では真数が増えると対数の値は減ります。この範囲では同じ不等式が M>N に対応します。等号付きの不等式でも向きの反転は同じですが、真数が正という条件自体は等号を含みません。

定数との比較も同じです。例えば logₓ M < 2 を比べる前に、2 = logₓ(x²) と書けます。x>0、x≠1ならx²も正なので、この書き換えが可能です。そのうえでMとx²を比較します。x²と比べる際に得た不等式を、両方の底の範囲で同じ向きに扱わないことが要点です。

基本例題：方程式の候補を選ぶ

底がxの対数 logₓ(x+6) = 2 を解き、解を整数で答えてください。

まず底の条件はx>0、x≠1です。この範囲では真数x+6も正です。対数の定義から次のように直します。

x² = x+6
x²-x-6 = 0
(x-3)(x+2) = 0
x = 3 または x = -2

図2のように、候補のうち-2は底が負なので除きます。3は底が正で1ではなく、真数は9です。実際に3² = 9なので、元の対数の値は2です。答えは x = 3 です。

指数の式は、対数が定義された場所で初めて元の式と結びつきます。例えば-2を指数の式に入れても等式は成立しますが、負の数を底とする元の対数はこの定義では扱えません。候補を出す計算と採用する判断を別の行にすると、この違いが見えます。

別の形として、真数が正になる条件を先に解いてから指数の式に直す方法もあります。この問題では底の正の条件から真数の正が従いますが、それは真数がx+6だからです。真数がx-6なら事情は変わり、x>6が必要になります。問題ごとに条件を計算しましょう。

標準例題：底が1になる候補

底がxの対数 logₓ(x²-2x+2) = 1 を解き、解を整数で答えてください。

底はx>0、x≠1です。真数は平方完成すると (x-1)²+1 ですから、どの実数xでも正です。条件内で対数の定義を使います。

x²-2x+2 = x
x²-3x+2 = 0
(x-1)(x-2) = 0
x = 1 または x = 2

x = 1は真数が1で指数の式も1 = 1ですが、底が1の対数は定義されません。x = 2では真数が2で、底も正かつ1ではないため log₂ 2 = 1 です。答えは x = 2 です。

ここで1を除く理由は、等式の計算に失敗したからではありません。底が1なら、1のどの実数乗も1となり、1の何乗かを一通りに定められないためです。指数の式を得た後に底の条件が見えなくなるので、最初の条件を囲んで残すと候補を照合しやすくなります。

別の見方では、条件を保ったまま因数分解した式から x-1≠0 を使ってx-2 = 0とできます。ただし、約分する前にx-1≠0を明示することが必要です。約分した後にその根拠を忘れるより、2つの候補を列挙し元の式で選ぶ方法は確認の過程が見えます。

発展例題：不等号の向きを切り替える

底がxの対数について logₓ(3x-2) ≥ 1 を解き、解を区間で答えてください。

底からx>0、x≠1、真数から3x-2>0です。これらを重ねるとx>2/3、x≠1です。この条件で1 = logₓ x と表し、正の真数3x-2とxを比べます。

まず 2/3<x<1 では底が1未満です。対数は減少するので不等号を反転します。

3x-2 ≤ x
2x ≤ 2
x ≤ 1

これと 2/3<x<1 の共通範囲は 2/3<x<1 です。x = 2/3では真数が0なので含めません。x = 1は最後の不等式には合いますが、底の条件に反します。

次に x>1 では対数は増加するので、不等号を保ちます。

3x-2 ≥ x
2x ≥ 2
x ≥ 1

共通範囲は x>1 です。よって答えは 2/3<x<1 または x>1 です。

元の比較へ戻して確かめます。例えばx = 3/4なら底は1未満、真数は1/4で底3/4より小さく、対数値は1より大きくなります。x = 2なら真数は4で、log₂ 4 = 2 ≥ 1です。x = 2/3では真数が0、x = 1では底が1となり、どちらも元の式が定義されません。代表点の確認は向きの間違いを探す補助であり、区間全体の根拠は底ごとの単調性と不等式の処理です。

誤答を条件から直す

標準例題で「x²-3x+2 = 0だから x = 1, 2」とする答えは、方程式の計算自体は合っています。しかし図3のように、底が1という定義上の禁止を候補に重ねる段階が抜けています。1を元の対数へ入れて値を1と決めることはできません。2だけを残し、底と真数を確認してから答えます。

不等式にも別の失敗があります。発展例題を底の大小に関係なく 3x-2 ≥ x としてしまうと、1未満の区間を落とします。反対に、常に向きを逆にすると1より大きい区間を落とします。底の範囲を先に分け、各行に増加か減少かを書き添えれば、矢印の向きを理由と一緒に確認できます。

また、真数条件の境界を等号付きにするのも誤りです。真数0の対数は定義されないため、式の変形で等号が現れても真数の正の条件との共通範囲から外れます。候補を拾う検査と、定義されない端点を排除する検査は両方必要です。

範囲の重ね方をもう一度見る

不等式の計算で出た範囲は、その場合に仮定した範囲を自動的に含むわけではありません。発展例題の小さい底の場合、計算結果はx≤1でしたが、それだけを答えると負の数や真数が正でない数まで入ってしまいます。最初の 2/3<x<1 と重ねて初めて、元の式に使える範囲が決まります。逆に、場合分けした片方で共通部分が空になることもあります。その場合は無理に端点を残さず、もう片方の結果と合わせます。

等号の扱いは各条件で別々に考えます。対数の比較が等号付きでも、底が1でない条件や真数が正という条件は変わりません。一方、定義域の内側で2つの真数が等しく、もとの不等号に等号が付いていれば、その点は含まれます。数直線には条件の境界と比較の境界をそれぞれ記してから共通部分を読み取ると、白丸と黒丸の理由を説明できます。

自分で解く5問

次の方程式は実数解を整数または分数で、不等式は解を区間で答えてください。いずれも底はxです。

1. logₓ(x+12) = 2
2. logₓ(x²-4x+4) = 1
3. logₓ(2x-1) > 0
4. logₓ(x+2) ≤ 2
5. logₓ(5-2x) > logₓ x

問題を解く際は、先に底と真数の条件を書き、方程式なら候補を元の式へ戻します。不等式なら1を境に分けてから比較し、各範囲と共通部分を取ってください。

解答と道筋

1

底はx>0、x≠1で、この範囲ではx+12>0です。定義から

x² = x+12
x²-x-12 = 0
(x-4)(x+3) = 0
x = 4 または x = -3

-3は底が負なので不適です。4では真数が16で4² = 16となります。答えは x = 4 です。

2

底はx>0、x≠1です。真数 (x-2)²>0 よりx≠2も必要です。定義から

x²-4x+4 = x
x²-5x+4 = 0
(x-1)(x-4) = 0
x = 1 または x = 4

1は底の条件に反します。4では真数は4で、log₄ 4 = 1です。答えは x = 4 です。真数が0となる2も条件から除いていますが、方程式の候補には現れません。

3

底の条件と真数条件は x>1/2、x≠1 です。0 = logₓ 1 として比較します。1/2<x<1では減少するので 2x-1<1、すなわちx<1となり、その範囲を満たします。x>1では増加するので 2x-1>1、すなわちx>1となり、やはりその範囲を満たします。答えは 1/2<x<1 または x>1 です。

x = 3/4では真数1/2が1より小さく、底が1未満なので対数値は正です。x = 2では真数3が1より大きく、底も1より大きいので正です。1/2は真数0、1は底1のため含めません。

4

x>0、x≠1なら真数x+2は正です。2 = logₓ(x²) として、底ごとに比べます。

x+2 ≤ x² の境界: x²-x-2 = 0
(x-2)(x+1) = 0

0<x<1では減少するので x+2 ≥ x² が必要です。この範囲では (x-2)(x+1)<0 なので全体が入ります。x>1では増加するので x+2 ≤ x²、つまり (x-2)(x+1) ≥ 0 です。共通範囲は x≥2 です。答えは 0<x<1 または x≥2 です。

x = 1/2では真数5/2が1/4より大きく、底が1未満なので対数値は2より小さいです。x = 2では真数4 = 2²で等号が成立します。x = 3/2では真数7/2が9/4より大きく、底は1より大きいので条件を満たしません。1は底の条件で除きます。

5

底と2つの真数から x>0、x≠1、5-2x>0 です。したがって 0<x<5/2、x≠1 です。もう一方の真数xの正も底の条件で満たします。

0<x<1では減少するので 5-2x<x、すなわち x>5/3 が必要です。この範囲との共通部分はありません。1<x<5/2では増加するので 5-2x>x、すなわち x<5/3 です。答えは 1<x<5/3 です。

x = 1/2では真数4が1/2より大きく、減少する対数の値は右辺より小さくなります。x = 3/2では真数2が3/2より大きく、増加する対数の値は右辺より大きくなります。x = 2では真数1が2より小さく、条件を満たしません。x = 5/3では真数が底と等しく、厳密不等号なので含めません。x = 5/2では真数が0です。

要点を残す

底がxなら x>0、x≠1 を最初に書き、各真数の正の条件も加えます。 方程式の候補は元の底と真数に戻して選びます。 不等式は 0<x<1 で向きを逆にし、x>1 で向きを保ちます。 各場合の解と定義される範囲の共通部分を取り、端点を点検します。

説明が止まる場所を見つける

途中式が合っていても、1を候補から除く理由を言えなければ、元の対数の定義に戻ってみましょう。また、不等号を反転した理由を「移項したから」と答えた場合は、底が1未満の対数の増減と2つの真数の大小を言葉で結び直します。個別指導では、条件を先に書けるか、数直線上で共通範囲を取れるか、端点を元の式へ戻せるかを順に確かめます。底が変わる式では、計算の前に定義できる場所が答えの輪郭を決めます。