高校数学II 底の変換公式—分子と分母の順序を導出から確かめて式の値を求める｜武蔵野個別指導塾

底の変換で真数が分子、元の底が分母に来る理由を導き、逆数関係と3つの底を巡る積で式の値を求めます。

よくあるのは、高2が底の変換で分子と分母を逆にしてしまう場面です。計算の途中ではどちらも同じ2つの対数なので、見た目だけで覚えると、答えが逆数になったことに気づきにくいものです。たとえば底が1より大きく、真数がその底を上回るなら、対数値は1より大きくなります。この見通しを使うと、分子と分母を逆にした答えを点検できます。式の順序には、指数の式からたどれる理由があります。

どんな形で底を変えるか

出方は主に3つあります。1つ目は、異なる底の対数を共通の底に直し、与えられた値で表す計算です。2つ目は、底と真数を入れ替えた対数の積や商を整理する計算です。3つ目は、3つの底を巡る積で、隣り合う分子と分母の対応を調べる計算です。どれも順序と条件を明記すれば同じ道具で扱えます。

準備として、a>0、a≠1、M>0のとき、logₐ M = pはaのp乗がMであることを表します。底が1より大きければ指数が増えると値も増え、0と1の間なら指数が増えると値は減ります。この増減は、答えの符号や大小が妥当かを点検するときにも使えます。

学習範囲として、指数法則と対数の意味・性質を使います。ここでは底に未知数が入る方程式には進まず、与えられた正の数を底と真数に持つ式を扱います。

分子に真数、分母に元の底が来る理由

a>0、a≠1、M>0とし、共通の底cもc>0、c≠1とします。このとき底の変換公式は次の形です。

logₐ M = (log꜀ M)/(log꜀ a)

分母が0でないことも必要です。もしlog꜀ a = 0なら、対数の定義からaはcの0乗、つまり1です。これはa≠1に反するので、割り算ができます。cが正で1でないことだけを確かめて、元の底aの条件を忘れないようにします。

公式を導きます。p = logₐ Mと置けば、定義からMはaのp乗です。両辺の底cの対数を取ると、a>0なので累乗の性質を使えます。

M = aのp乗
log꜀ M = log꜀(aのp乗)
log꜀ M = p log꜀ a
p = (log꜀ M)/(log꜀ a)

最後にpを元の対数に戻せば公式です。図1のように、元の真数Mが分子、元の底aが分母に移ります。どちらも新しい底はcです。分数の形を暗記するだけでなく、対数値pに掛かっていたlog꜀ aを割った結果だと考えると、順序を復元できます。

図1の対応は、cが1より小さい場合も同じです。その場合は分子や分母が負になることもありますが、公式そのものを逆にする必要はありません。たとえばa>1、M>1なら、cが1未満のとき両方の対数は負で、商は正です。

Mも1でないときは底と真数を交換でき、次の逆数関係が成り立ちます。

logₐ M = 1/(logₘ a)

ここでM=1なら左辺は0ですが、右辺のlogₘ aは底が1となって定義されません。0の逆数も存在しません。したがって交換にはM>0、M≠1が必要です。公式の分母が0になる場合と、交換した先の底が不適切な場合を別々に点検します。

さらに、a、b、dがいずれも正で1でなければ、底を順に巡る積は1です。共通の底cに変えると、各対数の真数と次の対数の底が対応します。

logₐ b・logᵦ d・logᵈ a
= (log꜀ b)/(log꜀ a)・(log꜀ d)/(log꜀ b)・(log꜀ a)/(log꜀ d)
= 1

分母はそれぞれ0でないため約分できます。積の途中に1が底として紛れていれば、この計算を始めることはできません。記号が巡っているように見えることと、各対数が実際に定義されることの両方を調べます。

基本例題：与えられた対数で表す

問題：log₂ 3 = pとします。log₄ 27をpを用いて表してください。

底2、4は正で1ではなく、真数3、27は正です。共通の底を2にすれば与えられたpを使えます。図2のように、27を分子、4を分母に置き、それぞれの累乗を読み取ります。

図2に対応する計算を、底の変換から順に書きます。

log₄ 27 = (log₂ 27)/(log₂ 4)
= (log₂ 3³)/(log₂ 2²)
= (3 log₂ 3)/2
= 3p/2

分子では27 = 3³、分母では4 = 2²を用いました。底2で2を表す指数は1なので、log₂ 4 = 2です。分子と分母を逆にすると2/(3p)になり、別の対数log₂₇ 4を表すことになります。

答えを元の形に戻して点検します。底2の対数で比べると、4の3p/2乗は2の3p乗であり、2のp乗が3なので3³ = 27です。したがって求めた値は、4を何乗すると27になるかという元の問いに合います。また4<27なので、底4の対数は1より大きいはずです。p>1より3p/2>1となり、この見通しとも矛盾しません。

別の見方として、4のp/2乗は2のp乗、すなわち3です。その3乗が27なので、求める指数は3p/2です。底の変換を使う計算と指数に戻す確認は、どちらも同じ対応を見ています。

標準例題：逆数を含む和

問題：log₅ 2 = qとします。log₂ 5 + log₄ 25をqを用いて表してください。

底2、4、5はいずれも正で1でなく、真数5、25、2も正です。底5でそろえると、log₅ 2 = qが使えます。2≠1なのでq≠0です。

log₂ 5 = (log₅ 5)/(log₅ 2)
= 1/q
log₄ 25 = (log₅ 25)/(log₅ 4)
= 2/(2q)
= 1/q
log₂ 5 + log₄ 25 = 2/q

答えは2/qです。log₄ 25を先に見ると、4 = 2²、25 = 5²ですから、底と真数の両方を同じ正の指数で2乗しても対数値が変わらないことが見えます。この場合も、底が1にならないことを確かめてから使います。

元の問いに戻して確認します。2の1/q乗を底5で表すと、2は5のq乗なので5の1乗となり、確かに5です。また4の1/q乗は2の2/q乗、すなわち5² = 25です。両方の項が1/qに対応するため、和は2/qです。qをそのまま使うと、最初の項はlog₅ 2と底と真数が反対になります。

底を別の数にそろえることも可能ですが、与えられていない対数が残りやすくなります。共通の底を選ぶ前に、既知の対数がどの底を持つかを見ておくと、変形の目的がはっきりします。

発展例題：3つの底を巡る積

問題：log₂ 3 = u、log₃ 7 = vとします。log₇ 8をu、vで表し、さらにlog₂ 3・log₃ 7・log₇ 8の値を求めてください。

底2、3、7は正で1でなく、真数3、7、8も正です。uとvはともに0ではありません。まず底2に変え、log₂ 7を与えられた文字で表します。

v = (log₂ 7)/(log₂ 3)
log₂ 7 = uv
log₇ 8 = (log₂ 8)/(log₂ 7)
= 3/(uv)

したがって積は次のようになります。

log₂ 3・log₃ 7・log₇ 8
= u・v・3/(uv)
= 3

3つ目の真数が2ではなく8である点に注意します。完全に元の底2へ戻る積なら1ですが、ここでは8 = 2³なので3倍です。log₇ 8 = 3 log₇ 2としてから、3つの底を巡る積を使っても同じ答えです。

元の対数の意味でも点検します。2のu乗は3、3のv乗は7なので、2のuv乗は7です。よって7の3/(uv)乗は2³ = 8です。各段階で得た値が次の底につながり、最後に8へ到達します。積を機械的に1とせず、最後に戻る先を確認することが分かれ目です。

逆にしてしまった式の直し方

誤答例として、log₉ 3を底3へ変えて(log₃ 9)/(log₃ 3) = 2とする計算を考えます。底と真数の条件は満たしていますが、分子と分母の役割が逆です。図3のように、2は9を作る指数であり、求める3を作る指数ではありません。

図3では、正しい変換で真数3を分子に置くと1/2になります。実際に9の1/2乗は3です。一方、9²は81なので、誤答2を元の問いへ戻すと一致しません。誤りの原因は約分ではなく、変換した瞬間の対応にあります。

もう1つ注意したいのは、存在しない式を約分で消すことです。たとえばlogₐ 1・log₁ aは、前者が0でも後者の底が1なので定義されません。積が0だと結論することも、巡る積として1だと結論することもできません。計算が始まる前に各項の底と真数を確認します。

練習：変換先と戻り先を選ぶ

次の5問は、近似値を使わず指定の形で答えてください。各対数の条件を確認してから取り組みます。

1. log₆ 36を整数で求めてください。
2. log₃ 11 = sとするとき、log₉ 121をsで表してください。
3. log₇ 4 = tとするとき、log₄ 49をtで表してください。
4. log₂ 5・log₅ 13・log₁₃ 4を整数で求めてください。
5. log₈ 3 = hとするとき、log₂₇ 16をhで表してください。

解答と解き方

1. 底6は正で1でなく、真数36は正です。36 = 6²なので、定義からlog₆ 36 = 2です。元の問いに戻すと6² = 36です。逆に1/2とすると6の平方根になり、36にはなりません。

2. 底3、9は正で1でなく、真数11、121は正です。底3にそろえます。

log₉ 121 = (log₃ 121)/(log₃ 9)
= (2 log₃ 11)/2
= s

3のs乗は11なので、9のs乗はその2乗で121です。元の底9と真数121の対応も確かめられます。分子と分母の2は別々の累乗から現れています。

3. 底7、4は正で1でなく、真数4、49も正です。4≠1なのでt≠0です。

log₄ 49 = (log₇ 49)/(log₇ 4)
= 2/t

7のt乗は4なので、4の2/t乗は7² = 49です。逆数関係からlog₄ 7 = 1/tとして、その2倍と考えても同じです。2tは底7の対数を使った別の値です。

4. 底2、5、13は正で1ではなく、真数5、13、4も正です。底2でそろえると次のようになります。

log₂ 5・log₅ 13・log₁₃ 4
= log₂ 5・(log₂ 13)/(log₂ 5)・(log₂ 4)/(log₂ 13)
= log₂ 4
= 2

各分母は底の条件から0ではありません。途中で5、13を経て最後に4へ移るので、2を何乗すると4になるかに戻ります。2² = 4で、答えは2です。

5. 底8、27、2は正で1でなく、真数3、16も正です。h≠0であることを確認してから割ります。

h = (log₂ 3)/(log₂ 8)
log₂ 3 = 3h
log₂₇ 16 = (log₂ 16)/(log₂ 27)
= 4/(3 log₂ 3)
= 4/(9h)

8のh乗は3ですから、2の3h乗が3です。27はその3乗なので、2の9h乗に等しくなります。したがって27の4/(9h)乗は2⁴ = 16となり、元の問いに戻しても一致します。9hの9は、8と27のそれぞれにある指数3から生じています。

練習の後は、答えの形と元の問いを照らし合わせます。文字を含む答えでは、割った文字が0でない理由も書き添えると、計算の途中で失った条件を見つけられます。

手元に残す要点

• 底と真数が正で、底が1でないことを先に調べます。
• 新しい底の対数では、元の真数を分子、元の底を分母に置きます。
• 底と真数を交換する逆数関係には、交換後の底も1でない条件が必要です。
• 巡る積は最後の真数が最初の底に戻るかを確認します。
• 答えを元の底の指数にして、元の真数になるか試します。

説明が止まった場所を見つける

分数の上下を迷うときは、公式を隠してp = logₐ MからM = aのp乗まで戻れるかを確かめます。そこから共通の底の対数を取り、pに掛かる量を割るところまで自分の言葉で説明できれば、順序の理由が残ります。個別指導では、途中式の正誤に加え、分母が0でない理由や交換後の底の条件を口に出せるかを見ます。

積を1と即答した場合は、最後の真数を指して最初の底と比較します。誤答を元の指数の式に戻して確かめる習慣が、底の変換の向きを支えます。