高校数学II 対数の積と商—指数法則を根拠に対数を分ける式とまとめる式を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

真数の正条件を確認し、積と商を双方向に変形します。和を分ける誤りも反例から見直し、式の意味から見直すのは対数の積と商です。

よくあるのは、高2が真数の和を見て、対数の和に分けてしまう場面です。括弧の中の足し算を外へ出せそうに見えても、対数の性質が結びつけるのは積と和です。式の形を一文字ずつ追い、使える条件を確かめると、どこで計算を進めてよいか判断できます。

何を見て変形を選ぶか

出方は大きく3つあります。積や商の対数を分けて、値のわかる対数に直す問題。反対に、同じ底の対数の和や差を1つにまとめる問題。そして文字を含む真数の条件を調べ、変形後の候補を元の式に戻す問題です。どの型でも、底が正で1ではなく、それぞれの真数が正であることを先に確かめます。

たとえば、真数の中が掛け算なら和に、割り算なら差に対応します。対数の外が足し算なら積へ、引き算なら商へ戻せます。ただし、括弧の中が足し算のままなら、この対応は使えません。真数の内側と外側の演算を区別することが出発点です。

必要な道具は、対数の定義と指数法則、正負の判定、2次方程式です。学習指導要領の数学IIには対数の意味・性質と計算が含まれます。ここでは積と商に絞り、累乗を係数に移す性質は扱いません。

指数に戻すと積が和になる理由

底aがa>0、a≠1を満たし、M>0、N>0とします。logₐ Mは、aを何乗するとMになるかを表す数です。そこでlogₐ M = p、logₐ N = qと置くと、定義からMはaのp乗、Nはaのq乗です。

正の底に対する指数法則より、MとNの積はaの(p+q)乗です。したがって、その積の対数はp+qになります。同じようにM/Nはaの(p-q)乗なので、その対数はp-qです。これが次の2つの式の理由です。

logₐ(MN) = logₐ M + logₐ N
logₐ(M/N) = logₐ M - logₐ N

図1のように、真数の積と対数値の和、真数の商と対数値の差が対応します。MとNはいずれも正なので、積と商も正です。右から左へ読むときも、もとの2つの対数が定義されていることを先に確認します。

図1の対応は、底が1より大きい場合にも、0より大きく1より小さい場合にも成り立ちます。指数の足し算と引き算を使って導いたためです。一方、底が1では1の何乗も1となり、指数を一意に決められません。底が0以下でも、ここで使う実数の対数の定義に入りません。

文字を含むときは、変形前の真数をそれぞれ検査します。たとえばlogₐ U + logₐ Vの定義域はU>0かつV>0です。UV>0という条件だけでは、UとVが両方負の場合まで含んでしまいます。まとめた後のlogₐ(UV)が定義されても、元の2項が定義されるとは限りません。元の条件は最後まで残します。

また、底が同じであることも必要です。異なる底の対数どうしを、そのまま1つの積の対数にすることはできません。式の表面に足し算があることだけで公式を選ばず、底と各真数の条件を読みます。

基本例題：積と商を分けて値を出す

底2の対数について、log₂ 3 = uとします。log₂(24/3)を、uを用いて表し、さらに整数として求めてください。

底2は正で1ではありません。24と3はいずれも正なので、商の対数を差に分けられます。24 = 8・3と見ると、積の性質も使えます。図2のように、最初に商を差にし、24を積に直してから整理します。

log₂(24/3) = log₂ 24 - log₂ 3
= log₂(8・3) - log₂ 3
= log₂ 8 + log₂ 3 - log₂ 3
= 3 + u - u
= 3

図2の左側では24/3 = 8です。元の真数に戻っても、2³ = 8なので答えは3です。uが消えることも計算上確認できます。商を最初に約分できる場合は直接log₂ 8としても構いませんが、分解の練習では各真数が正という根拠を言葉にします。

この例では商の分母が3なので、零による割り算は起こりません。分母が文字なら、正であることを確認してから商を作ります。結果が整数になっても、途中の対数が存在しなければ計算の筋道は成立しません。

条件を判断する際、真数そのものが正かどうかと、対数の値が正かどうかも区別します。たとえば底2で真数が1/2なら対数の値は-1ですが、真数は正なので対数は定義されます。対数値が負であっても、積や商の公式を使うことは妨げられません。反対に、計算後の値が正になりそうでも、真数が負なら最初の対数は定義されません。符号を調べる対象を明確にしておくと、条件を取り違えずに済みます。

標準例題：和と差をまとめて求める

log₃ 5 + log₃ 9 − log₃ 15の値を整数で求めてください。

底3は正で1ではなく、真数5、9、15はいずれも正です。同じ底なので、和を積にし、差を商にします。

log₃ 5 + log₃ 9 - log₃ 15
= log₃(5・9) - log₃ 15
= log₃((5・9)/15)
= log₃ 3
= 1

3¹ = 3ですから、まとめた真数と対数の値は一致します。元の式に戻ると、log₃ 15 = log₃(3・5) = 1 + log₃ 5、log₃ 9 = 2です。よって元の和と差もlog₃ 5 + 2 − (1 + log₃ 5) = 1です。

別の見方では、最初にlog₃ 15をlog₃ 3 + log₃ 5に分けても求まります。まとめる方法は真数の積や商が簡単になるときに便利です。分ける方法は共通の項が消えるときに見通しがよくなります。どちらを選んでも、使う前の条件は同じです。

差の順序にも注意します。log₃ A − log₃ Bをまとめるとlog₃(A/B)であり、B/Aではありません。逆にすると対数値の符号が反対になります。分数の上に先の項、下に引く項を置くと追いやすくなります。

発展例題：積が正でも各真数を確かめる

方程式log₂(x-1) + log₂(x-5) = 3を解き、実数の解を根号で表してください。

底2は正で1ではありません。左辺の2つの対数が存在するためには、x-1>0かつx-5>0が必要です。この共通範囲はx>5です。積が正という条件だけを使わず、元の2項から出発します。

x - 1 > 0、x - 5 > 0
x > 5
log₂((x-1)(x-5)) = 3
(x-1)(x-5) = 8
x² - 6x + 5 = 8
x² - 6x - 3 = 0
(x-3)² = 12
x = 3 + 2√3、3 - 2√3

平方完成で得た2つは、積についての方程式の候補です。√3>1なので3 + 2√3>5です。一方、3 − 2√3<3<5ですから、後者では元の真数が正になりません。したがって解はx = 3 + 2√3です。

元の場面に戻して確認します。この値ではx-1 = 2 + 2√3、x-5 = -2 + 2√3で、どちらも正です。2つの積は(2√3)² − 2² = 8です。よって元の対数の和はlog₂ 8 = 3となります。除いた値では2つの真数がともに負になり、積が8でも元の左辺は実数として定義されません。

この検査は、答えを代入して偶然一致したかを調べるだけではありません。条件のもとでは積の公式と対数の定義を逆向きにも使えるため、変形は同値です。2次方程式の2候補を調べたことで、他の解がないことまで追えます。

誤りを見つけて直す

次の誤った変形を考えます。

log₂(2+2) = log₂ 2 + log₂ 2

左辺はlog₂ 4 = 2、右辺は1 + 1 = 2です。この数では偶然一致するので、1例の一致を公式の証明にしてはいけません。そこで、和の2つの数を変えて試します。

log₂(1+1) = log₂ 2 = 1
log₂ 1 + log₂ 1 = 0 + 0 = 0

図3のように、左辺と右辺は異なります。原因は、真数の積に対する公式を、真数の和に適用したことです。和を見たらそのまま分けず、まず足し算を実行できるか、または真数全体を積に因数分解できるかを考えます。

図3の左側は1+1を先に計算してから対数を取っています。右側は対数を先に取って足した値です。順番を入れ替えた結果が異なるため、和を分ける一般公式はありません。2つがたまたま一致する数を見つけても、別の数で失敗するなら一般には使えないと判断できます。

もう1つの失敗は、log₂(x-1) + log₂(x-5)をまとめた後、積が正だから元の式も定義されると考えることです。両方負でも積は正です。修正するときは、変形前の各真数の不等式を別々に書き、その共通範囲を解答の最後に重ねます。底の条件、分母がある場合の正条件も、同じ段階で確認します。

練習問題

1. log₅(25・125)の値を整数で求めてください。
2. log₇ 18 − log₇ 6を1つの対数にまとめてください。
3. log₄ 7 = vとするとき、log₄ 28をvを用いて表してください。
4. log₃(x+2) + log₃(x-2) = 2を解き、実数の解を根号で表してください。
5. log₂(x+4) − log₂(x-2) = 2を解き、実数の解を分数で表してください。

練習の答えと道筋

1. 底5は正で1ではなく、25と125は正です。積を分けてそれぞれ指数へ戻します。

log₅(25・125) = log₅ 25 + log₅ 125
= 2 + 3
= 5

元の真数は25・125 = 3125で、5⁵ = 3125です。したがって整数の答えは5です。積を先に計算しても同じ値になります。

2. 底7は正で1ではなく、18と6は正です。差は先の真数を後の真数で割った商の対数です。

log₇ 18 - log₇ 6 = log₇(18/6)
= log₇ 3

答えはlog₇ 3です。逆向きに、3・6 = 18なのでlog₇ 3 + log₇ 6 = log₇ 18となり、元の差に戻ります。引く順序を逆にするとlog₇(1/3)となり、元の式とは異なります。

3. 底4は正で1ではなく、4と7も正です。28を4・7と見ると積の公式を使えます。

log₄ 28 = log₄(4・7)
= log₄ 4 + log₄ 7
= 1 + v

4の1乗は4で、vの定義から4のv乗は7です。指数法則より4の(1+v)乗は28となり、元の真数に戻ります。vの値を近似する必要はありません。

4. 底3は正で1ではありません。真数の条件はx+2>0かつx-2>0、つまりx>2です。

log₃((x+2)(x-2)) = 2
(x+2)(x-2) = 9
x² - 4 = 9
x² = 13
x = √13、-√13

√13>2、-√13<2なので、条件を満たすのはx = √13です。元の真数は√13+2と√13-2でともに正、積は13-4 = 9です。よって元の左辺はlog₃ 9 = 2となります。負の候補は積だけ見れば使えますが、各対数が定義されません。

5. 底2は正で1ではありません。x+4>0かつx-2>0からx>2です。その範囲で商にまとめます。

log₂((x+4)/(x-2)) = 2
(x+4)/(x-2) = 4
x + 4 = 4(x-2)
3x = 12
x = 4

4はx>2を満たします。元の真数は8と2で、左辺はlog₂ 8 − log₂ 2 = 3 − 1 = 2です。分母が零になるx = 2は最初の条件で除かれています。元の式の条件と計算結果の両方に戻って検査すると、分母を払う際の見落としも防げます。

要点

積の対数は対数の和、商の対数は対数の差です。
公式を使う前に底と各真数の条件を確かめます。
真数の和は対数の和に分けられません。
文字の候補は元の条件と式に戻して選びます。

つまずきを確かめるとき

個別指導では、まず式のどこが真数で、どこが対数どうしの演算かを本人に指で示してもらいます。次に、積をまとめた式が定義される範囲と、元の各項が定義される範囲を別々に説明してもらいます。両者に差があれば、負の真数を2つ選び、積だけが正になることを確かめます。

和の対数を分けた場合は、図3とは別の正の数を選び、左右をそれぞれ計算します。合った例と合わない例の違いを考えることで、公式を見た目で覚えたのか、指数法則との対応を理解したのかが見えてきます。式の内側の演算を読み取ることが、正しい変形の入口です。