高校数学II 指数関数のグラフ—底の条件から増減と座標の取り方を確かめる｜武蔵野個別指導塾

零乗から縦軸の交点を定め、正の値域と底ごとの増減を使い、指数関数が横軸に触れない理由を説明します。

よくあるのは、座標平面に指数関数の曲線を描くとき、左下から右上へ伸びる形を思い浮かべ、そのまま原点を通してしまう場面です。右上がりという印象は底が1より大きい場合には合っています。しかし、どこを通るかは見た目で決まりません。xに0を入れた値を計算すると、曲線が縦軸と交わる位置が決まります。さらに、底が1より小さければ向きも変わります。

グラフから何を読み取るか

問いの形は大きく3つあります。式が与えられて点を計算し、曲線を描くもの。グラフから底が1より大きいか小さいかを判断するもの。そして、ある点を通る条件から底を決め、定義域や値域を答えるものです。どの場合も、まず底の条件と、x = 0のときの値を確かめます。

準備として、正の数aについてa⁰ = 1、a⁻¹ = 1/aであることを使います。例えばa²はaを2回掛けた数で、a⁻²はその逆数です。分数の指数では、aの1/2乗は2乗するとaになる正の数です。ここから先は、実数の指数を使うグラフの性質を扱います。平行移動したグラフや指数方程式の解法は深追いせず、基本の曲線そのものに目を向けます。

数学IIの学習範囲には指数関数の変化とグラフが含まれます。点をいくつか打つだけでなく、その間をどんな向きにつなぐか、軸に触れるかまで理由を添えることが目標です。

底と指数が決める曲線

指数関数は、a > 0かつa ≠ 1を満たす定数aを底とする関数y = aˣです。xは指数に入る変数です。底が負だと、例えば指数が1/2のとき実数の値を定められません。底が0の場合も負の指数で逆数を作れません。底が1なら値は常に1で、増加も減少もしないため、この指数関数の底から除きます。

正の底の有理数乗で得た値は正です。実数指数へは、有理数の指数を細かく取り、その値が指数に応じて切れ目なく変わるように広げて考えます。例えば2の√2乗は、√2に近い有理数を指数にした値の間に対応する正の数です。ここでは実数指数の厳密な構成は扱わず、得られるグラフの性質を用います。

定義域は実数全体、値域はy > 0です。つまりxにはどの実数も入れられ、出てくる値は正です。逆に正の数はどれも値として現れます。y = 0や負の値は取りません。軸との関係では、x = 0を代入すると必ずy = 1なので、縦軸との交点は(0, 1)です。横軸上ではy = 0ですが、値は常に正なので交点はありません。原点は両軸上にあり、この曲線には含まれません。

底の違いは増減に現れます。a > 1なら、xが大きくなるほどaˣも大きくなります。0 < a < 1なら、xが大きくなるほどaˣは小さくなります。例えば指数を1増やすと値はa倍になるため、前者は増え、後者は減ります。実数全体でも同じ向きの増減が成り立ちます。

図1のように、底の範囲を2つに分けても、共通点(0, 1)と正の値域は変わりません。曲線は一方の端で横軸にどこまでも近づきますが、横軸に達しません。横軸を漸近線と呼びます。底が1より大きければ左側で、1より小さければ右側で近づきます。「近い」と「交わる」は別の判断です。

曲線を描く際は、x = -1、0、1を選ぶと、それぞれ( -1, 1/a )、(0, 1)、(1, a)を得ます。負の指数の点を忘れたら、a⁻¹が逆数であることに戻ります。これらの点は位置の目印です。3点だけで途中の形が証明されるわけではないので、単調に変化し、常に横軸より上にある性質を合わせて使います。

基本例題：右下がりの点を打つ

底が1/3の指数関数y = (1/3)のx乗について、x = -2、-1、0、1、2のときの座標を分数または整数で求め、グラフの増減と軸との関係を答えます。

底1/3は正で1ではなく、0 < 1/3 < 1です。したがってこの関数は実数全体で定義され、右へ進むほど減少します。点を計算する際、指数が負なら値を負にするのではなく、正の累乗の逆数にします。

x = -2 のとき y = 1/((1/3)²) = 1/(1/9) = 9
x = -1 のとき y = 1/(1/3) = 3
x = 0 のとき y = 1
x = 1 のとき y = 1/3
x = 2 のとき y = (1/3)² = 1/9

点は(-2, 9)、(-1, 3)、(0, 1)、(1, 1/3)、(2, 1/9)です。xが1増えるたび、縦の値が1/3倍になっています。逆にxを1減らせば3倍です。隣の点への変化を両方向から確かめると、負の指数の計算も点の順序も点検できます。

図2のように5点を通る、切れ目のない右下がりの曲線を描きます。右へ進むと横軸に近づきますが、値は正なので横軸とは交わりません。縦軸とは(0, 1)で交わります。計算した点を元の式へ戻すと、例えばx = -2では(1/3)の-2乗が9、x = 2では1/9です。どちらも図の高さと一致します。

グラフの縮尺によっては右端の点が軸と重なって見えることがあります。見た目で交点を付け足さず、1/9 > 0という計算結果を優先してください。点の高さが小さいことと、値が0であることは違います。

標準例題：通る点から底を戻す

指数関数y = aˣの底はa > 0、a ≠ 1とします。そのグラフが点(-2, 16)を通るとき、底aを求め、増減と定義域・値域を答えます。底は分数で表します。

通るとは、その点のx座標とy座標が同時に式を満たすことです。x = -2、y = 16を代入し、負の指数の意味に戻します。

a⁻² = 16
1/a² = 16
a² = 1/16
a = 1/4

最後の行で負の候補を採らない理由は、最初にa > 0と決まっているからです。a = -1/4も2乗すれば1/16ですが、与えられた指数関数の底にはできません。また1/4 ≠ 1なので、除外条件にも触れません。

0 < 1/4 < 1より、グラフは右へ進むと減少します。定義域は実数全体、値域はy > 0です。縦軸との交点は(0, 1)、横軸との交点はありません。元の点に戻すと、(1/4)の-2乗は1/(1/16) = 16です。したがって(-2, 16)を確かに通ります。

別の考え方では、x = -2が0より左にあり、そこでの高さ16が1より大きい点に注目します。右へ進むと高さが16から1へ下がるので、底は1より小さいはずです。これは候補の範囲を点検する方法ですが、底の正確な値は座標を代入して求めます。図の向きだけで1/4と決めることはできません。

もし点の高さが0以下なら、どの適切な底を選んでも条件を満たせません。値域が正であることが、計算を始める前の判定にも使えます。底を求めた後の検算では、2乗した式だけでなく、与えられた負の指数と元の座標まで戻ります。

発展例題：2つの曲線の位置関係

正の数aについてa > 1とします。2つの関数y = aˣとy = (1/a)のx乗を考えます。2つのグラフの交点を座標で求め、x < 0とx > 0のそれぞれで、どちらのグラフが上にあるか答えます。

底aは1より大きく、1/aは正で1より小さいので、両方とも指数関数です。前者は増加し、後者は減少します。まずx = 0のときの値を計算します。

a⁰ = 1
(1/a)⁰ = 1

したがって(0, 1)は共通の点です。x > 0なら、増加するaˣはx = 0のときより大きく、減少する(1/a)のx乗はそのときより小さくなります。

x > 0 のとき aˣ > 1
x > 0 のとき (1/a)のx乗 < 1

よってx > 0ではy = aˣの方が上です。一方、x < 0では増減の比較が逆になります。

x < 0 のとき aˣ < 1
x < 0 のとき (1/a)のx乗 > 1

この範囲ではy = (1/a)のx乗の方が上です。0以外では一方が1より大きく他方が1より小さいため、交点はありません。答えは交点(0, 1)で、左右の上下関係は上の通りです。x = 0では上下の差がなくなることも忘れません。

別の見方として、(1/a)のx乗 = aの-x乗です。y = aˣ上の点のx座標の符号を変えた点が、もう一方のグラフ上にあります。例えばa = 5なら、前者の(1, 5)に対し後者は(-1, 5)を通ります。両曲線は縦軸に関して対称ですが、対称という見た目だけで交点の個数を決めず、左右での大小を使って交点がほかにないことまで示します。

誤答を修正する：原点と横軸を区別する

「y = 4ˣは右上がりだから、原点を通る線を右に曲げればよい」という答案を考えます。右上がりという部分は正しいものの、原点を通す部分が誤りです。原点のx座標は0なので、式に戻して値を調べます。

x = 0
4⁰ = 1
y = 1

したがって、縦軸上で通るのは(0, 1)です。(0, 0)ではありません。原因は、横軸に近づく曲線の左側を、横軸と交わる点として描いてしまうことにあります。xが負でも4ˣは正なので、左へ伸ばしても横軸に触れません。

図3のように、描き直すときはまず(0, 1)と(1, 4)、(-1, 1/4)を置きます。その上で、左から右へ増加し、横軸より上にあるようにつなぎます。横軸へ近づく向きは左です。底が1未満の曲線まで同じ右上がりに直してしまうと別の誤りになるため、修正の前に底の範囲も見ます。

もう1つの失敗は「負のxではyも負」と考えることです。例えば上のx = -1では4⁻¹ = 1/4であり、値は正です。指数の負号は逆数を表します。誤った点を消すだけでなく、その座標を元の式に代入して、どちらの数が間違っていたか確かめます。

練習：座標から性質まで

次の5問は、それぞれ底の条件を確認してから答えてください。座標は整数または分数で表します。

1. y = 6ˣについて、x = -1、0、1のときの座標と、増減を答えてください。
2. y = (1/2)のx乗について、x = -3、0、2のときの座標と、横軸との交点の有無を答えてください。
3. a > 0、a ≠ 1とするy = aˣが(2, 25)を通ります。aと増減を答えてください。
4. b > 0、b ≠ 1とするy = bˣが(-1, 2/5)を通ります。bと縦軸との交点を答えてください。
5. c > 1とするy = cˣについて、xの範囲が-1 ≤ x ≤ 2に限られるとき、yの範囲をcを使った不等式で表してください。また、その両端に対応する点を答えてください。

練習の答えと道筋

1. 底6は1より大きく、条件を満たします。負の指数を逆数にして計算します。

6⁻¹ = 1/6
6⁰ = 1
6¹ = 6

座標は(-1, 1/6)、(0, 1)、(1, 6)で、右へ進むと増加します。元の式に各xを入れると、それぞれの高さに戻ります。特に左側の高さ1/6も正で、横軸の下に置きません。

2. 底1/2は正で1より小さいため、右へ進むと減少します。負の指数では逆数を取ります。

(1/2)の-3乗 = 1/((1/2)³) = 8
(1/2)⁰ = 1
(1/2)² = 1/4

座標は(-3, 8)、(0, 1)、(2, 1/4)です。値は常に正なので横軸との交点はありません。x = -3とx = 2を元の式へ戻すと高さ8と1/4を得ます。右側の点が軸に近くても、1/4は0ではありません。

3. 底の条件の下で点の座標を代入します。

a² = 25
a = 5

2乗が25になる実数には負の数もありますが、底は正なのでa = 5です。5は1より大きいため増加します。元の点で5² = 25となり、(2, 25)を通ることを確認できます。

4. 与えられた点を式へ代入し、逆数を使います。

b⁻¹ = 2/5
1/b = 2/5
b = 5/2

5/2は正で1ではありません。縦軸上ではx = 0なので、交点は(0, 1)です。元の点について(5/2)の-1乗 = 2/5となり、条件を満たします。bが1より大きいことと、左側のx = -1で高さが1より小さいことも一致します。

5. c > 1なので、cˣはxが増えると増加します。区間の左端と右端を代入します。

x = -1 のとき y = c⁻¹ = 1/c
x = 2 のとき y = c²

求める範囲は1/c ≤ y ≤ c²です。両端の点は(-1, 1/c)、(2, c²)です。どちらの端もxの範囲に含まれるので等号を付けます。元の式に端のxを入れた高さがそれぞれ1/cとc²であり、増加する性質からその間の値を取ります。もし端が含まれない条件なら、対応する等号も外します。

要点を手元に残す

底はa > 0、a ≠ 1です。定義域は実数全体、値域はy > 0です。
縦軸との交点は(0, 1)で、横軸との交点はありません。
a > 1なら増加し、0 < a < 1なら減少します。
点を求めるときは、負の指数を逆数として計算します。

どこで描き違えたかを見つける

点がずれたときは、最初にx = 0の計算を声に出して説明してみます。a⁰を0としているのか、計算は1でも座標の縦と横を取り違えたのかで、直す箇所が変わります。次にx = -1を代入し、逆数を正の高さに置けるかを確かめます。

個別指導では、底が1より大きい例と小さい例を並べ、共通の(0, 1)から左右へどう変わるかを本人の言葉で説明してもらいます。横軸に近い点を見て交点と判断した場合は、その点のy座標を計算し、0との違いを確認します。底の条件、通る点、増減の3つがつながれば、曲線の向きと位置を自分で判断できます。