高校数学II 累乗根と実数解—偶数乗と奇数乗を分けて根の個数と符号を判断する｜武蔵野個別指導塾

四乗根の記号と方程式の解を比べ、被開平数の符号と次数の偶奇から個数を判定する累乗根の道筋をたどります。

よくあるのは、四乗根の記号を見た高2が、その記号の値に勝手に正負を付けてしまう場面です。たとえば「⁴√16」の値を問われたときと「x⁴ = 16」の実数解を問われたときでは、答える対象が違います。前者は1つの数を表す記号で、後者は条件を満たすすべての実数を探す問いです。記号の意味を先に決めてから、方程式に必要な符号を戻しましょう。

何を答える問いかを先に読む

累乗根の問題には、大きく分けて3つの型があります。1つ目は「ある数のn乗根をすべて求める」型で、n乗してその数になる実数を探します。2つ目は根号で書かれた数の値を求める型で、記号そのものが指定する1つの値を読みます。3つ目は文字を含む方程式で、右辺の符号を場合分けして実数解の個数や値を決める型です。

どの型でも、まず次数nが偶数か奇数かを確認します。次に、n乗されて得られる数の符号を見ます。偶数乗は負にならない一方、奇数乗は元の数と同じ符号です。この違いを使えば、計算を始める前に解が存在するかを判定できます。数学Iで学んだ平方根と2次方程式の区別を、より高い次数へ広げる考え方です。

偶奇と符号で整理する

2以上の整数nに対して、n乗すると実数aになる実数を、aのn乗根といいます。つまり、aのn乗根を探すことは、方程式xⁿ = aの実数解を探すことです。nは根の次数、aは被開平数と呼びます。ここでは実数の範囲で考えます。

nが偶数なら、正の数と負の数のn乗はいずれも正です。絶対値が大きい非負の数ほどn乗も大きくなりますから、a > 0のとき、正のn乗根が1つあり、その符号を反対にした負のn乗根も1つあります。a = 0ならx = 0だけです。a < 0なら、実数の偶数乗は負にならないので実数のn乗根はありません。

nが奇数なら、負の数のn乗は負、正の数のn乗は正です。実数を大きい順に比べると、その奇数乗も同じ順に大きくなります。したがって、aが正でも0でも負でも、実数のn乗根はちょうど1つです。その符号はaと同じで、a = 0なら根も0です。

図1のように、偶数の場合には右辺の符号で個数が変わり、奇数の場合にはどの符号でも1個です。0は正でも負でもないので、正と負の間に別の欄を設けて確かめます。

図1の個数は、方程式の実数解の個数です。偶数の次数で正のaに対する正のn乗根を ⁿ√a と書きます。a = 0でも ⁿ√0 = 0です。奇数の次数では、正・0・負のaに対して唯一の実数のn乗根を ⁿ√a と書きます。特に、奇数根では負の数を根号の中に置けます。偶数根の記号で負の数を被開平数にしたものは、実数の範囲では定義されません。

この根号の値を主値と呼ぶことがあります。正のaと偶数のnについて、ⁿ√aは正の根を表し、負の根は -ⁿ√a と書きます。方程式の解をまとめるときには x = ±ⁿ√a と書けますが、ⁿ√aそのものに±が含まれるわけではありません。平方根でも√aは非負の数を表し、x² = aの正負の解とは区別します。

また、実数tについて、偶数nなら ⁿ√(tⁿ) = |t|、奇数nなら ⁿ√(tⁿ) = t です。たとえば負のtを偶数回掛けると正になりますが、根号が返すのは非負の値です。元の負号まで自動的に戻るわけではありません。奇数回なら符号が保たれるので、唯一の根は元のtです。

基本例題：記号と方程式を並べる

次の各問いに、整数で答えてください。(1) ⁴√81 の値を求めます。(2) 81の四乗根をすべて求めます。(3) x⁴ = -81 の実数解を求めます。

1. 81は正なので、⁴√81は正の数です。3を4回掛けると81になるため、次のように求まります。

3⁴ = 3・3・3・3
   = 81
⁴√81 = 3

-3も四乗すると81ですが、⁴√81という記号は正の四乗根を指します。よって、(1)の答えに負号を付けません。

2. は81の四乗根をすべて求める問いです。3に加えて、-3も条件を満たします。

(-3)⁴ = (-3)・(-3)・(-3)・(-3)
      = 81
81の四乗根は 3, -3

ほかに実数の根がないことは、非負の数では四乗が単調に増えることからわかります。負の候補は絶対値に直せば同じ比較ができるため、絶対値が3以外の数は81の四乗根になりません。

図2のように、3と-3はともに四乗すると81に届きます。一方、根号の記号が選ぶのは右側の正の値です。図の矢印は、それぞれの数を四乗する対応を表しています。

3. では、実数の四乗が負になることはありません。したがって実数解はありません。右辺の符号を見る前に「正負の2つ」と決めてしまうと、存在しない解を書いてしまいます。(1)から(3)は数の形が似ていても、求める対象と右辺の符号が違います。

標準例題：奇数根と偶数根を読み分ける

A = ⁵√(-243)、B = ⁶√729、C = ⁶√((-2)⁶) とします。A、B、Cをそれぞれ整数で求め、x⁵ = -243 と x⁶ = 729 の実数解をすべて整数で答えてください。

まず、5は奇数なので負の数の五乗根は実数として存在し、負の値が1つです。絶対値を掛け合わせて確かめます。

3⁵ = 3・3・3・3・3
   = 243
(-3)⁵ = -243
A = -3

したがって x⁵ = -243 の実数解は x = -3 です。奇数乗は実数全体で増加するので、別の実数が同じ五乗を持つことはありません。元の方程式に戻しても (-3)⁵ = -243 と一致します。

次に、6は偶数で729は正です。正の六乗根を探すと、次のようになります。

3⁶ = 3・3・3・3・3・3
   = 729
B = 3

方程式x⁶ = 729には正と負の2つの実数解があります。x = 3, -3 です。実際に3⁶ = 729、(-3)⁶ = 729なので、両方とも元の条件を満たします。根号Bの値が3であることと、方程式の解に-3も含まれることを分けて書きます。

Cについては、根号の中身を先に計算する方法と、絶対値を使う方法があります。どちらでも、偶数根の記号が非負の値を表すことが出発点です。

(-2)⁶ = 64
C = ⁶√64
  = 2

別の見方では C = |-2| = 2 です。中に負の数が見えていても、偶数乗によって符号の情報は失われます。元の -2 をそのまま答えると、非負の六乗根という条件に反します。

発展例題：文字の値で解の個数が変わる

実数aについて、方程式 x⁴ = a² − 9 の実数解の個数をaの範囲ごとに求め、解がある場合は根号を用いてすべて表してください。

四乗は偶数乗ですから、右辺a² − 9の符号が分かれ目です。まず因数分解して、0になる境目と符号を調べます。

a² - 9 = (a - 3)(a + 3)
a² - 9 = 0
(a - 3)(a + 3) = 0
a = -3 または a = 3

a < -3では2つの因数がともに負、a > 3ではともに正です。したがって右辺は正です。-3 < a < 3では2つの因数の符号が異なり、右辺は負です。境界のa = -3, 3では右辺が0になります。

a < -3 または a > 3：2個、x = ±⁴√(a² - 9)
a = -3 または a = 3：1個、x = 0
-3 < a < 3：0個、実数解なし

2個の範囲では根号の中が正なので、正の四乗根とその反対の数が異なる解です。それぞれを四乗するとa² − 9に戻ります。境界では根号の中が0となり、正負を書いても両方とも0です。0を2個の異なる解として数えないことが必要です。

符号を代表値でも確かめましょう。a = -4なら右辺は7、a = 0なら-9、a = 4なら7です。境界のa = ±3では右辺は0です。この照合は場合分けの向きを検査する助けになります。ただし、代表値への代入だけでは全範囲の証明にならないので、上の因数の符号による説明も残します。

別の考え方として、a²と9を比べても同じ結論です。|a| > 3ならa² > 9、|a| = 3ならa² = 9、|a| < 3ならa² < 9です。解を式で表すときは、右辺が負の範囲に偶数根を書かないようにします。

誤答から条件を取り戻す

基本例題の(1)で、⁴√81 = ±3 とする誤答を考えます。原因は「81の四乗根をすべて求める」という問いと「⁴√81の値を求める」という問いを同じものとして扱うことです。四乗すると81になる数は2つですが、そのうち根号の記号が表すのは正の3です。

図3のように、問いが記号の値なら3、方程式の解なら3と-3に分けます。図3の左側で±を付けると、1つの数を表すはずの記号を2つの値のように扱うことになります。

もう1つの誤りは、偶数根の中の負号を外にそのまま出すことです。たとえば ⁴√((-5)⁴) を -5 とすると、左辺が非負であることと矛盾します。正しくは |-5| = 5 です。逆に、奇数根では ³√((-5)³) = -5 です。偶奇を確認してから、根号の値の符号を判断します。

さらに、x⁴ = 0に対して「正と負の2解」と数えるのも誤りです。x = 0以外の実数の四乗は正なので、解は0の1個です。右辺が正、0、負の3つの状態を省かずに調べれば、この誤りを避けられます。

練習：まず問いを分類する

次の5問は、根号の値と実数解を区別して答えてください。答えは指定された形で表します。

1. ⁴√256 の値を整数で求め、256の四乗根をすべて整数で求めてください。
2. -32の五乗根をすべて整数で求め、x⁴ = -32 の実数解を求めてください。
3. ⁸√((-3)⁸) と ³√((-4)³) の値をそれぞれ整数で求めてください。
4. 方程式 (x − 1)⁴ = 16 の実数解をすべて整数で求めてください。
5. 実数bについて x⁶ = 4 − b² の実数解の個数をbの範囲ごとに求め、解がある場合は根号を用いてすべて表してください。

練習の答えと解き方

1. 4⁴ = 256です。根号は正の四乗根を表すので、⁴√256 = 4です。四乗根をすべて求めると、(-4)⁴ = 256でもあるため4, -4です。非負の数の四乗は増加するので、絶対値が4以外の数は条件を満たしません。

2. (-2)⁵ = -32です。奇数乗は実数全体で増加するので、五乗根は-2の1個です。一方、実数の四乗は0以上ですから、x⁴ = -32に実数解はありません。元の数が負でも、次数が奇数なら根があり、偶数なら実数の根がない点を比べます。

3. 偶数根は非負の値を選びます。奇数根は負の値も表せます。

⁸√((-3)⁸) = |-3|
             = 3
³√((-4)³) = -4

実際に3⁸ = (-3)⁸、(-4)³ = -64です。それぞれ元の根号の中身に戻ります。8乗からは元の符号を復元できませんが、3乗では符号が残ります。

4. x − 1をひとまとまりの実数と見ます。16の四乗根は2と-2なので、次の2通りです。

x - 1 = 2 または x - 1 = -2
x = 3 または x = -1

元の式に戻すと、x = 3で (3 − 1)⁴ = 16、x = -1で (-1 − 1)⁴ = 16です。どちらも成立し、四乗根が2つであることから他の実数解はありません。根号の値が2であっても、方程式を解く際には負の根も使います。

5. 六乗は偶数乗です。右辺を因数分解し、符号を決めます。

4 - b² = (2 - b)(2 + b)
4 - b² = 0
b = -2 または b = 2

-2 < b < 2では右辺が正、b < -2またはb > 2では負、b = ±2では0です。よって答えは次の通りです。

-2 < b < 2：2個、x = ±⁶√(4 - b²)
b = -2 または b = 2：1個、x = 0
b < -2 または b > 2：0個、実数解なし

正の範囲の2つの値を六乗すると、ともに元の右辺4 − b²になります。境界では右辺が0であり、x = 0が元の式を満たします。たとえばb = 0では右辺4、b = ±3では右辺-5です。境界と各範囲の代表値を照合し、因数の符号で全範囲を説明します。

覚えておくこと

• 偶数乗の右辺が正、0、負のとき、実数解はそれぞれ2個、1個、0個です。
• 奇数乗の方程式は右辺の符号によらず実数解を1個持ちます。
• 偶数根の記号は非負の値を表し、正の右辺の方程式にはその反対の解もあります。
• 偶数nでは ⁿ√(tⁿ) = |t|、奇数nでは ⁿ√(tⁿ) = t です。

説明が止まった場所を確かめる

解答の符号が合っていても、「記号の値」と「方程式の解」を偶然同じ操作で出していないか、口に出して説明してみましょう。右辺が0のときに何個と数えるか、負の右辺で偶数乗と奇数乗をどう分けるかも確認できます。個別指導では、根号が指定する値を指さし、次に元の方程式へ候補を戻す順序を一緒に点検します。符号と個数を言葉で結べると、文字を含む場合分けにも進めます。