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高校数学II 零指数と負の指数—逆数の意味から指数法則が成り立つ条件を確かめる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学II 指数関数と対数関数を掘り下げる

逆数から零乗を導き、負号の位置と分母が0になる条件を整理して、意味から見直す負の指数です。

よくあるのは、高2が負の指数を見て、値そのものを負にしてしまう場面です。たとえば正の数の負の整数乗は、符号を変える操作ではなく、正の整数乗の逆数です。式のどこまでを累乗するか、割る数が0でないかを一緒に見れば、符号と値を順番に決められます。

要点（結論から）

0でないaについてa⁰ = 1、正の整数nについてa⁻ⁿ = 1/aⁿです。
負の指数の底と分母は0にできません。
括弧で底を定め、符号は逆数に直してから判定します。

何を見て計算を始めるか

出方には、数の負の整数乗を分数に直す型、文字を含む式を指数法則で整理する型、式が意味を持つ文字の範囲を求めてから方程式を解く型があります。どの場合も、最初に累乗の底を括弧で確定し、負の指数が付いた底や分母が0でないかを調べます。指数を計算した後で条件を思い出すと、途中で消えた分母の制限を落としやすくなります。

必要な道具は、正の整数乗、逆数、分数の四則計算、文字式の因数分解と方程式です。負の数の偶数乗が正、奇数乗が負となることも使います。ここで扱う指数は整数です。分数指数への拡張は扱いません。

逆数と0でない条件をつなぐ

正の整数nに対し、aⁿはaをn個掛けた数です。a≠0ならaⁿも0ではなく、その逆数を使えます。そこで零乗と負の整数乗を次のように定義します。

a⁰ = 1
a⁻ⁿ = 1/aⁿ

いずれもa≠0、後者のnは正の整数です。0には逆数がないので、0の負の整数乗は定義されません。また、この文脈で0⁰も定義しません。0を底とする正の整数乗は0ですが、そこから指数を0や負に広げてはいけません。

なぜ零乗が1なのか、正の整数乗の商を見てみます。a≠0、正の整数mについて、aᵐ/aᵐは1です。同じ底の商の指数を引く規則を0の指数まで保つなら、aᵐ/aᵐ = a⁰となり、a⁰は1でなければなりません。同じようにaᵐ/aᵐ⁺ⁿは1/aⁿです。指数を引くとa⁻ⁿになるので、負の指数は逆数に対応します。これは定義を自然に選ぶ理由であり、0の除算を許す理由にはなりません。

図1のように、指数を1ずつ下げると、値はその都度aで割られます。aが負でも0でなければ割れますが、値の符号は交互に変わります。図の矢印は値を負にする操作ではなく、aで割る操作を表しています。

図1でa⁰からa⁻¹へ進むと1/a、さらに進むと1/a²です。逆向きにはaを掛けます。aが0でないという条件は、この往復で割り算を行うために必要です。

整数m、nと0でないa、bに対し、次の指数法則を使えます。

aᵐ・aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
aᵐ/aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ

負の指数でも定義に戻せば確かめられます。たとえばa²・a⁻³ = a²/a³ = 1/a = a⁻¹です。文字を約分して見かけの分母が消えても、元の式が要求したa≠0は消えません。

負号の位置にも注意します。(-a)⁻²は底全体の2乗の逆数なので1/a²です。一方、-a⁻²はa⁻²の外側に負号があり、-1/a²です。括弧がないとき、累乗を先に計算します。どちらもa≠0の下での式です。

指数法則を文字式に使うときは、式全体の形も調べます。たとえば(a/b)⁻²は、まず分数a/bが定義され、さらに負の指数の底として0でないことが必要です。したがってa≠0、b≠0です。この条件の下では、分数全体の逆数を取ってから2乗し、(b/a)² = b²/a²となります。分母のbだけを逆数にするのではありません。

また、指数が0になる変形と、底が0になる代入は別々に考えます。a≠0ならa³/a³ = 1ですが、a = 0では元の商が0/0となり、約分する前から定義されません。結果に文字が残らないときほど、元の式に戻って条件を記録してください。逆に、aが負というだけで除外する必要はありません。整数乗とその逆数は、底が負でも0でなければ定義できます。

基本例題：逆数にしてから符号を決める

次の2つの値をそれぞれ既約分数で求めてください。

A = (-2)⁻³
B = -2⁻³

どちらも底に関係する2は0ではないので、負の指数を使えます。Aの底は括弧の中の-2です。負の指数を逆数に直し、分母の奇数乗を計算します。

A = 1/((-2)³)
  = 1/(-8)
  = -1/8

Bでは累乗の底は2であり、先頭の負号は累乗の外です。

B = -(2⁻³)
  = -(1/2³)
  = -1/8

今回は結果が等しくなります。図2のように、等しい理由は同じ式だからではありません。Aでは負の数を奇数回掛けることで分母が負になり、Bでは正の逆数の外側にある負号が残っています。

図2の2つを元の形に戻して検算します。(-2)³ = -8なので、Aとその正の指数の値の積は(-1/8)・(-8) = 1です。Bは2³ = 8の逆数に外側の負号を付けた値で、やはり-1/8です。指数を-2に変えた場合はA型が1/4、B型が-1/4となり、偶数乗では差が表れます。結果がたまたま同じかどうかに頼らず、底を先に囲むことが有効です。

標準例題：消えた分母の条件を残す

式 (x⁻²・y³)/(x⁻¹・y⁻²) を、負の指数を使わない式に整理し、元の式が定義される実数x、yの条件も答えてください。

元の式にはx⁻²、x⁻¹、y⁻²があるので、まずx≠0、y≠0です。この条件なら分母のx⁻¹・y⁻²も0ではありません。指数法則を使う前に、分母そのものが0にならないことまで確認します。

(x⁻²・y³)/(x⁻¹・y⁻²)
= x⁻²⁻⁽⁻¹⁾・y³⁻⁽⁻²⁾
= x⁻¹・y⁵
= y⁵/x

答えはy⁵/x、条件はx≠0かつy≠0です。整理後の式だけを見るとy = 0も代入できそうですが、元のy⁻²には代入できません。整理は元の式の定義域の中での等式です。

別の道として、最初に負の指数をすべて逆数に直せます。分子はy³/x²、分母は1/(xy²)なので、分数の割り算を掛け算に変えればy³/x²・xy² = y⁵/xです。どちらの方法でも条件は同じです。たとえばx = -2、y = 3なら元の分子は27/4、分母は-1/18であり、商は-243/2です。整理後も3⁵/(-2) = -243/2です。条件に合う具体値で両方を比べると、負号や指数の引き算の誤りを見つけやすくなります。

発展例題：定義域を残して方程式を解く

実数xについて、次の方程式の解をすべて求めてください。

(x - 1)⁻¹ + (x + 1)⁻¹ = 3/4

負の指数の底が0になると式が定義されません。したがって先にx≠1、x≠-1とします。この条件で通分し、0でない分母を両辺に掛けます。

1/(x - 1) + 1/(x + 1) = 3/4
((x + 1) + (x - 1))/((x - 1)(x + 1)) = 3/4
2x/(x² - 1) = 3/4
8x = 3(x² - 1)
3x² - 8x - 3 = 0
(3x + 1)(x - 3) = 0
x = -1/3 または x = 3

両方とも最初の条件を満たします。元の左辺で確認すると、x = -1/3では-3/4 + 3/2 = 3/4、x = 3では1/2 + 1/4 = 3/4です。どちらも問題の等式に戻ります。また、条件下の通分と両辺への0でない数の乗算は逆にたどれるので、途中で候補を落としていません。

もし分母の条件を調べずに両辺を掛ければ、得られた方程式の候補に元の式では使えない値が混じる場合があります。そのため候補を出す前の条件と、候補を出した後の代入は別の役割を持ちます。前者は変形の可否を決め、後者は元の問いへの答えかを確かめます。

この例では2つの分母の積を掛けました。積が0にならないことは、各因数が0でないという最初の条件からわかります。もし候補が除外値と一致した場合は、その候補を捨てます。候補が全部除外されれば、解はないと答えます。分母を払った後の式が成立するかだけでは、元の方程式が成立するとは限りません。

別の確認として、左辺を1つの分数にした段階で分子が2x、分母がx² − 1であることを見ます。分母の和を取る誤りや、分子に2を付け忘れる誤りは、分数を元の2項に戻すと見つかります。通分は各項の分母に不足する因数を掛け、分子にも同じ因数を掛ける操作です。

誤答を逆数まで戻して直す

たとえば、5⁻² = -25とする誤答を考えます。指数の負号を、値の前に付く負号と取り違えたことが原因です。負の指数は正の2乗の逆数を表すので、5⁻² = 1/5² = 1/25と直します。5²と掛けて1になるかも確認できます。

図3のように、負の指数を見たらまず分数の形に戻します。正の底の累乗は正なので、その逆数も正です。底が負のときは逆数に直してから、偶数乗か奇数乗かで符号を決めます。

図3の修正後の値は、元の5²との積が1です。一方、誤答の-25を掛けると-625になり、逆数の条件を満たしません。もう一つの失敗は、(x − 2)⁰を無条件に1とすることです。x = 2では底が0なので元の式は定義されず、x≠2のときに限って1です。見かけの答えだけでなく、定義の入口へ戻る習慣をつけましょう。

練習問題

7⁻²の値を既約分数で求めてください。
(-3)⁻⁴と-3⁻⁴の値をそれぞれ既約分数で求めてください。
(a⁻³・b²)・(a⁵・b⁻¹)を負の指数を使わずに整理し、元の式が定義される実数a、bの条件を答えてください。
(t² − 9)⁰の値を求め、式が定義される実数tの条件を答えてください。
実数uについて、u⁻¹ + (u − 2)⁻¹ = 3/2の解をすべて求めてください。答えは根号を含む形で表してください。

練習の答えと道筋

7は0でないので、定義により7⁻² = 1/7² = 1/49です。元の正の累乗49と掛けると1になり、逆数であることを確かめられます。-49とする操作は逆数ではありません。
いずれも底は0ではありません。括弧の中の-3を底とする前者は、(-3)⁻⁴ = 1/((-3)⁴) = 1/81です。後者は累乗の外に負号があるので、-3⁻⁴ = -(1/3⁴) = -1/81です。前者では負の因数が4個あって積が正になり、後者の負号は外に残ります。
元の式にa⁻³とb⁻¹があるためa≠0、b≠0です。この条件の下で、指数法則を使います。

(a⁻³・b²)・(a⁵・b⁻¹)
= a⁻³⁺⁵・b²⁻¹
= a²b

整理後には分母がありませんが、元の条件は残ります。たとえばa = 2、b = -4なら元の式は((1/8)・16)・(32・(-1/4)) = -16、整理後も2²・(-4) = -16です。

底t² − 9が0でなければ零乗は1です。t² − 9 = (t − 3)(t + 3)より、条件はt≠3かつt≠-3で、値は1です。両端の2つの値では底が0となるので、1を代入結果としてはいけません。たとえばt = 0なら底は-9で、0でない底の零乗として1です。
まずu≠0、u≠2です。この範囲で通分して解きます。

1/u + 1/(u - 2) = 3/2
(2u - 2)/(u(u - 2)) = 3/2
4u - 4 = 3u² - 6u
3u² - 10u + 4 = 0
u = (5 + √13)/3 または u = (5 - √13)/3

解の公式を使うと根号が残ります。2つの値は0でも2でもないので条件を満たします。また各候補は3u² − 10u + 4 = 0を満たし、そこから4u − 4 = 3u(u − 2)です。u(u − 2)は0でないため元の左辺(2u − 2)/(u(u − 2))は3/2に戻ります。通分後の操作も条件下で逆にたどれるので、これらが解のすべてです。