高校数学III・C 数学III・Cの融合答案—表現の選択から結論の吟味まで解答を組む｜武蔵野個別指導塾

媒介変数の消去から端点の確認、面積の積分までを条件でつなぐ融合答案です。

よくあるのは、理系高3の演習で、計算できる式を並べても解答の方針が伝わらない場面です。動点を表す式は作れたのに、それが曲線のどの部分を描くのかを説明せず、いきなり積分へ進んでしまいます。媒介変数を消す計算と、面積を求める計算の間には、動く範囲と逆向きの成立を確かめる仕事があります。ここではベクトルや複素数で表した点を二次曲線につなぎ、その部分と直線で囲む面積まで、根拠が読める順に書きます。

どの表現を入口に選ぶか

動点の作り方に、一定方向への移動と別の方向への移動があるときは、位置ベクトルをそれぞれの成分に分けると見通しが立ちます。2つの方向が座標軸と平行なら、係数から横座標と縦座標をそのまま読み取れます。一方、実部と虚部に別々の条件が与えられるときは、複素数 z = x + yi と置くと、実部が x、虚部が y に対応します。

選び方の第1の型は、媒介変数が横座標そのものになる場合です。x = t を y の式へ代入でき、範囲も t から x に移せます。第2の型は、x が t の一次式で、逆に t を x で表せる場合です。係数が 0 でないことを確認し、動く方向が逆なら不等号にも注意して範囲を移します。第3の型は、横座標が t² のように単調でない場合です。正負で場合を分け、同じ x に複数の点が対応するかを調べます。公式に当てはめる前に、どの型かを見極めます。

ベクトルと複素数は同じ平面上の点を別の記号で表せます。どちらを使っても、元の条件から候補の曲線へ進む方向と、その曲線上の点が元の条件から作れる方向を示す必要があります。面積まで問われたときは、さらに境界の上下と積分区間を決めます。計算が短い表現を入口に選び、残りの条件が消えていないかを出口で見直します。

点の式から面積へ渡す条件

原点を O とする座標平面で、点 P の位置ベクトルが (x, y) なら、P の座標は (x, y) です。複素数平面で P を表す数が z = x + yi の場合も、P の座標は同じ (x, y) です。どちらの言葉でも、媒介変数 t の各値に点を対応させます。

例えば x = t、y = t²、0 ≤ t ≤ a とします。ただし a は正の数です。t を消すと y = x² を得ますが、それだけでは放物線全体を答えたことになります。元の範囲から 0 ≤ x ≤ a が必要です。逆に y = x²、0 ≤ x ≤ a を満たす任意の点に対して t = x と置けば、許された t が得られ、元の2つの座標式を満たします。したがって候補の放物線のうち指定された部分が、過不足のない軌跡です。

図1のように、表現を座標に翻訳した後、消去と逆の構成を別々に通ります。曲線の式を得る作業は必要条件の確認であり、曲線上の点を元の式で作る作業が十分性の確認です。t が複数の値を取り得る場合も、少なくとも1つ許された値が作れることを示します。端点が許されない問題では、曲線の端も除いて表します。

面積の段階では、曲線と直線が交わる位置を求め、その間でどちらが上かを調べます。連続な関数 f、g が区間 [a, b] で f(x) ≥ g(x) を満たすとき、そのグラフと両端の縦線で囲む面積は ∫[a→b] {f(x) − g(x)} dx です。両端で交わるときは縦線は長さ 0 になります。上下が途中で入れ替わる場合は交点で区間を分けます。符号を確かめずに差を積分すると、面積ではなく符号つきの値を得ることがあります。

基本例題: ベクトルを座標に移す

O = (0, 0)、A = (2, 0)、B = (0, 4) とします。0 ≤ t ≤ 2 を満たす実数 t に対し、点 P の位置ベクトルを

ベクトル OP = (t/2) ベクトル OA + (t²/4) ベクトル OB

で定めます。P の軌跡を座標と範囲で表し、その軌跡と両端を結ぶ線分で囲まれる部分の面積を、分数で正確に求めてください。

まず点を作る2方向が座標軸に沿うことに注目します。ベクトル OA = (2, 0)、ベクトル OB = (0, 4) なので、

ベクトル OP = (t, 0) + (0, t²)
            = (t, t²)

P = (x, y) と置けば、x = t、y = t² です。0 ≤ t ≤ 2 より

y = x²
0 ≤ x ≤ 2

を得ます。逆に、この式と範囲を満たす点に対し t = x とすれば、0 ≤ t ≤ 2 で、元のベクトルの式に戻ります。よって軌跡は放物線 y = x² の 0 ≤ x ≤ 2 の部分です。両端は t = 0 で (0, 0)、t = 2 で (2, 4) です。図2のように両端を結ぶ直線は y = 2x になります。

0 ≤ x ≤ 2 では 2x − x² = x(2 − x) ≥ 0 です。したがって上側が直線、下側が放物線で、両方はこの区間で連続です。面積を S とすると、

S = ∫[0→2] (2x - x²) dx
  = [x² - x³/3] の 0 から 2 までの差
  = (4 - 8/3) - 0
  = 4/3

結論は、軌跡が y = x²、0 ≤ x ≤ 2、面積が 4/3 です。終点 (2, 4) は元の式に t = 2 を代入して得られます。また積分する差は区間内で負にならず、面積が正であることとも一致します。

別の表現でも同じ道筋を確認します。点 P を複素数 z で表すと、OA と OB に対応する複素数はそれぞれ 2、4i なので、z = (t/2)・2 + (t²/4)・4i = t + t²i です。実部と虚部から x = t、y = t² を得ます。この別解で軌跡の範囲や面積の上下関係を省いてよいわけではありません。表現の違いは最初の翻訳にあり、その後の条件照合は共通です。

標準例題: 逆向きに動く媒介変数

複素数平面上の点 P を表す複素数が z = (3 − t) + (3t − t²)i とします。t は 0 ≤ t ≤ 3 の実数です。点 P の軌跡を座標と範囲で示し、その軌跡と実軸で囲まれる部分の面積を、分数で正確に求めてください。

実部と虚部を取り出すと、

x = 3 - t
y = 3t - t²

です。x の係数が 0 でないので、t = 3 − x と逆に表せます。t が 0 から 3 に増えると x は 3 から 0 に減ります。したがって横座標の範囲を小さい順に書けば 0 ≤ x ≤ 3 です。y に代入します。

y = 3(3 - x) - (3 - x)²
  = 9 - 3x - (9 - 6x + x²)
  = 3x - x²

逆に 0 ≤ x ≤ 3、y = 3x − x² を満たす点を取れば、t = 3 − x は 0 ≤ t ≤ 3 を満たします。この t を元の実部と虚部へ戻すと、その点の座標になります。よって軌跡は y = 3x − x² の 0 ≤ x ≤ 3 の部分です。t = 0 では (3, 0)、t = 3 では (0, 0) となり、進行方向は右から左です。

面積には x を小さい方から大きい方へ使えます。0 ≤ x ≤ 3 で y = x(3 − x) ≥ 0 ですから、連続な放物線が実軸の上にあります。端点で実軸と交わり、面積 T は

T = ∫[0→3] (3x - x²) dx
  = [3x²/2 - x³/3] の 0 から 3 までの差
  = 27/2 - 9
  = 9/2

です。点の移動が右から左であっても、面積の積分区間は 0 から 3 と置けます。もし t で直接積分するなら x = 3 − t の減少を反映して向きを直す必要があります。座標へ戻した後に積分区間を決めれば、この問題では向きを誤りにくくなります。

同じ点をベクトルで書くと、ベクトル OP = (3 − t, 3t − t²) です。横成分を逆に解く操作も、逆の構成も同じです。複素数から位置ベクトルへ翻訳しても、許される t の範囲が変わらないことを明記すると、別解の対応が読み取れます。

発展例題: 二つの枝と面積を分ける

実数 t が -2 ≤ t ≤ 2 を動くとき、点 P の位置ベクトルを

ベクトル OP = (t², t)

とします。P の軌跡を座標と範囲で表し、軌跡と直線 x = 4 で囲まれる部分の面積を分数で正確に求めてください。上側と下側の境界を明示してください。

P = (x, y) とすると x = t²、y = t です。今回は x = t² を見て t = √x と決めると、負の t に対応する点が抜けます。先に y = t を使えば、

x = y²
-2 ≤ y ≤ 2

です。逆にこの条件を満たす点には t = y を選べます。すると -2 ≤ t ≤ 2 であり、x = t²、y = t が元の条件どおりに成り立ちます。従って軌跡は横向きの放物線 x = y² の -2 ≤ y ≤ 2 の部分です。両端は (4, -2)、(4, 2) で、直線 x = 4 の上にあります。

縦に切って x で積分するために、同じ軌跡を2つの枝に直します。-2 ≤ y ≤ 2 から 0 ≤ x ≤ 4 であり、各 x に対する y は

y = √x または y = -√x

です。逆に 0 ≤ x ≤ 4 なら、どちらの値も -2 以上 2 以下で、x = y² を満たします。x = 0 では上下の枝は同じ点 (0, 0) になり、重なりは境界の1点です。上側は √x、下側は -√x です。両方とも [0, 4] で連続なので、求める面積 U は

U = ∫[0→4] (√x - (-√x)) dx
  = 2∫[0→4] √x dx
  = 2[(2/3)x√x] の 0 から 4 までの差
  = 2・(2/3)・4・2
  = 32/3

となります。上の枝と下の枝の差は区間内で 0 以上なので、結果の正の符号も領域に合います。点 (4, -2) を元の式へ戻すには t = -2 が必要です。これを採用できるため、負の枝が確かに元の軌跡に含まれます。

別解として、固定した y で横に切ります。-2 ≤ y ≤ 2 の各高さで、左端は x = y²、右端は x = 4 です。両者は連続で 4 − y² ≥ 0 なので、横幅を y について積分します。

U = ∫[-2→2] (4 - y²) dy
  = [4y - y³/3] の -2 から 2 までの差
  = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3)
  = 32/3

同じ面積に戻ります。片方は上から下を引き、もう片方は右から左を引いています。どの方向の幅を積分しているかを一言添えると、2つの式が同じ領域に対応する理由が伝わります。

誤答のどこを直すか

発展例題で次の答案を考えます。「x = t²、y = t より y = √x。したがって軌跡は y = √x、0 ≤ x ≤ 4 である。」式 y = √x 自体は t ≥ 0 の点について正しいものの、問題は負の t も許しています。図3のように、平方根の正の値を選ぶ操作で下側の枝が落ちました。例えば t = -1 を代入すると P = (1, -1) ですが、この点は y = √x 上にはありません。

原因は、t² = x から t を戻すときの選択肢を1つに決めたことです。修正答案では「y = t より x = y²、-2 ≤ y ≤ 2。逆に任意のそのような点に t = y を対応させられる」と書きます。面積へ進むときだけ、0 ≤ x ≤ 4 で y = ±√x の2枝に分け、上側と下側を確認します。図3の下側を描き直したうえで、端点にも元の t が存在するかを調べます。

逆の省略にも気を付けます。例えば x = y² という候補を得ても、-2 ≤ y ≤ 2 を戻さなければ、t = 3 に相当する (9, 3) まで含む放物線全体が答えに混ざります。条件を式へ入れるときだけでなく、答えから元の変数を作るときにも範囲を使います。

練習: 表し方と範囲をつなぐ

各問で軌跡は座標の式と範囲で表し、面積は分数で正確に求めてください。各 t は実数です。

1. ベクトル OP = (t, t²)、0 ≤ t ≤ 1。軌跡とその両端を結ぶ線分で囲まれる面積を求めてください。
2. 点 P を表す複素数 z = (4 − t) + (4t − t²)i、0 ≤ t ≤ 4。軌跡と実軸で囲まれる面積を求めてください。
3. ベクトル OP = (t², t)、-1 ≤ t ≤ 1。軌跡と直線 x = 1 で囲まれる面積を求めてください。
4. 点 P を表す複素数 z = (2t + 1) + t²i、0 ≤ t ≤ 2。軌跡とその両端を結ぶ線分で囲まれる面積を求めてください。
5. ベクトル OP = (t², t)、0 ≤ t ≤ 3。軌跡、x 軸、直線 x = 9 で囲まれる面積を求めてください。

練習の解答と戻し方

1. 直線と曲線の差

x = t、y = t² なので、軌跡の候補は y = x²、0 ≤ x ≤ 1 です。逆に候補上の点に t = x を選べるので、範囲内の点はすべて元の式から作れます。両端は (0, 0)、(1, 1) で、両端を結ぶ線分は y = x、0 ≤ x ≤ 1 です。この区間で x − x² = x(1 − x) ≥ 0 ですから、直線が上です。

面積 = ∫[0→1] (x - x²) dx
     = [x²/2 - x³/3] の 0 から 1 までの差
     = 1/2 - 1/3
     = 1/6

t = 0、1 を元の式へ戻すと両端が得られ、面積の区間と一致します。

2. 向きが反対の放物線

実部と虚部から x = 4 − t、y = 4t − t² です。t = 4 − x なので 0 ≤ x ≤ 4 で、

y = 4(4 - x) - (4 - x)²
  = 16 - 4x - (16 - 8x + x²)
  = 4x - x²

逆にこの範囲の x に t = 4 − x を選べば、元の複素数の実部と虚部がその点に一致します。軌跡の両端は (4, 0)、(0, 0) です。0 ≤ x ≤ 4 で x(4 − x) ≥ 0 なので、放物線は実軸以上にあります。

面積 = ∫[0→4] (4x - x²) dx
     = [2x² - x³/3] の 0 から 4 までの差
     = 32 - 64/3
     = 32/3

t = 4 を元の式に入れると z = 0 です。左端も元の動きに含まれます。

3. 2つの枝を残す

x = t²、y = t より、軌跡は x = y²、-1 ≤ y ≤ 1 です。逆にその範囲の y に t = y を選ぶと元の式へ戻ります。各 y で左端は x = y²、右端は x = 1 であり、差 1 − y² は 0 以上です。

面積 = ∫[-1→1] (1 - y²) dy
     = [y - y³/3] の -1 から 1 までの差
     = (1 - 1/3) - (-1 + 1/3)
     = 4/3

t = -1、1 はそれぞれ (1, -1)、(1, 1) を作ります。どちらの端も境界に含まれます。

4. 一次式を逆に解く

実部と虚部から x = 2t + 1、y = t² です。t = (x − 1)/2、0 ≤ t ≤ 2 より 1 ≤ x ≤ 5 です。従って軌跡は y = (x − 1)²/4、1 ≤ x ≤ 5 です。逆に範囲内の x に t = (x − 1)/2 を取れば元の条件へ戻れます。

端点は (1, 0)、(5, 4) なので弦は y = x − 1 です。u = x − 1 と置くと 0 ≤ u ≤ 4 で、弦と曲線の差は u − u²/4 = u(4 − u)/4 ≥ 0 です。

面積 = ∫[1→5] {(x - 1) - (x - 1)²/4} dx
     = ∫[0→4] (u - u²/4) du
     = [u²/2 - u³/12] の 0 から 4 までの差
     = 8 - 16/3
     = 8/3

弦は (1, 0)、(5, 4) を通り、両端とも t = 0、2 を元の式に代入して得られます。

5. 正の枝に限る理由

x = t²、y = t で、今回は 0 ≤ t ≤ 3 です。したがって軌跡は x = y²、0 ≤ y ≤ 3、すなわち y = √x、0 ≤ x ≤ 9 です。逆にこの曲線上の点には t = y を選べます。前の問題と違い、負の t は元から許されないため、下側の枝は入りません。

曲線は x 軸以上にあり、x = 9 で高さ 3 になります。連続な曲線と x 軸の間を 0 から 9 まで積分します。

面積 = ∫[0→9] √x dx
     = [(2/3)x√x] の 0 から 9 までの差
     = (2/3)・9・3
     = 18

t = 3 のとき P = (9, 3) です。境界の右端が元の動点で実現することも確認できます。

最後に点検する順序

• 動点の表現から座標を取り出し、変数の範囲を保存します。
• 軌跡の候補を出したら、任意の候補点から元の変数を作ります。
• 正負の枝、端点、除外点と、点の動く向きを調べます。
• 面積は上下または左右の差を非負と確かめて積分します。
• 求めた点と面積を元の条件や図へ戻して照合します。

式の消去はできるのに逆の構成で止まるなら、候補上の任意の点を1つ置き、元の t を何とすればよいかを先に考えます。面積の式で止まるなら、区間の途中に縦線または横線を1本引き、その線分の両端がどの境界にあるかを言葉にします。個別指導では、表現の選択を本人に説明してもらい、負の枝や端点を一緒に元の式へ代入して、どこで条件が失われたかを確かめます。選んだ表現と結論の間を条件でつなぐと、融合答案の道筋が見えます。