高校数学II 接線と曲線で囲む面積—接点の重なりと別の交点を区別して積分する｜武蔵野個別指導塾

三次曲線の接点を重解として扱い、別の交点と上下関係から閉じた領域の接線面積を求めます。

よくあるのは、三次曲線に接線を引き、接点だけで領域が閉じると思う場面です。接する場所では2本の線が同じ点を通り、同じ傾きを持ちます。しかし、その情報だけでは、離れたところでもう一度交わるかどうかは決まりません。差の式を因数分解して交点を調べ、閉じた部分があればその左右端と上下関係を確かめます。

面積を求める前に読む条件

問題には、接点の座標が指定される型と、接点の x 座標が文字で与えられる型があります。どちらもまず曲線の値と導関数の値を使って接線を作ります。次に曲線と接線の差を因数分解し、接点以外の交点が存在するかを調べます。文字を含む場合は、その交点が接点と一致する境界も調べる必要があります。

別の型として、接線の式がすでに与えられ、接することを確かめてから面積を求める問題もあります。接点を通るだけでは接線とは限りません。その点で曲線と直線の傾きが等しいことも確認します。接点と別の交点を求めた後は、小さい x から大きい x までの間で上の式から下の式を引き、定積分します。

三次曲線と接線だけで有限の領域を囲む場合を扱います。別の境界線が指定された図形や、三次以外の一般の曲線については、別途交点や領域を調べる必要があります。図の見た目から交点の個数を決めず、式に戻って判定してください。

接点の重なりと別の交点

多項式 f(x) はどの実数でも微分可能です。x = a における接線を y = L(x) とすると、接点を通ることと傾きが一致することから、

L(x) = f(a) + f′(a)(x - a)

です。差を D(x) = f(x) − L(x) と置くと、D(a) = 0 かつ D′(a) = 0 です。三次多項式の場合、差は (x − a)² を因数に持ちます。接点の x 座標は重解ですが、重解を異なる2つの交点として数えてはいけません。

図1のように、接点とは別の交点があれば、その2つの x 座標の間で曲線と接線が閉じた領域を作ります。差の残りの因数が接点で再び零になる場合は、交点が1か所に重なり、2本だけでは有限の領域を囲みません。

図1では接点を a、別の交点を b としています。a と b の左右は例によって逆にもなります。面積の式では、文字の名前にこだわらず、小さい方を下端にします。

差 D(x) が区間内で正なら曲線が上、負なら接線が上です。多項式は連続なので、区間内に差が零になる点がなければ符号は変わりません。1点を代入して符号を調べる方法に加え、因数の符号をそれぞれ見ると、文字を含む場合にも判断しやすくなります。面積は負にならない量であり、上下を逆にした定積分の値そのものとは区別します。

基本例題：水平な接線ともう1つの交点

曲線 y = x³ − 3x² の x = 0 における接線と曲線で囲まれる部分の面積を、分数で求めてください。

曲線を f(x) = x³ − 3x² とします。多項式なので x = 0 で微分可能です。接点の高さと傾きは次のように求まります。

f′(x) = 3x² - 6x
f(0) = 0
f′(0) = 0
L(x) = 0 + 0(x - 0)
L(x) = 0

接線は横軸です。接点の条件だけで積分を始めず、差を零と置きます。

f(x) - L(x) = x³ - 3x²
              = x²(x - 3)
x²(x - 3) = 0
x = 0, 3

x = 0 は重解であり、別の交点は x = 3 です。0 < x < 3 では x² > 0、x − 3 < 0 なので、曲線は接線の下にあります。図2のように、左右端が 0 と 3 の部分を、接線から曲線を引いて積分します。

S = ∫[0→3] {0 - (x³ - 3x²)} dx
  = ∫[0→3] (3x² - x³) dx
  = [x³ - x⁴/4] の 0 から 3 までの差
  = (27 - 81/4) - 0
  = 27/4

答えは 27/4 です。元の曲線に x = 3 を戻すと 27 − 27 = 0 で、接線上の値と一致します。また x = 1 では曲線の値が -2、接線の値が 0 なので、積分の中身を正に取った向きも確かめられます。図2の塗られた部分が面積の対象です。

標準例題：傾いた接線を使う

曲線 y = x³ の x = 1 における接線と曲線で囲まれる部分の面積を、分数で求めてください。

f(x) = x³ は多項式ですから x = 1 で微分可能です。まず接点と傾きを使います。

f′(x) = 3x²
f(1) = 1
f′(1) = 3
L(x) = 1 + 3(x - 1)
L(x) = 3x - 2

次に差を因数分解します。接点の因数が2回現れることを手がかりにできますが、展開して元に戻ることも確認します。

f(x) - L(x) = x³ - 3x + 2
              = (x - 1)²(x + 2)
(x - 1)²(x + 2) = 0
x = 1, -2

接点は x = 1、別の交点は x = -2 です。-2 < x < 1 では (x − 1)² > 0、x + 2 > 0 なので曲線が上です。左端が負でも積分の順番は左から右です。

S = ∫[-2→1] (x³ - 3x + 2) dx
  = [x⁴/4 - 3x²/2 + 2x] の -2 から 1 までの差
  = (1/4 - 3/2 + 2) - (4 - 6 - 4)
  = 3/4 - (-6)
  = 27/4

接点では曲線と直線の値がともに 1、傾きもともに 3 です。別の交点では曲線が -8、直線も -8 です。たとえば x = 0 では曲線が 0、直線が -2 なので、曲線を上として積分した判断とも一致します。

発展例題：接点が動くとき

実数 a に対し、曲線 y = x³ の x = a における接線を考えます。曲線と接線だけで有限の領域が囲まれる a の範囲を求め、囲まれるときの面積を a の式で表してください。

f(x) = x³ はすべての実数で微分可能です。接線と差は次のようになります。

f′(x) = 3x²
f(a) = a³
f′(a) = 3a²
L(x) = a³ + 3a²(x - a)
L(x) = 3a²x - 2a³
f(x) - L(x) = x³ - 3a²x + 2a³
              = (x - a)²(x + 2a)

接点以外の交点の候補は x = -2a です。a = 0 なら -2a = a となり、差は x³ です。交点は原点のみで、2本の線だけでは有限の領域を囲みません。したがって a = 0 を面積のある場合に含めないことが重要です。

a > 0 なら -2a < a です。その間では x + 2a > 0 なので曲線が上です。原始関数を F(x) = x⁴/4 − 3a²x²/2 + 2a³x と置くと、

F(a) = a⁴/4 - 3a⁴/2 + 2a⁴
     = 3a⁴/4
F(-2a) = 4a⁴ - 6a⁴ - 4a⁴
        = -6a⁴
S = F(a) - F(-2a)
  = 27a⁴/4

a < 0 なら a < -2a です。この区間では x + 2a < 0 なので接線が上です。積分の端と差の向きの両方が入れ替わります。

S = -∫[a→-2a] (x³ - 3a²x + 2a³) dx
  = -(F(-2a) - F(a))
  = -(-6a⁴ - 3a⁴/4)
  = 27a⁴/4

したがって、囲まれるのは a ≠ 0 のときで、面積は 27a⁴/4 です。a が負でも a⁴ は正なので、面積の符号に矛盾しません。x = -2a を元の2式に戻すと、曲線の値は -8a³、接線の値も -6a³ − 2a³ = -8a³ です。境界 a = 0 では2つの交点が一致し、面積の式は 0 になりますが、面積が 0 の閉じた領域を囲むと数えるわけではありません。

誤答を直す：重解を2点と数えない

基本例題で「x² = 0 から x = 0 が2つあるので、そこで領域が閉じる」と考えたとします。式の重複度を数えることと、異なる位置を数えることは別です。接点は座標平面上の1点であり、もう一方の境界がどこにあるかを調べなければ積分区間を決められません。

図3のように、x²(x − 3) = 0 の x = 0 は重解、x = 3 は別の交点です。0 を2回書いて積分すると区間の長さが 0 になり、図の領域を拾えません。因数 x − 3 を残さず零と置き、区間 0 < x < 3 の上下を確認すれば、基本例題の積分に戻れます。

図3は位置の確認を表しています。反対に、発展例題の a = 0 のように残りの因数の零点が接点に重なると、別の交点がない場合もあります。式に因数が3個並んでいても、異なる実数解の個数を数え直してください。面積の符号が負になった場合は、値に機械的に負号を付ける前に、上下と積分の向きのどちらを誤ったかを点検します。

練習問題

いずれも曲線と指定の接線だけで囲まれる部分を考えます。面積は分数で答え、領域がない場合はその理由も述べてください。

1. y = x³ の x = 2 における接線の式と面積を求めてください。
2. y = x³ の x = -1 における接線の式と面積を求めてください。
3. y = -x³ の x = 1 における接線の式と面積を求めてください。
4. y = x³ + 5 の x = 0 における接線について、有限の領域を囲むか判定してください。
5. y = 2x³ + 1 の x = 1 における接線の式と面積を求めてください。

練習の答えと解き方

1

f′(x) = 3x²
f(2) = 8
f′(2) = 12
L(x) = 8 + 12(x - 2)
     = 12x - 16
f(x) - L(x) = (x - 2)²(x + 4)

別の交点は x = -4 です。-4 < x < 2 で差は正なので曲線が上です。

S = ∫[-4→2] (x³ - 12x + 16) dx
  = [x⁴/4 - 6x² + 16x] の -4 から 2 までの差
  = 12 - (-96)
  = 108

x = -4 で曲線と接線はともに -64 です。接点では値 8 と傾き 12 が一致し、面積は正です。

2

f′(x) = 3x²
f(-1) = -1
f′(-1) = 3
L(x) = -1 + 3(x + 1)
     = 3x + 2
f(x) - L(x) = (x + 1)²(x - 2)

別の交点は x = 2 で、-1 < x < 2 では接線が上です。

S = ∫[-1→2] (-x³ + 3x + 2) dx
  = [-x⁴/4 + 3x²/2 + 2x] の -1 から 2 までの差
  = 6 - (-3/4)
  = 27/4

x = 2 で両方の値は 8、x = -1 で両方の値は -1 です。接点の傾きも 3 で一致します。

3

f′(x) = -3x²
f(1) = -1
f′(1) = -3
L(x) = -1 - 3(x - 1)
     = -3x + 2
f(x) - L(x) = -(x - 1)²(x + 2)

別の交点は x = -2 です。その点と接点の間では差が負なので接線が上です。

S = ∫[-2→1] (x³ - 3x + 2) dx
  = [x⁴/4 - 3x²/2 + 2x] の -2 から 1 までの差
  = 3/4 - (-6)
  = 27/4

x = -2 で曲線と接線の値はともに 8、接点での値はともに -1 です。接点の傾きも -3 と一致します。

4

f′(x) = 3x²
f(0) = 5
f′(0) = 0
L(x) = 5
f(x) - L(x) = x³
x³ = 0
x = 0

接点以外に交点がないので、曲線と接線だけでは有限の領域を囲みません。元の曲線の x = 0 での値は 5、傾きは 0 であり、直線 y = 5 が確かに接線です。接線が存在することと、面積を持つ閉じた領域の存在は別の条件です。

5

f′(x) = 6x²
f(1) = 3
f′(1) = 6
L(x) = 3 + 6(x - 1)
     = 6x - 3
f(x) - L(x) = 2(x - 1)²(x + 2)

別の交点は x = -2 で、その点から接点まで曲線が上です。

S = ∫[-2→1] (2x³ - 6x + 4) dx
  = [x⁴/2 - 3x² + 4x] の -2 から 1 までの差
  = 3/2 - (-12)
  = 27/2

x = -2 で曲線と接線はともに -15 です。x = 1 で値はともに 3、傾きはともに 6 なので、求めた直線と交点は元の条件に合います。

手元に残す順序

接点の値と傾きから接線を作ります。 差を因数分解し、重解と別の交点を区別します。 交点が一致する場合と左右の順序を調べます。 区間ごとの上下を確かめ、上から下を引いて積分します。

式が止まったときの確かめ方

接線は出せたのに積分区間が決まらないなら、差の式を零と置いた行に戻ります。接点の因数が2回あることを見つけた後も、残りの因数を零と置いたかを確認します。別の交点が接点と同じなら、区間を無理に作らず、囲む領域があるかから考え直します。

個別指導で質問するときは、接線の式、差の因数分解、左右の順序を並べ、自分がどこで判断に迷ったかを示してください。例えば区間内の1点で差が正か負かを説明できれば、どちらを上に置くかを検討できます。接点の重なりを読み取り、別の交点へ目を向けると、面積の境界が定まります。