高校数学III・C 空間ベクトルと軌跡—平面と球面の条件を同時に満たす点を求める｜武蔵野個別指導塾

等距離から平面を求め、球面との距離を比べて円・接点・空集合を判定する空間の切り口をたどります。

よくあるのは、理系高3の演習で球面の式を求めた後、もう一つの平面条件を答案から落とす場面です。球面上の点は空間に広がっていますが、両方の条件を満たす点はその切り口に限られます。等距離を内積の式に直し、中心から平面へ下ろした垂線を使えば、その切り口の中心と半径まで決められます。逆に切り口の点が元の距離条件を満たすことも確認しましょう。

条件の組から見通す

固定した2点から等距離で、別の固定点から一定距離にある点を求める型では、前者が平面、後者が球面を与えます。2点の中点とそれらを結ぶ方向に注目すると、平面の位置が見えます。座標を使うと等距離の二乗を引き算するだけで平面の方程式が現れます。

もう一つは、球の半径や平面の位置に文字がある型です。球の中心から平面までの距離と半径の大小を比べます。距離が小さければ円、等しければ接点1個、大きければ共通点はありません。半径を平方根に直す前に、その二乗の符号を調べると境界を落としにくくなります。

さらに、内積による直交条件から平面を作る型もあります。垂直という言葉が2本の線分のなす角を指すなら、零ベクトルになる点では角が定義されません。内積が0という式そのものを条件とする場合とは、端の点の扱いが異なります。問題文の条件に戻って判定します。

等距離から切り口へ

原点を O、動点を P とし、位置ベクトルを p、固定点 A、B の位置ベクトルをそれぞれ a、b とします。A と B は異なる点とします。距離は負でないので、PA = PB は両辺を二乗した等式と同値です。

|p - a|² = |p - b|²
p・p - 2p・a + a・a = p・p - 2p・b + b・b
2p・(b - a) = |b|² - |a|²

M を AB の中点、m をその位置ベクトルとすると、右辺は 2m・(b − a) です。したがって等距離の条件は (p − m)・(b − a) = 0 と同値です。b − a は零ベクトルではないため、これは M を通り AB に垂直な平面を表します。A と B が一致する場合は、この説明を使えません。その場合は全ての点が等距離であり、平面への制限は生じません。

球の中心を C、半径を R、C から平面への垂線の足を H とします。図1のように、平面上の P に対し CH と HP は垂直です。三平方の定理から CP² = CH² + HP² です。よって CP = R という球面の条件は、平面上では HP² = R² − CH² に変わります。

図1の H は、円ができる場合の中心です。右辺が正なら半径は √(R² − CH²)、0なら P = H、負なら該当する P はありません。反対向きにも、平面上でこの距離を満たす点は三平方の定理により CP = R です。この逆の確認があると、得られた円の一部分だけが動く可能性を排除できます。

座標では、平面を ax + by + cz = d、中心を C(u, v, w) とします。ただし (a, b, c) は零ベクトルではありません。法線方向のベクトルを n = (a, b, c) とし、H = C + tn と置きます。H が平面上にある条件は次の式です。

a(u + ta) + b(v + tb) + c(w + tc) = d
t(a² + b² + c²) = d - au - bv - cw
t = (d - au - bv - cw)/(a² + b² + c²)

分母は正なので割れます。CH = |t|√(a² + b² + c²) です。足の座標も距離も同じ t から求められ、距離の公式を覚えている場合も、足が平面上にあるかを代入して確かめられます。

基本例題：中点を通る平面で切る

A(2, 0, 0)、B(-2, 0, 0)、C(0, 0, 1) とします。PA = PB かつ CP = 3 を満たす点 P の軌跡を、中心と半径を明示して求めてください。座標と半径は根号を含む正確な値で表します。

P(x, y, z) と置きます。P に範囲の制限はありません。距離を二乗して等距離を式にすると、

(x - 2)² + y² + z² = (x + 2)² + y² + z²
-4x = 4x
x = 0

また CP = 3 は x² + y² + (z − 1)² = 9 と同値です。したがって軌跡の候補は次の2式を同時に満たします。

x = 0
y² + (z - 1)² = 9

C は平面 x = 0 上にあります。図2のように、候補はこの平面内で C を中心とする半径3の円です。例えば (0, 3, 1) は円上にあり、A、B からの距離の二乗はいずれも 14、C からの距離の二乗は9です。

逆に、この円上の任意の点は x = 0 なので、PA² と PB² が等しくなります。距離は負でないため PA = PB です。また円の式から CP² = 9、したがって CP = 3 です。円上の点は全て元の条件を満たし、求める軌跡はこの円です。球面の式だけを答えにすると、例えば (3, 0, 1) も含めてしまいますが、その点は等距離ではありません。

標準例題：中心が平面から離れるとき

A(0, 0, 0)、B(2, 2, 0)、C(0, 0, 0) とします。PA = PB かつ CP = 3 を満たす P の軌跡の中心と半径を正確に求めます。

P(x, y, z) について、等距離を二乗すると次のようになります。

x² + y² + z² = (x - 2)² + (y - 2)² + z²
0 = -4x - 4y + 8
x + y = 2

球面は x² + y² + z² = 9 です。平面の法線方向は (1, 1, 0) なので、原点 C からの垂線の足を H = (t, t, 0) と置きます。平面への代入で 2t = 2、t = 1 です。したがって H = (1, 1, 0)、CH² = 2 です。

平面上の P について CP² = CH² + HP² なので、CP = 3 は HP² = 9 − 2 = 7 と同値です。よって軌跡は平面 x + y = 2 内の、中心 (1, 1, 0)、半径 √7 の円です。例えば (1, 1, √7) は平面にあり、原点からの距離の二乗は9です。B からの距離の二乗も (-1)² + (-1)² + 7 = 9 です。

逆の確認では、円上の任意の点について HP² = 7 から CP² = 9 が得られます。さらに平面の式は等距離の二乗の式に戻せますから、PA = PB も成立します。平面と球面を連立した後で平面を消去してしまうと、空間内のどの向きに円があるのか伝わりません。中心、半径に加えて円を含む平面を書くことが必要です。

発展例題：半径の境界まで分ける

A(0, 0, 0)、B(2, 2, 2)、C(0, 0, 0) とし、実数 r は r ≥ 0 とします。PA = PB、CP = r を満たす点の軌跡を r によって分類し、円なら中心と半径を正確に求めてください。

等距離の条件を座標で展開します。

x² + y² + z² = (x - 2)² + (y - 2)² + (z - 2)²
0 = -4x - 4y - 4z + 12
x + y + z = 3

球面の中心は原点です。平面への垂線の足を H = (t, t, t) と置くと、3t = 3 より H = (1, 1, 1) です。CH² = 3 ですから、平面上の点では CP² = 3 + HP² となります。元の2条件は次の組と同値です。

x + y + z = 3
HP² = r² - 3

r ≥ 0 に注意して場合を分けます。r > √3 なら、平面内の中心 H、半径 √(r² − 3) の円です。r = √3 なら HP = 0 なので軌跡は点 H です。0 ≤ r < √3 なら右辺は負で、距離の二乗にはなりません。したがって該当する点はありません。

境界の H に戻ると、HA² = 3、HB² = (-1)² + (-1)² + (-1)² = 3 です。また HC = √3 なので接点の条件を満たします。円の場合も、平面上で HP² = r² − 3 を満たせば CP² = r² です。r が負でないため CP = r となり、平面の式から PA = PB も戻ります。r = 0 を含む小さい場合は、球面側の点が存在しても等距離の平面に届かないことに注意します。

球面だけを残した答案を直す

基本例題について「CP = 3 より x² + y² + (z − 1)² = 9。よってこの球面が軌跡」と書いたとします。式自体は正しい必要条件ですが、PA = PB を反映していません。図3のように球面上でも平面から外れた点があり、その点は元の条件を満たしません。

修正答案では、まず PA = PB から x = 0 を導き、球面の式と同時に書きます。次に平面内の円だと説明し、円上の任意の点から両方の距離条件が戻ることを示します。条件を使って候補を絞る向きと、候補の点が条件を満たす向きは別の確認です。

別の誤りは HP² = R² − CH² から、右辺の符号を見ずに円の半径を平方根で書くことです。等号なら円ではなく1点、負なら実数の点がありません。また、異なる2点の等距離では中点を通る平面ですが、2点が一致すれば等距離は恒等的に成立します。問題の前提を確かめてから法線を使います。

手を動かす5問

各問の座標、半径、距離は根号を含む正確な値で表し、空間内の軌跡を求めてください。円の場合はその平面、中心、半径も答えます。

1. A(3, 0, 0)、B(-3, 0, 0)、C(0, 1, 0) に対し、PA = PB、CP = 2 を満たす P を求めます。
2. A(0, 0, 0)、B(4, 0, 0)、C(0, 0, 0) に対し、PA = PB、CP = 5 を満たす P を求めます。
3. A(0, 0, 0)、B(2, 0, 0)、C(0, 0, 0) に対し、PA = PB、CP = 1 を満たす P を求めます。
4. A(0, 0, 0)、B(0, 4, 0)、C(0, 0, 0) に対し、PA = PB、CP = 1 を満たす P を求めます。
5. A(0, 0, 0)、B(0, 2, 2)、C(1, 0, 0) に対し、PA = PB、CP = 2 を満たす P を求めます。

5問の解答と照合

1の解答

P(x, y, z) とすると、等距離の二乗は次のように変形できます。

(x - 3)² + y² + z² = (x + 3)² + y² + z²
-6x = 6x
x = 0

C はこの平面上にあるので、CP = 2 と合わせると (y − 1)² + z² = 4 です。答えは平面 x = 0 内の中心 C、半径2の円です。逆にこの円の点は x = 0 により両距離の二乗が等しく、円の式により CP² = 4 です。例えば (0, 3, 0) で PA² = PB² = 18、CP² = 4 と照合できます。

2の解答

x² + y² + z² = (x - 4)² + y² + z²
8x = 16
x = 2

原点から平面 x = 2 への足は H(2, 0, 0)、距離は2です。平面上では CP² = 4 + HP² なので、CP = 5 は HP² = 21 と同値です。答えは平面 x = 2 内の中心 H、半径 √21 の円です。円上の点は平面の式から等距離であり、CP² = 4 + 21 = 25 です。代表点 (2, √21, 0) は A、B からともに距離5です。

3の解答

等距離を二乗して整理すると、x² = (x − 2)²、よって x = 1 です。原点からこの平面までの距離は1で、指定された距離と等しくなります。

1 = CP²
1 = 1 + HP²
HP² = 0

H = (1, 0, 0) なので、軌跡はこの1点です。実際に HA = HB = 1、HC = 1 です。平面上の他の点では HP² > 0 となるため、CP は1より大きくなります。

4の解答

等距離の二乗を整理すると、y² = (y − 4)²、したがって y = 2 です。原点から平面への距離は2ですが、CP は1と指定されています。平面上では CP² = 4 + HP² ≥ 4 なので、CP = 1 は不可能です。軌跡は空集合です。これは式を解き損ねたのではなく、平面と球面が交わらないという結論です。

5の解答

x² + y² + z² = x² + (y - 2)² + (z - 2)²
0 = -4y - 4z + 8
y + z = 2

法線方向は (0, 1, 1) です。C からの垂線の足を (1, t, t) と置くと 2t = 2 なので H = (1, 1, 1) です。CH² = 2、指定された距離の二乗は4です。

CP² = CH² + HP²
4 = 2 + HP²
HP² = 2

軌跡は平面 y + z = 2 内の中心 H、半径 √2 の円です。逆に円上なら CP² = 4、また平面の式を戻せば PA² = PB² です。例えば (1 + √2, 1, 1) は CP² = 2 + 1 + 1 = 4 で、A、B からの距離の二乗も等しくなります。

答案を見直す順番

• 等距離を二乗し、異なる2点の垂直二等分平面を求めます。
• 球面の中心から平面への垂線の足と距離を求めます。
• 半径の二乗から距離の二乗を引き、正・0・負を分けます。
• 候補の点を元の条件へ戻し、逆の成立を示します。

平面の式が消える答案なら、どの条件から出た式かを横に書き添えてみます。円の中心は求められても半径が合わない場合は、球の半径と平面までの距離を直角三角形の別の辺として描き直します。個別指導で確かめるなら、接する場合と交わらない場合を自分の言葉で区別できるか、円上の任意の点を元に戻せるかを見ます。2方向の確認がそろって初めて空間の軌跡が定まります。