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高校数学III・C 複素数の回転と図形—中心を移す式から三角形の条件を証明する｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴理系の数学III・C 融合問題と記述答案

中心からの差を回して点を求め、直角二等辺三角形の向きと点が重なる場合を元の図形条件で点検します。

理系高3の演習でよくあるのは、原点以外を中心に点を回すとき、回転中心を引かずに複素数の積を作る場面です。計算が整っていても、実際には別の点を中心に回していることがあります。点の位置を表す数と、中心から点へ向かう差を区別すると、辺の長さと角の両方を同じ式から読み取れます。

回転の式を作って終わりにせず、得られた点がどの三角形を作るか、その逆も成り立つかを追います。向きが指定された角と、向きを問わない直角二等辺三角形では、考える回転の数が異なります。

どの差を回すかを選ぶ

出方の1つは、中心と回す点が与えられ、回転後の頂点を求める問題です。中心から出る辺を差で表し、回してから中心を戻します。得られた位置を図に戻し、長さと角を確かめます。

もう1つは、3点が作る三角形の条件から未知の頂点を求める問題です。例えば直角二等辺三角形なら、直角をはさむ2辺は等しく、一方は他方を反時計回りか時計回りに90度回したものです。向きの指定がなければ2通りを調べます。

さらに、複数の回転を組み合わせて辺の等しさを証明する問題もあります。共通の中心を探すか、2つの差を引いて同じ倍率が掛かる形にするかを先に決めます。複素数の式から図形へ戻るときは、差が零でないことも確かめます。零の差では長さは比べられても、その辺の向きや角は定まりません。

中心を移す操作と辺の対応

複素数平面で点 A、P、Q をそれぞれ a、p、q で表します。P を A のまわりに反時計回りに角 θ だけ回した点が Q なら、中心からの差は

q - a = (cos θ + i sin θ)(p - a)
q = a + (cos θ + i sin θ)(p - a)

です。係数の絶対値は1ですから、AP と AQ の長さは等しく、p − a が零でなければ、AP から AQ への向きのある角は θ です。逆にこの長さと向きの条件を満たす点も、この式で表されます。θ が負なら時計回りです。角は1周の整数倍を除いて考えます。

図1のように、まず A から P への差を取り、その差を回し、最後に A の位置を足します。原点についての位置 p に直接係数を掛けると、一般には A でなく原点のまわりの回転になります。

図1では線分 AP と AQ が同じ長さです。中心 A 自身は回しても動かず、p = a の式にも q = a と現れます。ただし、この場合に角 PAQ は定義できないため、三角形についての主張には別途 A と P が異なる条件が必要です。

特に i を掛けると反時計回りに90度、-i を掛けると時計回りに90度回ります。実際に x + yi に i を掛けると -y + xi です。座標の変化を見れば、回転の向きの取り違えを点検できます。辺の比が r の場合は、絶対値 r の係数を使いますが、等しい辺を扱うときは係数の絶対値が1であることを明示します。

基本例題：原点以外の点を中心に回す

点 A、B を表す複素数をそれぞれ a = 1 + i、b = 4 + 2i とします。B を A のまわりに反時計回りに90度回した点を C とします。C を表す複素数を求め、三角形 ABC の辺と角を説明してください。答えは実部と虚部を整数で表します。

まず A と B は異なるので、辺 AB の向きが定まります。回転するのは b そのものではなく b − a です。図2のように A から B への差を回して A に戻します。

b - a = (4 + 2i) - (1 + i)
      = 3 + i
c - a = i(3 + i)
      = -1 + 3i
c = (1 + i) + (-1 + 3i)
  = 4i

したがって C は 4i です。図2の座標も A が (1, 1)、B が (4, 2)、C が (0, 4) です。差 c − a は (-1, 3) に対応し、(3, 1) を反時計回りに90度回した結果と一致します。

式の係数 i の絶対値は1なので AB = AC です。また AB から AC への向きは反時計回りに90度です。よって角 BAC は90度で、ABC は A を直角の頂点とする直角二等辺三角形です。座標でも AB² = 3² + 1² = 10、AC² = (-1)² + 3² = 10 であり、両辺の向きも確かめられます。

もし ib としたら -2 + 4i になります。この点から A への差は -3 + 3i で、長さの2乗は18です。元の AB の長さの2乗10と一致しません。式が計算できたかだけではなく、要求された中心からの長さに戻して調べることが、中心の取り違えを見つける手掛かりです。

標準例題：向きの指定がないとき

相異なる2点 A、B を表す複素数を a = 2 − i、b = -1 + i とします。A を直角の頂点として ABC が直角二等辺三角形となる点 C をすべて求めます。答えは実部と虚部を整数で表します。

直角をはさむ辺は AB と AC なので、AC は AB を90度回した辺です。問題は回転の向きを指定していないため、反時計回りと時計回りを調べます。A と B は異なり、どちらの候補でも C は A と異なります。

b - a = (-1 + i) - (2 - i)
      = -3 + 2i

反時計回りの候補を c₁ とすると、

c₁ - a = i(-3 + 2i)
       = -2 - 3i
c₁ = (2 - i) + (-2 - 3i)
   = -4i

時計回りの候補を c₂ とすると、

c₂ - a = -i(-3 + 2i)
       = 2 + 3i
c₂ = (2 - i) + (2 + 3i)
   = 4 + 2i

逆に c₁ と c₂ の各差は b − a に絶対値1の i または -i を掛けたものです。よっていずれも AB と AC の長さが等しく、そのなす角は90度です。A と B が異なるため、2候補は A、B のいずれとも重ならず、三角形が成立します。答えは -4i、4 + 2i です。

例えば c₁ − a = -2 − 3i の長さの2乗は13で、b − a の長さの2乗も13です。もう一方の差 2 + 3i も同じ長さで、2つは互いに反対向きです。片方の式しか書かなければ、条件に合うもう片方を落とします。逆に A = B を許して同じ結論を三角形として使うと、2辺が零になってしまいます。

発展例題：2つの回転から別の辺を比べる

相異なる点 A、B、P を表す複素数を a、b、p とします。P を A のまわりに反時計回りに90度回した点を Q、P を B のまわりに反時計回りに90度回した点を R とします。「QR = AB で、直線 QR と直線 AB は垂直である」という主張の正否を調べ、成り立たない場合は長さの比と方向を正しく示してください。

回転の中心が違うので、q と r に同じ式をそのまま掛けることはできません。それぞれの中心から P への差を使い、2式を引きます。

q - a = i(p - a)
r - b = i(p - b)
q = ip + (1 - i)a
r = ip + (1 - i)b
r - q = (1 - i)(b - a)

ここで係数 1 − i の絶対値は √2 です。したがって、この条件で得られるのは QR = √2 AB であり、直線も45度傾きます。問題の結論は一般には成り立ちません。例えば a = 0、b = 1、p = i を代入すると、q = -1、r = 1 + i(i − 1) = -i です。したがって QR = √2、AB = 1 となり、等長という主張への反例が得られます。この代入で結論の誤りと計算の取り違えの両方を検出できます。

正しい命題は次です。P を A のまわりに反時計回りに90度回した点を Q、Q を B のまわりに時計回りに90度回した点を R とすると、PR = √2 AB で、ベクトル PR はベクトル AB を反時計回りに45度回し、長さを √2 倍にしたものです。A と B は異なるので PR も零ではありません。

q - a = i(p - a)
q = ip + (1 - i)a
r - b = -i(q - b)
r = -iq + (1 + i)b
r = p - (1 + i)a + (1 + i)b
r - p = (1 + i)(b - a)

最後の係数は 1 + i なので、実際の向きは反時計回りに45度です。つまり修正すべき正しい結論は、PR = √2 AB で、AB を反時計回りに45度回した方向が PR です。式を図形の言葉へ戻す段階でも符号を点検します。例えば a = 0、b = 1、p = i なら q = -1、r = 1 + 2i で、r − p = 1 + i です。長さは √2、向きは反時計回りに45度で、修正した結論に一致します。

この例では、誤った結論が与えられたときに無理に証明せず、差の式と具体的な反例で立ち止まりました。反例は元の2回の回転に代入して確認します。一般の正しい命題の証明は、最後の差の等式と係数の長さ・向きによります。数値を1組試すことは、一般の証明の代わりにはなりません。

誤答を中心と向きから直す

基本例題で「c = ib = -2 + 4i。よって A を中心に90度回った」と書いたとします。計算 ib 自体は正しいものの、これは原点を中心とする回転です。図3のように、中心が違えば終点も違います。A からの差を見れば、要求された回転と一致しないことが確認できます。

図3で赤い点は原点のまわりに B を回した点、緑の点は A のまわりに B を回した点です。修正答案には「c − a = i(b − a)」と中心からの差を書き、c = 4i を出します。その後、A と B が異なることと係数 i の意味から、長さと角を結びます。

もう1つの失敗は、正しい候補が出ても「直角二等辺だからこの点」とだけ書くことです。必要条件から候補を得ただけでは、その候補が元の条件を満たすことが伝わりません。候補を差に戻して i 倍または -i 倍であることを示せば、辺の等しさと直角を同時に確認できます。向きが指定されなければ両方を調べ、点の重なりも点検します。

練習：回転の式から図形に戻る

次の5問は、それぞれ複素数平面上の点を扱います。点の複素数は同じ小文字で表します。求める値は根号を含めて正確に表してください。

a = 3、b = 3 + 2i とします。B を A のまわりに時計回りに90度回した点 C の複素数と、三角形 ABC の形を求めてください。
a = -2 + i、b = -1 + 3i とします。A を直角の頂点とする直角二等辺三角形 ABC の点 C をすべて求めてください。
a = 1 − 2i、b = 4 − i とします。A を B のまわりに反時計回りに90度回した点 D の複素数と、BD の長さを求めてください。
a = -1、b = 2 + i、p = 2i とします。P を A のまわりに反時計回りに90度回した点 Q、P を B のまわりに同じ向きに90度回した点 R を求め、QR と AB の長さの比を求めてください。
相異なる点 A、B に対し、B を A のまわりに反時計回りに90度回した点を C、C を B のまわりに時計回りに90度回した点を D とします。a、b で d を表し、AD と AB の長さの比と向きの関係を求めてください。

解答と照合

時計回りなので -i を使います。

b - a = 2i
c - a = -i・2i
      = 2
c = 3 + 2
  = 5

AC の差は2で、AB の差 2i を時計回りに90度回したものです。したがって AB = AC = 2、角 BAC = 90度です。C は A、B と異なり、ABC は A を直角の頂点とする直角二等辺三角形です。元の回転へ戻しても 2i が2になります。

向きの指定がないので2方向を扱います。

b - a = 1 + 2i
i(b - a) = -2 + i
-i(b - a) = 2 - i
c₁ = (-2 + i) + (-2 + i)
   = -4 + 2i
c₂ = (-2 + i) + (2 - i)
   = 0

答えは -4 + 2i、0 です。各候補の A からの差はそれぞれ i 倍、-i 倍ですから、どちらも長さ √5 の辺と直角を作ります。元の条件に2点を戻して成立し、A と B が異なるので退化もしません。90度回す向きはこの2通りなので、ほかの候補はありません。

中心は B です。差を取る順に注意します。

a - b = (1 - 2i) - (4 - i)
      = -3 - i
d - b = i(-3 - i)
      = 1 - 3i
d = (4 - i) + (1 - 3i)
  = 5 - 4i
BD = √(1² + (-3)²)
   = √10

答えは d = 5 − 4i、BD = √10 です。d − b は a − b の i 倍であり、BA の長さも √10 です。B から見た方向と距離がともに元の回転に合っています。

別々の中心から差を取り、戻します。

q = -1 + i(2i + 1)
  = -3 + i
r = (2 + i) + i(2i - 2 - i)
  = 1 - i
r - q = 4 - 2i
b - a = 3 + i
(1 - i)(b - a) = 4 - 2i

q = -3 + i、r = 1 − i です。差の比の絶対値は |1 − i| = √2 なので QR : AB = √2 : 1 です。各点を元の式に戻すと q − a = i(p − a)、r − b = i(p − b) を満たします。AB が零ではないため、この比は定義できます。

まず C の式を書き、それを D の式に代入します。

c - a = i(b - a)
c = (1 - i)a + ib
d - b = -i(c - b)
d = b - i((1 - i)a + (i - 1)b)
d = (1 + i)(b - a) + b
d - a = (2 + i)(b - a)

よって d = (1 + i)(b − a) + b、AD : AB = √5 : 1 です。係数 2 + i の偏角は 0 と π/2 の間で tan が 1/2 の角ですから、AD は AB を反時計回りにその角だけ回した方向です。b − a は零でなく、AD も零ではありません。得られた d を d − b = -i(c − b) に戻せば、指定された2回目の回転も成立します。

答案を見直す目印

回転前後の点から、同じ中心を引きます。
係数の絶対値と偏角を、辺の比と向きへ戻します。
向きの指定がない直角は、2方向を調べます。
点の一致を除き、候補を元の条件に戻します。

途中で止まる場所は答案の差に現れます。中心を引く式が出ないなら、まず図に中心からの2本の辺を書きます。式は立つのに結論が出ないなら、係数の絶対値と向きを別々に読みます。個別指導では、向きを逆にした候補や点が重なる場合を本人に説明してもらうと、計算と図形のどちらでつまずいたかを確かめられます。中心からの差が、回転と三角形を結びます。