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高校数学III・C 複素数の商と角—実数条件と純虚数条件を図形の証明へ戻す｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴理系の数学III・C 融合問題と記述答案

共通の始点から作る複素数の商を使い、点の重なりを除いて共線と垂直を判定する根拠を読み取れます。

よくあるのは、理系高3の演習で商の実部が0と出たとき、その商自体も0になりうるのに直角だと断定する場面です。0は実部が0ですが、向きを持たないので偏角を定められません。点が重なる可能性を最初に調べれば、式の結果を図形の言葉へ安全に戻せます。ここでは複素数の商と三点の共線・垂直を扱い、円の一般的な軌跡の分類には踏み込みません。

商を作る前に選ぶもの

出方の1つは、3点の座標が与えられ、共線か直角かを判定する型です。共通の始点を選び、そこから他の2点へ向かう差を分子と分母に置きます。実部・虚部を計算した後、点の重なりがないことを使って結論を述べます。

もう1つは、文字を含む点について共線や垂直となる値を求める型です。実部または虚部を0と置く前に分母が0になる値を除きます。解が分子を0にする場合も、相異なる三点という条件に照らして除外します。方程式の解と図形の答えは同じとは限りません。

3つ目は、仮定から商が実数や純虚数になることを示し、図形の性質を証明する型です。商を逆にしても実数か非零の純虚数かという性質は保たれますが、角の向きは反転します。どちら向きの角を使うかが必要な問題では、分子と分母の順番まで答案に残します。

差と商を図形に結ぶ

複素数 a, b, c が表す点をそれぞれ A, B, C とします。A, B, C が相異なるとき、b − a と c − a はともに0でなく、それぞれ A から B、A から C への向きを表します。図1のように同じ始点 A を選ぶと、2つの差の商を角に対応させられます。

図1で、商 (c − a)/(b − a) の絶対値は AC/AB です。また、その偏角は向き AB から向き AC への角を、2πの整数倍の違いを除いて表します。したがって商が実数なら、その偏角は0またはπで、A, B, C は一直線上にあります。逆に三点が一直線上なら、一方の差は他方の実数倍なので商は実数です。

商が非零の純虚数なら、その偏角はπ/2または -π/2 です。よって直線 AB と AC は垂直です。逆にそれらが垂直なら、商の偏角はこのいずれかなので、商は非零の純虚数です。ここで純虚数を「実部が0の数」と呼ぶ流儀では0も含まれます。混乱を避け、この文章では垂直の判定に必ず「非零」を付けます。

計算上は、分母にその共役を掛けて実部と虚部を分けます。分母の絶対値の2乗は分母が0でない限り正です。したがって、実部や虚部の零判定は分子の対応する部分の零判定へ移せます。逆向きの説明も必要なので、正の分母で割る操作が同値変形であることを書きます。

三点が相異なるという仮定は飾りではありません。B = A なら商は定義されず、C = A なら商は0です。さらに B = C なら商は1で共線の式は満たしますが、相異なる三点という問題の条件には反します。この3種類の重なりを区別しておくと、共線条件と垂直条件の両方で漏れを防げます。

基本例題：直角の頂点を特定する

複素数 a = 1 + i、b = 4 + 2i、c = 2 − 2i の表す点を A, B, C とします。三角形 ABC のどの頂点の角が直角か、商を用いて答えてください。角は頂点名で答えます。

まず差を調べます。b − a = 3 + i、c − a = 1 − 3i で、どちらも0ではありません。また b と c も異なるので三点は相異なります。A を共通の始点として商を計算します。

(c - a)/(b - a) = (1 - 3i)/(3 + i)
                  = (1 - 3i)(3 - i)/(3² + 1²)
                  = (3 - i - 9i + 3i²)/10
                  = -i

これは0でない純虚数です。したがって AB と AC は垂直で、答えは頂点 A です。図2のように A からの2つの差は (3, 1) と (1, -3) です。横と縦の成分の積の和が 3・1 + 1・(-3) = 0 になることでも、図の直角を確かめられます。

図2では B と C も異なるので、三角形がつぶれることはありません。商の値 -i は AB を時計回りに90度回すと AC と同じ向きになることも表します。直角という結論に回転の向きは不要ですが、符号を残せば図との照合に使えます。

答案で「実部が0だから垂直」と一行で済ませると、商が0でない理由が隠れます。この例では分子 c − a = 1 − 3i が0でないことが、その理由です。元の座標に戻し、2本の線分が実際に存在することまで述べると結論が明確になります。

標準例題：文字の解と重なる点を分ける

実数 t に対し a = 2、b = 2 + 2i、c = t + ti とします。A, B, C が相異なり、AB と AC が垂直となる t を求めてください。答えは実数で表します。

b − a = 2i は0でないため、どの実数 t でも商の分母は定義されます。一方 c = a なら t = 2 かつ t = 0 が必要で、同時には成り立ちません。c = b なら t = 2 かつ t = 2 なので t = 2 です。したがって三点が相異なる条件は t ≠ 2 です。

(c - a)/(b - a) = (t - 2 + ti)/(2i)
                  = t/2 - (t - 2)i/2

垂直なら実部は0ですから t/2 = 0、すなわち t = 0 です。この値は t ≠ 2 を満たし、商は i で非零の純虚数です。逆に t = 0 なら三点は相異なり、商が i なので AB と AC は垂直です。よって答えは t = 0 です。

元の点へ戻すと C は原点、A は実軸上の 2、B は 2 + 2i です。AB は縦向き、AC は横向きで、A を頂点とする直角が確かにあります。t = 2 は B と C が重なるため問題の対象外ですが、そのとき商は1です。除外値が方程式の解に現れなかったとしても、最初に条件を書く意味があります。

共線へ問いを変えるなら虚部を0と置き、t = 2 を得ます。ただしこの値は B = C を生むため、相異なる三点という条件の下では該当する t はありません。式が0になることと、求める図形が成立することを分ける練習になります。

発展例題：2つの垂直条件から点を求める

A, B, C はそれぞれ 0、4、i を表す点です。点 P を表す複素数を z とします。P が A, B, C のいずれとも異なり、PA と PB が垂直、かつ PB と PC が垂直であるような z を求めてください。答えは実部と虚部を分数で表します。

2つの角はいずれも P を頂点とするので、差の始点を P にそろえます。z ≠ 4 により 4 − z ≠ 0 です。さらに z ≠ 0、z ≠ i なので、2つの分子も0ではありません。条件は次の2つの商が非零の純虚数であることと同値です。

(0 - z)/(4 - z)
(i - z)/(4 - z)

ここで2つの商の差を取ると i/(4 − z) も純虚数です。ただし差は0にもなりうるため、この段階で非零と決めつけません。実際には i ≠ 0、4 − z ≠ 0 なのでこの差は0でありません。z = x + yi と置き、実部を調べます。

i/(4 - z) = i(4 - x + yi)/((4 - x)² + y²)
            = (-y + (4 - x)i)/((4 - x)² + y²)

分母は正ですから、実部が0となる必要十分条件は y = 0 です。元の1つ目の商に戻すと、z = x は実数で、x ≠ 4 です。このとき -x/(4 − x) は実数でもあります。これが純虚数でもあるには0でなければならず、x = 0 です。しかし z = 0 は P = A を意味し、仮定に反します。したがって条件を満たす z はありません。

幾何的にも、PA と PB が垂直、PB と PC が垂直なら、PA と PC はともに PB に垂直です。P を通り PB に垂直な直線は1本なので A, P, C は共線です。A と C は虚軸上にあり、P も虚軸上となります。さらに PB は水平である必要があるため P は B と同じ高さ、すなわち実軸上です。両軸の交点は A ですが、そこで PA が消えます。代数で得た除外点と図形の結論が一致します。

解がない場合でも、必要条件から除外点しか残らないことを示せば十分です。もし候補が残る問題なら、各商が非零の純虚数であることを元の2条件に戻して確かめます。実部を0にする操作だけでは、消えた線分や定義されない分母を復活させられません。

誤答を直す：実部が0でも角が消える

A を 1、B を 3、C を 1 で表すとします。次の推論は誤りです。「(c − a)/(b − a) = 0 なので実部が0であり、AB と AC は垂直である」。計算自体は正しく、分母も2なので0ではありません。それでも C = A ですから AC は長さ0で、直線 AC の向きは決まりません。

図3のように A と C が重なると、A から C への線分は一点に縮みます。問題は虚部の計算ではなく、実部が0という代数条件に非零という幾何上の条件を付けなかったことです。0を実部0の数に含めるかという用語の流儀にかかわらず、0には偏角がありません。

修正するには、最初に a ≠ b、a ≠ c を確認し、商が定義され非零であると書きます。さらに相異なる三点を要求されたときは b ≠ c も調べます。この例では a = c なので、その時点で三角形の直角は判定できません。商が未定義となる b = a の場合と、商は定義されるが0となる c = a の場合を混ぜずに扱います。

練習：先に5問を解く

各問の点は対応する複素数を表します。答えは指定された実数、複素数、または図形の言葉で表してください。

a = -1、b = 2 + i、c = -2 + 3i とします。三点が相異なることを確かめ、角 BAC が直角か答えてください。
a = i、b = 3 + i、c = s + (1 + 2s)i とします。s は実数です。三点が相異なり共線となる s をすべて求めてください。
a = -2、b = 1、c = u + 3i とします。u は実数です。AB と AC が垂直となる u を求めてください。
a = 1、b = 1 + i、c = 1 + vi とします。v は実数です。三点が相異なり共線となる v の範囲を答えてください。
a = 2i、b = 3 + 2i、c = w + (2 + w)i とします。w は実数です。AB と AC が垂直となる w があるか、点の重なりも含めて答えてください。

練習の解答と戻し方

b − a = 3 + i、c − a = -1 + 3i です。どちらも0でなく b ≠ c なので三点は相異なります。

(c - a)/(b - a) = (-1 + 3i)/(3 + i)
                  = (-1 + 3i)(3 - i)/10
                  = 10i/10
                  = i

商は非零の純虚数ですから角 BAC は直角です。実際に差の成分は (3, 1)、(-1, 3) で、対応する積の和は -3 + 3 = 0 です。2本とも長さがあるため、直角という結論に戻せます。

b − a = 3 なので分母は0ではありません。また c − a = s + 2si です。

(c - a)/(b - a) = s/3 + (2s/3)i

共線には虚部が0であることが必要なので s = 0 です。しかし s = 0 では c = a となり、三点は相異なりません。よって求める s はありません。候補を元の点に戻したとき線分 AC が消える点が、この問題の判定箇所です。

b − a = 3、c − a = u + 2 + 3i です。これらは0でなく、c は虚部が3なので A, B のどちらとも異なります。

(c - a)/(b - a) = (u + 2)/3 + i

実部が0となるのは u = -2 です。このとき商は i で非零ですから逆も成り立ちます。答えは u = -2 です。元の点では A = -2、C = -2 + 3i なので AC は縦、AB は横です。

b − a = i、c − a = vi です。商は v で、どの実数 v でも実数です。a ≠ b は明らかで、c = a は v = 0、c = b は v = 1 のときです。したがって答えは v ≠ 0、v ≠ 1 です。この範囲では3点は虚軸に平行な同一直線上にあり、逆に除いた2値では点が重なります。
b − a = 3、c − a = w + wi なので、商は w/3 + (w/3)i です。実部を0にするには w = 0 が必要です。このとき c = a で商も0になり、AC の向きがありません。したがって求める w はありません。候補以外では実部が0にならず、候補では線分が消えるので、両方を尽くしています。

答案を点検する視点

分母が0でないことを先に書きます。実数条件は共線へ、非零の純虚数条件は垂直へ戻します。相異なる三点では分子の零と B = C も除きます。文字の候補は元の点に代入し、逆向きも確かめます。

式は合うのに図が描けないときは、点の重なりを先に疑ってください。実部と虚部を取り違える場合は、共通の始点から2本の差を書き、それぞれの向きを図で確かめます。個別指導では、分母が0になる例と分子が0になる例を別々に示し、なぜ片方は商が未定義で、もう片方は角が未定義なのかを本人の言葉で説明できるか確認します。商の値から図形へ戻る最後の一行が、複素数の角を支えます。