高校数学III・C 不等式と解の個数—増減と極限を組み合わせて存在と一意性を書く｜武蔵野個別指導塾

指数・対数方程式を例に、符号の変化と単調性を使い分け、境界で変わる実数解の個数を数えます。

よくあるのは理系高3の演習で、増減表を作ったところで交点の存在まで済ませたつもりになる場面です。グラフが上がることから、同じ高さを2回通らないとは言えます。しかし、その高さに届くかどうかは別に調べる必要があります。指数や対数を含む方程式を、連続性、符号の変化、単調性をつないで数えましょう。ここでは実数解の個数を扱い、近似値を求める計算には立ち入りません。

どの情報から数えるか

方程式を f(x) = 0 と直したら、まず定義域を決めます。次に f′(x) の符号で区間を分け、各区間で f が増加するか減少するか調べます。その後、区間の両端の値または極限を比較します。0を挟む区間では存在が期待でき、単調な区間では重複がありません。

文字を含むときは、f(x) = a の形に直す選択もあります。固定した曲線の値域を区間ごとに調べ、水平な直線の高さ a を動かします。極大値や極小値と等しい場合は、隣り合う区間で共有する点を二重に数えないようにします。逆に、端で近づくだけの値は、その端が定義域に入っていなければ解に数えません。

不等式の証明から個数へ進む型もあります。導関数に指数関数が現れるとき、その符号を調べるための補助関数を作ることがあります。補助関数の符号が元の関数の増減を決め、さらに元の関数の値域が解の個数を決めます。どの関数についての結論かを明記すると、段階を取り違えにくくなります。

存在と一意性を別々に結ぶ

連続な関数 f が閉区間 [p, q] の両端で f(p) < 0 < f(q) を満たすなら、中間値の定理により p < c < q となるある c で f(c) = 0 です。端の符号が逆の場合も同様です。定理を使う閉区間が定義域に含まれ、そこで連続であることを先に確認します。

一方、区間で f が狭義に増加するとは、x₁ < x₂ なら f(x₁) < f(x₂) となることです。狭義減少も不等号の向きを逆にして定義します。同じ区間に2つの解があると、異なる2点での関数値がともに0となり、狭義単調性に反します。したがってその区間の解は高々1個です。存在とこの上限を合わせて、ちょうど1個と結論します。

図1のように、存在の根拠と重複しない根拠は異なる枝から合流します。f′(x) > 0 なら増加という判定は微分可能な区間で使います。導関数が1点で0になっても、左右で増加しその点で連続なら全体として狭義増加の場合があります。0になった瞬間を見ただけで単調性を否定せず、区間全体の値の順序を確認します。

図1の「符号の変化」は有限の2点で確認できます。例えば左端の極限が負、右端の極限が正なら、極限の定義により、それぞれ十分端に近い定義域内の有限の点で負と正になります。その2点を閉区間の端に取れば中間値の定理が使えます。極限そのものを関数値として代入する必要はありません。

基本例題：指数関数と直線の交点

問題：方程式 eˣ + x = 2 の実数解の個数を求め、解がある範囲を整数を端点とする開区間で示してください。個数は整数で答えます。

f(x) = eˣ + x − 2 と置きます。定義域は実数全体で、指数関数と多項式の和なので連続かつ微分可能です。導関数は次のとおりです。

f′(x) = eˣ + 1
       > 0

よって f は実数全体で狭義増加し、解は高々1個です。今度は存在を調べます。

f(0) = 1 + 0 - 2 = -1 < 0
f(1) = e + 1 - 2 = e - 1 > 0

e > 1 を使いました。f は [0, 1] で連続なので、中間値の定理から 0 < c < 1 を満たす解 c が存在します。狭義増加による上限と合わせ、実数解はちょうど1個、その範囲は 0 < c < 1 です。

図2のように、x = 0 と x = 1 で元の左辺 eˣ + x はそれぞれ 1 と e + 1 です。水準 2 を挟むので交点があります。曲線が狭義増加するため、示した区間の外にもう1つ交点がある可能性もありません。答えを元の方程式に戻すと、見つけた c で eᶜ + c = 2 が成立します。

符号の異なる有限の点がすぐに見つからない場合も、両端の極限が使えます。この例では x → -∞ で eˣ → 0、x → ∞ で eˣ → ∞ なので、f(x) はそれぞれ -∞、∞ に向かいます。これも存在を示しますが、0 と 1 を使えば解の範囲まで同時に示せます。

標準例題：最小値と境界の高さ

問題：実数 a に対して方程式 x − log x = a の正の実数解の個数を、a の範囲ごとに整数で答えてください。ここで log は自然対数です。

左辺を g(x) と置くと、定義域は x > 0 です。この範囲で連続かつ微分可能であり、

g′(x) = 1 - 1/x
      = (x - 1)/x

となります。分母は正なので、0 < x < 1 で g′(x) < 0、x > 1 で g′(x) > 0 です。したがって g は (0, 1] で狭義減少し、[1, ∞) で狭義増加します。最小値は

g(1) = 1 - log 1
     = 1

です。また、x → 0+ で log x → -∞ だから g(x) → ∞ です。x → ∞ でも g(x) → ∞ となります。後者は、x ≥ 2 で g′(x) ≥ 1/2 となることから、平均値の定理を使って g(x) ≥ g(2) + (x − 2)/2 と評価すれば確認できます。

a < 1 のとき、g(x) ≥ 1 > a なので解は0個です。a = 1 のとき、最小値を取る x = 1 が解です。左右の狭義単調性から、他に同じ値を取る点はなく1個です。元の式にも 1 − log 1 = 1 と戻ります。

a > 1 のとき、左端の極限が ∞ なので、ある u が 0 < u < 1、g(u) > a を満たします。g(1) < a と合わせ、中間値の定理により (u, 1) に解があります。右側も極限が ∞ なので、ある v > 1 で g(v) > a となり、(1, v) に解があります。各区間で狭義単調だから、それぞれ高々1個です。2区間は交わらず、解は計2個です。

この場合、極限が ∞ という記述は「十分遠い有限の点を選べる」ことに使っています。∞ を解として数えることはありません。また a = 1 では左右の区間の共通端 x = 1 を2回数えると誤りです。高さと値域の端の一致を、独立した場合として調べます。

発展例題：導関数の符号から2段階で調べる

問題：実数 a に対して方程式 eˣ − x² = a の実数解の個数を、整数で場合分けしてください。必要な境界値は、後で定める数を用いた正確な式で表してください。

h(x) = eˣ − x² とします。h は実数全体で連続かつ微分可能です。導関数の符号を調べるため、さらに

h′(x) = eˣ - 2x
h″(x) = eˣ - 2

を考えます。h″(x) = 0 は x = log 2 のときで、それより左で負、右で正です。したがって h′ は log 2 まで狭義減少し、その後は狭義増加します。その最小値は

h′(log 2) = 2 - 2 log 2
            > 0

です。ここで log 2 < 1 は、e > 2 と対数関数の狭義増加性から従います。よって h′(x) > 0 が全実数で成り立ち、h は狭義増加します。

端の様子を見ます。x → -∞ では eˣ → 0、-x² → -∞ より h(x) → -∞ です。x → ∞ では h(x) → ∞ です。後者の理由を示すため、x ≥ 0 で eˣ ≥ 1 + x + x²/2 + x³/6 を導きます。まず eˣ ≥ 1 は指数関数の増加性から成り立ちます。差を順に微分すると、eˣ − 1 − x、eˣ − 1 − x − x²/2、eˣ − 1 − x − x²/2 − x³/6 の導関数はそれぞれ直前の非負の式であり、いずれも x = 0 で0です。したがって順に非負です。

この評価により x ≥ 12 では

h(x) ≥ 1 + x - x²/2 + x³/6
     ≥ 1 + x + x³/8

です。最後の不等式は x³/24 ≥ x²/2、すなわち x ≥ 12 によります。右辺は ∞ に向かうので h(x) → ∞ です。

任意の実数 a に対し、両端の極限から h(u) < a < h(v) となる有限の u < v を選べます。連続性と中間値の定理で (u, v) に解があり、狭義増加性から他にはありません。したがって、a の値によらず実数解は1個です。境界値による場合分けは生じません。得られた解 c は h(c) = a なので、元の eᶜ − c² = a を満たします。

導関数の最小値が正だと確定するまでは、h′ のグラフが横軸を横切らないとは言えません。また、h の増加だけでは任意の a に到達するとは限らないため、両端の極限も必要です。増減と到達範囲の両方が揃って初めて、任意の高さに対する結論になります。

誤答を直す：増加しても届かない高さ

誤答：「eˣ は実数全体で狭義増加する。よって eˣ = 0 の実数解は1個である。」

増加性から言えるのは、同じ値を2回取らないことです。0を取る点があるとは言えません。図3のように、eˣ は常に正で、左へ進むと0に近づきますが、有限の x で0にはなりません。

修正答案：任意の実数 x に対し eˣ > 0 です。したがって eˣ = 0 を満たす実数 x は存在せず、解は0個です。x → -∞ で eˣ → 0 という極限は、0を取るという主張とは異なります。

別の失敗は、符号が違う2点を見つけた後に「解は1個」と終えることです。連続性があれば少なくとも1個はありますが、途中で上下する関数なら複数の解を持つこともあります。導関数の符号や区間ごとの単調性で上限を示し、必要なら各区間の端を重複なく数えます。逆に、途中で連続でない点をまたぐ符号比較も使えません。まず定義域を分けて、定理を適用する閉区間をその中に置きます。

練習問題

以下は各問とも実数解の個数を整数で答えてください。log は自然対数です。文字がある場合は、その範囲を境に分けて答えます。

1. eˣ + 2x = 4 の実数解の個数を求め、整数を端点とする開区間に解を挟んでください。
2. log x + 2x = 0 の実数解の個数を求めてください。
3. log x − x = b の正の実数解の個数を、実数 b に応じて求めてください。
4. eˣ = c の実数解の個数を、実数 c に応じて求めてください。
5. eˣ + e⁻ˣ = d の実数解の個数を、実数 d に応じて求めてください。

練習の解答と確かめ

1

F(x) = eˣ + 2x − 4 と置きます。実数全体で連続かつ微分可能で、

F′(x) = eˣ + 2 > 0
F(0) = 1 - 4 = -3 < 0
F(2) = e² + 4 - 4 = e² > 0

です。中間値の定理で (0, 2) に解があり、狭義増加性から他の解はありません。答えは1個、範囲は 0 < x < 2 です。得られた解を F(x) = 0 に戻すと eˣ + 2x = 4 です。

2

G(x) = log x + 2x と置きます。定義域 x > 0 で連続かつ微分可能で、

G′(x) = 1/x + 2 > 0
G(x) → -∞  （x → 0+）
G(1) = 2 > 0

です。十分小さい正の u で G(u) < 0 となりますから、[u, 1] に中間値の定理を使えます。解は (u, 1) に少なくとも1個あり、狭義増加性から高々1個です。答えは1個です。その解は正なので対数の条件を満たし、G(x) = 0 は元の式と同値です。

3

H(x) = log x − x と置きます。x > 0 で連続かつ微分可能で、

H′(x) = 1/x - 1
      = (1 - x)/x
H(1) = -1

です。H は (0, 1] で狭義増加、[1, ∞) で狭義減少します。x → 0+ で H(x) → -∞ です。x → ∞ でも H(x) → -∞ です。後者は x ≥ 2 で H′(x) ≤ -1/2 となり、平均値の定理から H(x) ≤ H(2) − (x − 2)/2 と評価できるためです。

b > -1 では最大値より大きく0個、b = -1 では x = 1 の1個です。実際に log 1 − 1 = -1 です。b < -1 では、両端に十分近い有限の点の値が b より小さく、H(1) > b です。中間値の定理と各区間の狭義単調性により、(0, 1) と (1, ∞) に各1個、計2個あります。各解は正で H(x) = b だから元の式の条件を満たします。

4

指数関数は実数全体で連続かつ狭義増加し、その値は常に正です。c ≤ 0 なら解は0個です。c > 0 なら x → -∞ で eˣ → 0、x → ∞ で eˣ → ∞ なので、c を挟む有限の2点が取れます。中間値の定理で解があり、狭義増加性で1個です。実際に x = log c とすれば eˡᵒᵍ ᶜ = c です。c = 0 を解がある場合に含めないことが要点です。

5

J(x) = eˣ + e⁻ˣ と置きます。実数全体で連続かつ微分可能で、

J′(x) = eˣ - e⁻ˣ
J′(x) = (e²ˣ - 1)/eˣ

となります。分母は正です。指数関数の増加性から x < 0 では e²ˣ < 1、x > 0 では e²ˣ > 1 です。したがって J は (-∞, 0] で狭義減少、[0, ∞) で狭義増加し、最小値は J(0) = 2 です。両端で J(x) → ∞ です。

d < 2 では0個、d = 2 では x = 0 の1個です。元の式でも 1 + 1 = 2 です。d > 2 では両端の極限と中間値の定理により負と正の範囲にそれぞれ解があり、狭義単調性から各1個、計2個です。どちらも J(x) = d を満たすので元の方程式の解です。

解答を点検するとき

• 定義域と連続性を、定理を使う区間に結びつけます。
• 符号または値域で存在を、狭義単調性で個数の上限を示します。
• 端の極限値に実際に到達するかを調べます。
• 極値に等しい場合は共有する点を重複して数えません。
• 得られた点を元の式と定義域へ戻します。

答案が止まったら、「高々1個」と「少なくとも1個」のどちらが書けているか印を付けてみてください。個別指導で確かめる際も、導関数の符号を言えるかに加え、符号の異なる有限の2点をどこに取れるか、端の値を含めてよいかを問い直します。解の個数は、存在と一意性を結んで初めて定まります。