高校数学III・C 積分で定まる関数と極限—差商を積分の評価に戻して値を求める｜武蔵野個別指導塾

負の増分でも積分の向きを保ち、縮む区間の平均と端点の変化率を分けて差商の極限を求めます。

よくあるのは、理系高3の演習で、端点が動く積分の差商を公式だけで処理する場面です。微分後の式は出ても、増分が負のときの積分区間や、端点が近づく速さを説明できなければ、極限への道筋が見えません。まず短い区間の平均に戻し、連続性からその値がどこに近づくかを追います。

どの長さで平均するか

出方の1つは、固定した点 a から x まで積分した関数の差商です。端点の差を h と置き、増えた部分を h で割ります。正の h と負の h で積分の向きは変わりますが、どちらも端点間の平均として扱えます。

もう1つは、上端が x² のように動く場合です。積分区間の長さで割った平均と、上端の増分を x の増分で割った比に分けます。上端の増分が0になる点では、その分解がそのまま使えるか確かめます。さらに上下両端が動く場合は、同じ基点で積分を分割して、それぞれの端点の寄与を足し合わせます。

いずれも先に被積分関数の連続性と端点の近づく先を確かめます。区間が縮むだけでなく、割る数と区間の長さがどう対応するかが重要です。

縮む区間の平均と差商

f が a を含む区間で連続であるとします。h ≠ 0 について

A(h) = (1/h) ∫[a→a+h] f(t) dt

と置きます。図1のように h の符号にかかわらず、A(h) は a と a+h の間の f の平均です。h < 0 では積分の向きと分母がともに負になるためです。

連続性により、任意の正の数 ε に対して、十分小さい |h| では、a と a+h の間のすべての t について

f(a) - ε < f(t) < f(a) + ε

です。h > 0 なら両辺を a から a+h まで積分して h で割ります。h < 0 なら積分の向きを逆にし、正の長さ -h で割ります。どちらも

f(a) - ε ≤ A(h) ≤ f(a) + ε

となるので、はさみうちにより A(h) → f(a) です。連続関数の最大値と最小値による上下評価としても同じ結論が得られます。平均値を与える点を選ぶ方法でも、その点が縮む区間内にあることまで書けば連続性を使えます。

F(x) = ∫[a→x] f(t) dt とすると、積分区間の加法性から

F(a+h) - F(a) = ∫[a→a+h] f(t) dt
(F(a+h) - F(a))/h = A(h)

です。従って F′(a) = f(a) です。この関係は連続性を根拠に導かれます。端点が変数の式に置き換わったときには、さらにその式の増分を数える必要があります。

基本例題：負の増分も含める

F(x) = ∫[1→x] (t² + 2) dt とします。F′(1) を分数または整数で求め、左右両側からの理由を書いてください。

被積分関数は多項式なので連続です。h ≠ 0 とすると、図2のように差は 1 と 1+h の間の積分です。h が負なら向きは逆ですが、分母も負です。

直接計算すると、

F(1+h) - F(1) = ∫[1→1+h] (t² + 2) dt
= [(t³/3) + 2t] の t = 1 から 1+h までの差
= ((1+h)³ - 1)/3 + 2h
= h + h² + h³/3 + 2h
= 3h + h² + h³/3

です。よって h ≠ 0 で

(F(1+h) - F(1))/h = 3 + h + h²/3
lim[h→0] (F(1+h) - F(1))/h = 3

となります。したがって答えは F′(1) = 3 です。もとの被積分関数に t = 1 を代入しても 1² + 2 = 3 で、区間の平均が近づく値と一致します。上の展開は h の符号を限定していないため、右側だけでなく左側からも成り立ちます。

この問題では原始関数を計算できましたが、それが難しくても連続性による評価を使えます。例えば 1 に近い区間で t² + 2 が 3 に近いことを示せば、差商も同じ範囲にはさまれます。

標準例題：上端の速度を掛ける

G(x) = ∫[0→x²] (1 + t³) dt とします。G′(2) を整数で求めてください。

被積分関数は全実数で連続です。x = 2 から x = 2+h へ動かすと、上端の増分を Δ として

Δ = (2+h)² - 4
= 4h + h²
= h(4+h)

です。0 < |h| < 1 なら Δ ≠ 0 です。積分区間を分けると

G(2+h) - G(2) = ∫[4→4+Δ] (1+t³) dt
(G(2+h) - G(2))/h
= ((1/Δ) ∫[4→4+Δ] (1+t³) dt) ・ (Δ/h)

となります。h → 0 のとき Δ → 0 なので、最初の因子は連続性から 1 + 4³ = 65 に近づきます。もう一方は

Δ/h = 4 + h → 4

です。従って G′(2) = 65・4 = 260 です。上端が 4 であることと、その変化率が 4 であることは別々の情報です。被積分関数の値だけを答えると後者が抜けます。

元の式からも確かめます。積分すると G(x) = x² + x⁸/4 なので、微分は 2x + 2x⁷ です。x = 2 を代入すると 4 + 256 = 260 となり、上の答えと一致します。なお x = 0 では上端の増分は h² です。h ≠ 0 なら平均に分けられ、その比 h²/h = h が 0 に近づくので、微分係数も 0 です。

発展例題：両端の寄与を分ける

H(x) = ∫[x→x²] (1+t²) dt とします。H′(1) と H″(1) を整数で求めてください。

1+t² は連続で、x と x² は微分可能です。上下端が一致する x = 1 でも H 自体は定義され、H(1) = 0 です。積分の向きが入れ替わることは、符号付きの定積分として扱えば問題ありません。

固定点 0 を使って

H(x) = ∫[0→x²] (1+t²) dt - ∫[0→x] (1+t²) dt

と分けます。各項に先ほどの平均と端点の変化率を適用すると

H′(x) = (1+x⁴)・2x - (1+x²)
= 2x + 2x⁵ - 1 - x²
H′(1) = 2 + 2 - 1 - 1
= 2

です。導関数は多項式ですから、もう一度微分できます。

H″(x) = 2 + 10x⁴ - 2x
H″(1) = 2 + 10 - 2
= 10

直接積分した H(x) = x² + x⁶/3 − x − x³/3 を微分しても同じです。特に H(1) = 1 + 1/3 − 1 − 1/3 = 0 と元の端点の一致に戻ります。値が 0 でも、左右で端点が異なる速さで動くため、微分係数が 0 とは限りません。

下端から始める積分をそのまま上端の式だけで微分すると、下端の変化を落とします。固定点を挟むと、下端の項が引き算になる理由が明示されます。ここでは端点が一致しても各項の導関数は存在するので、その差を取れます。

間違いを区間に戻して直す

図3は、上端が x² のときの2種類の増分を比べています。たとえば標準例題に対し「上端が 4 だから G′(2) = 65」とする答案は、被積分関数の値を正しく求めても、上端の変化率を落としています。

原因は Δ と h を同じ量として扱ったことです。実際には Δ = 4h + h² で、十分小さい h に対する比 Δ/h は 4 に近づきます。修正答案ではまず短い区間の平均が 65 に近づくと書き、次に Δ/h → 4 を掛けて 260 とします。

別の誤りとして、h < 0 でも ∫[a→a+h] を正の長さの区間の積分と同じ向きに読むことがあります。a+h から a への積分に直すと符号が反転し、負の h で割る符号と打ち消し合います。図の左右を入れ替えても平均の値が連続性から f(a) に近づくことを確認してください。

端点の増分が常に0という場合は、それで割れません。例えば上端が定数なら積分は一定で差商は直接0です。分母が0になり得る式で割る前に、0になる場合を分けることが必要です。

練習：動く端点を見極める

次の値を整数または分数で求め、連続性と端点の扱いを示してください。積分はすべて符号付きの定積分です。

1. P(x) = ∫[2→x] (t + 3) dt とする。P′(2) を求める。
2. Q(x) = ∫[0→3x] (2+t²) dt とする。Q′(1) を求める。
3. R(x) = ∫[x→2x] (t+1) dt とする。R′(2) を求める。
4. S(x) = ∫[0→x³] (1+t) dt とする。S′(0) を求める。
5. T(x) = ∫[1→x] (t²+1) dt とする。lim[h→0] (T(1+2h)-T(1-h))/h を求める。

練習の解答と照合

1. t+3 は連続です。積分区間の加法性と縮む区間の平均から、

P′(2) = 2 + 3
= 5

です。直接 P(x) = x²/2 + 3x − 8 と計算すると P′(x) = x + 3 で、x = 2 に戻して 5 です。P(2) = 0 も元の積分の上下端の一致と合います。

2. 2+t² は連続で、上端 3x の変化率は 3 です。上端が 3 のときの値を掛けて

Q′(1) = (2+3²)・3
= 11・3
= 33

です。直接 Q(x) = 6x + 9x³ と積分でき、Q′(1) = 6 + 27 = 33 と確かめられます。Q(1) = 15 も上端 3 の積分値に一致します。

3. t+1 は連続です。固定点 0 で分け、上端と下端の寄与を計算します。

R′(x) = (2x+1)・2 - (x+1)
= 3x+1
R′(2) = 7

積分すると R(x) = ((2x)²/2 + 2x) − (x²/2 + x) = 3x²/2 + x です。x = 2 では R(2) = 8 で、区間 2 から 4 までの積分値とも一致します。

4. 1+t は連続です。上端 x³ の変化率は 3x² なので

S′(x) = (1+x³)・3x²
S′(0) = 0

です。直接積分すると S(x) = x³ + x⁶/2 です。S(0) = 0 であり、差商も h² + h⁵/2 → 0 です。端点の増分が h より速く0に近づくことが結果に表れています。

5. 被積分関数は連続です。端点を 1 で分けると、h ≠ 0 で

(T(1+2h)-T(1-h))/h
= (T(1+2h)-T(1))/h + (T(1)-T(1-h))/h

です。最初の項は、2h による差商の2倍なので 2・2 = 4 に近づきます。後の項は、増分 -h による差商と等しく、2 に近づきます。よって極限は 6 です。

直接の照合では T(x) = x³/3 + x − 4/3 です。これを両端に代入すると

T(1+2h) = 4h + 4h² + 8h³/3
T(1-h) = -2h + h² - h³/3
(T(1+2h)-T(1-h))/h = 6 + 3h + 3h²

となり、左右どちらからも 6 に近づきます。h が負なら積分の向きも反転しますが、式はその場合も成立します。

最後に残す確認

• 被積分関数が端点の近くで連続かを確かめます。
• 積分の差を動いた区間へ直し、負の増分の向きも扱います。
• 区間の平均と端点の変化率を分けます。
• 両端が動くときは固定点を挟み、下端の符号を確かめます。
• 割る量が0になる場合と元の条件を照合します。

値は合うのに説明が止まる場合は、短い区間の平均がどの数へ近づくかを言葉にできるか見てください。符号が合わない場合は、負の h で積分の始点と終点を図に書きます。個別指導では、端点の増分を自分で計算できるか、0で割っていないか、得た値が元の積分に戻るかを順に確かめられます。動く端点の速さまで追えば、差商の値を根拠とともに書けます。

区間の平均を使うとき、被積分関数が正である必要はありません。例えば区間内の値がすべて負であっても、最小値と最大値の間に平均があるという評価はそのまま使えます。必要なのは、その区間で積分でき、縮む先で値が連続につながることです。図の面積を思い浮かべるときも、軸より下の部分は符号付きで数えます。

端点の近づき方にも注意します。上端の増分が正とは限らず、h が正でも負になることがあります。積分の向きを含めて平均を定義すれば、その符号を別に推測する必要はありません。一方で、平均を表す分数の分母が0となる h がある場合は、その h を含む差商を直接調べます。限られた h での計算結果だけから両側の極限を断定せず、十分小さいすべての h に対して評価が成立することを示します。

両端が別々の点に近づく場合にも、固定点で分ける方法が使えます。上端側の変化と下端側の変化を別に計算すれば、それぞれに対応する被積分関数の値が現れます。下端に対応する項には引き算が付くため、最後に符号を照合します。計算を始める前に、何が動き、何を固定しているのかを一行書くと、積分変数と端点の変数を混同しにくくなります。