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高校数学II 領域における一次式の最大最小—平行な直線を動かして値と達成点を確かめる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学II 図形と方程式を掘り下げる

一次式の値を平行な直線で追い、辺全体での達成や、開いた境界に近づいても最大値を取れない場合を見分けられます。

よくあるのは、高2が境界を含まない領域の図を描き、頂点に近づく一次式の値をそのまま最大値と答える場面です。近づけることと、その値を実際に取ることは異なります。動く直線が領域に最後に触れるかどうかを、図と不等式の両方から調べましょう。

どんな問いで直線を動かすか

領域における一次式の最大最小には、いくつかの形があります。まず、境界を含む三角形や四角形の中で、一次式の最大値と最小値を達成する点まで求める問いです。最も外側で直線が頂点に触れる場合もあれば、辺と重なり、その辺のどの点でも同じ値になる場合もあります。

次に、領域が一方向へ限りなく広がる問いがあります。図の紙面からはみ出すからといって、最大値も最小値もないとは限りません。広がる向きに一次式が増えるか減るかを調べ、それぞれ別々に判断します。

さらに、境界を含まない問いでは、直線が境界に近づく様子と、実際に領域内に点を持つかを分けます。値の候補を見つけたら、その候補を取る点が元の不等式を満たすかを必ず調べます。図だけで判定しにくいときは、一次式を条件式の和や差に直すと、値の範囲と等号成立がはっきりします。

等しい値の直線と境界の約束

一次式を z = ax + by とします。aとbが同時に0でないとき、z = kは直線 ax + by = kを表します。kを変えてもxとyの係数は変わらないので、これらの直線は互いに平行です。b = 0なら縦の直線、a = 0なら横の直線になり、傾きを使わなくても同じように動かせます。aとbがともに0ならzは常に0で、領域に点があれば最大値も最小値も0です。

図1では、閉じた三角形に同じ傾きの直線を重ねています。直線が領域を横切る間は対応する値を取れます。端まで動かして接する点も領域に含まれるなら、その点で端の値を達成します。図の直線は説明用であり、値が大きくなる向きは式に点を代入して判定します。

図1のように境界を含む多角形では、各辺の両端の値を比べる方法も使えます。辺の両端をA、Bとし、辺上の点を、AからBへ割合tだけ進んだ点とします。0 ≦ t ≦ 1なら、その点の座標は両端の座標のそれぞれに同じ割合をかけて足したものです。したがって一次式の値も「Aでの値に1 − tをかけたもの」と「Bでの値にtをかけたもの」の和になります。この値は両端の値の間にあり、両端の値が等しければ辺上で一定です。

閉じた有界な凸多角形の内部の点も頂点の座標の重み付き平均として表せるので、一次式の値は頂点の値の最小と最大の間にあります。よって頂点の値を比較できます。ただし、これは境界を含む有界な凸多角形についての話です。開いた境界や非有界の領域に、頂点比較をそのまま当てはめてはいけません。また、同じ最大値を隣り合う2頂点で取れば、その間の辺も達成点です。

最大値とは、領域の点で実際に取る値のうち、ほかのどの値以上でもある値です。上から抑える数が見つかっただけでは最大値とは言えません。例えばz < 5であれば5は上からの限界ですが、5を取る点がなければ最大値ではありません。最小値についても、下からの限界と達成を別に確認します。

基本例題：三角形の3頂点を調べる

点(x, y)が x ≧ 0、y ≧ 0、x + y ≦ 4 を満たします。z = 2x + y の最大値と最小値を整数で求め、それぞれを取る点の座標を答えてください。

図2の三角形は3本の境界線を含みます。x軸上、y軸上、斜めの境界線上の点も条件を満たすことに注意します。

図2の頂点を求めます。x = 0とy = 0の交点はO(0, 0)です。y = 0とx + y = 4の交点はA(4, 0)、x = 0とx + y = 4の交点はB(0, 4)です。いずれも3つの不等式を満たします。

それぞれに代入すると、

O: z = 2・0 + 0 = 0
A: z = 2・4 + 0 = 8
B: z = 2・0 + 4 = 4

頂点での値を比較すると、最大値の候補は8、最小値の候補は0です。ここでは不等式でも確かめられます。

z = 2x + y
  = 2(x + y) - y
  ≦ 8 - y
  ≦ 8

最初の等号にはx + y = 4、次の等号にはy = 0が必要です。両方を満たすのはA(4, 0)です。一方、x ≧ 0かつy ≧ 0よりz ≧ 0で、等号はx = y = 0のときです。したがって最大値は8、達成点は(4, 0)、最小値は0、達成点は(0, 0)です。2点を元の条件に戻すと、Aでは4 + 0 = 4、Oでは0 + 0 ≦ 4で、どちらも条件を満たします。

等値線2x + y = kは、kが大きいほど右上側へ移ります。最後にAに触れますが、その向きは例えば原点でk = 0、Aでk = 8と比較して確かめられます。直線の傾きだけから、値の増減を思い込みで決めないことが大切です。

標準例題：辺の全体で同じ値を取る

点(x, y)が x ≧ 1、y ≧ 2、x + y ≦ 7 を満たします。z = 3x + 3y の最大値と最小値を整数で求め、それぞれを取る点を座標の条件で表してください。

まず境界線の交点を調べます。x = 1とy = 2から(1, 2)、x = 1とx + y = 7から(1, 6)、y = 2とx + y = 7から(5, 2)を得ます。各点は元の不等式を満たします。

zはx + yの3倍です。与えられた条件を足すと、

x ≧ 1
 y ≧ 2
x + y ≧ 3

またx + y ≦ 7なので、正の3倍をして

3 ≦ x + y ≦ 7
9 ≦ 3(x + y) ≦ 21
9 ≦ z ≦ 21

最小値9を取るにはx + y = 3が必要です。x ≧ 1、y ≧ 2と合わせると、x = 1、y = 2に限られます。この点はx + y = 3 ≦ 7も満たします。

最大値21を取るにはx + y = 7が必要です。この直線上でx ≧ 1、y ≧ 2を満たすのは、1 ≦ x ≦ 5、y = 7 − xで表される線分です。両端も含み、線分上の各点は元の3条件を満たします。したがって最大値は21で、達成点はその線分全体です。最小値は9で、達成点は(1, 2)です。

等値線3x + 3y = kは境界x + y = 7と平行です。最大の位置で両者が重なるため、頂点2個を書いて終えると、間の達成点が抜けます。反対に、2頂点が同じ値を取っていても、その間が領域に含まれない場合は別途確認が必要です。

発展例題：広がる領域と取れない端

点(x, y)が x ≧ 0、y ≧ 0、1 < x + y を満たします。z = x + 2y の最大値と最小値の有無を調べ、存在する場合は整数で値と達成点を答えてください。

この領域は第1象限で直線x + y = 1より外側にあり、斜めの境界は含みません。x軸とy軸のうち条件を満たす部分は含みます。まず下側を調べます。

z = x + 2y
  = (x + y) + y
  > 1 + y
  ≧ 1

どの点でもz > 1です。ただし、これだけでは最小値が1以外に存在する可能性をまだ排除できません。任意の正の数hに対して、点(1 + h, 0)はx ≧ 0、y ≧ 0、x + y > 1を満たし、そこでz = 1 + hです。どんな正の差を指定しても、hをその差より小さく選べば、1との差がそれより小さい値を取れます。よって1より大きい値が最小値になることもありません。1自体も取れないので、最小値は存在しません。

上側は、t > 1として点(t, 0)を取ると調べられます。この点は領域にあり、z = tです。tを大きく選ぶとzもいくらでも大きくなるため、最大値も存在しません。紙の上で描いた領域の端は実際の境界ではなく、そこで値が止まるわけではありません。

この例では最大値も最小値もありませんが、非有界なら必ず両方がないわけではありません。例えばx ≧ 0、y ≧ 0の領域でx + yを考えると、原点で最小値0を取ります。一方、(t, 0)でtを大きくできるので最大値はありません。値を増やす方向と減らす方向を別々に検討します。

誤答をほどく：境界に近づくことと到達

x ≧ 0、y ≧ 0、x + y < 3の領域でz = x + yを考えます。誤答は「頂点(3, 0)で最大値3」です。図3の白抜きの点は、斜めの境界が含まれないことを表します。実線の軸上でも、白抜きの端点は除かれます。

図3の(3, 0)を代入すると、x + y = 3であり、必要なx + y < 3を満たしません。したがって、この点での値は領域内の値として採用できません。見た目の頂点を計算することと、その点が領域に属することは別の確認です。

修正するには、まず条件そのものからz < 3を得ます。次に、0 < h < 3として点(3 − h, 0)を取ると、この点は領域にあり、z = 3 − hです。hを正のまま小さくすると値は3にいくらでも近づきます。よって最大値はありません。なお原点は3条件を満たし、z ≧ 0でもあるので、最小値は0、達成点は原点です。

境界の一部が開いていても、最大値が常にないわけではありません。別の含まれる点で同じ値を達成することもあります。等値線と領域の共通部分を調べ、少なくとも1点が元の条件を満たすかで結論を決めます。

手を動かす5問

各問で最大値と最小値の有無を調べ、存在する値は整数または分数で、達成点は座標または座標の条件で答えてください。

x ≧ 0、y ≧ 0、x + y ≦ 6のとき、z = x + 3y。
x ≧ 2、y ≧ 1、x + y ≦ 8のとき、z = 2x + 2y。
x > 0、y ≧ 0、x + y ≦ 5のとき、z = x + y。
x ≧ 0、y ≧ 0、x + y ≧ 2のとき、z = x + 4y。
x ≧ 0、y ≧ 0、2x + y ≦ 6、x + 2y ≦ 6のとき、z = x + y。

5問の解答と検算

1

頂点は(0, 0)、(6, 0)、(0, 6)です。いずれも元の条件を満たし、代入すると値は順に0、6、18です。また

z = x + 3y
  = 3(x + y) - 2x
  ≦ 18 - 2x
  ≦ 18

等号はx = 0かつx + y = 6、すなわち(0, 6)で成立します。非負のx、yからz ≧ 0で、等号は(0, 0)です。最大値18、最小値0で、それぞれの達成点は(0, 6)、(0, 0)です。

2

x ≧ 2、y ≧ 1よりx + y ≧ 3、もう一つの条件よりx + y ≦ 8です。したがって

3 ≦ x + y ≦ 8
6 ≦ 2(x + y) ≦ 16
6 ≦ z ≦ 16

最小値6は(2, 1)で取ります。最大値16はx + y = 8のうち、2 ≦ x ≦ 7、y = 8 − xを満たす点全体で取ります。端点(2, 6)、(7, 1)を含め、この線分の各点は3条件を満たします。

3

条件よりz = x + y ≦ 5です。例えば(5, 0)はx > 0、y ≧ 0、x + y = 5を満たすので、最大値5を取ります。達成点は0 < x ≦ 5、y = 5 − xの点全体です。(0, 5)はx > 0を満たさず含めません。

下側はx > 0、y ≧ 0よりz > 0です。0 < h ≦ 5に対し(h, 0)は領域にあり、z = hです。0にいくらでも近い正の値を取れる一方、0は取れないため最小値はありません。

4

z = x + 4y
  = (x + y) + 3y
  ≧ 2 + 3y
  ≧ 2

等号成立はx + y = 2かつy = 0のときで、点(2, 0)は元の条件を満たします。よって最小値は2です。t ≧ 2の点(t, 0)は領域内でz = tとなり、値を限りなく大きくできるので最大値はありません。

5

2つの斜めの境界の交点は連立して求めます。

2x + y = 6
y = 6 - 2x
x + 2(6 - 2x) = 6
-3x = -6
x = 2
y = 2

この点は両方の不等式を等号で満たし、座標も非負です。2つの不等式を足すと、

3x + 3y ≦ 12
x + y ≦ 4

等号には両方の不等式で等号が必要で、達成点は(2, 2)です。またx、yは非負なのでz ≧ 0で、等号は(0, 0)で成立します。この点も元の条件を満たします。最大値は4、最小値は0です。

覚えておくこと

一次式を一定にした直線を平行に動かし、値が増える向きを確かめます。
閉じた有界な凸多角形では頂点の値を比べ、辺全体での達成も調べます。
候補の点を元の不等式に戻し、境界が含まれるかを確かめます。
非有界や開いた境界では、限界に近づく点と実際の達成を分けます。

どこで判断が止まったか

「値が最も大きくなりそうな点は、与えられた不等式を全部満たしますか」と問い直してみてください。満たさない点を選んだ場合は、不等号の向きと等号の有無を図に戻して確認します。値を近づけられる理由は、具体的な領域内の点を文字で表して説明できるかを見ると確かです。

個別指導では、等値線の増加方向を2点への代入で説明できるか、辺と等値線が重なるときに達成点を端点だけにしていないかを確認します。領域が広がる場合は、条件を保ちながら動ける点を1つの文字で表し、一次式の値がどう変わるかを一緒に点検します。最大値と最小値のそれぞれについて、値の比較と達成点の確認がそろえば、答えの根拠が明確になります。