高校数学II 領域における距離の最大最小—円の中心と半径を使い値を取る点まで求める｜武蔵野個別指導塾

円板を半平面で切った領域で距離を比較し、最短点が切り口へ移る場合と境界を含まず最小値がない場合を扱います。

よくあるのは、高2が最短距離をいつでも中心間距離から半径を引いて求める場面です。円板の内側に基準点があれば、その点自身までの距離は0です。さらに半平面で円板を切ると、円全体では最も近かった点が領域から外れることもあります。まず領域に入る点を確かめ、距離の候補と実際に取れる値を分けて考えましょう。

距離を問う3つの形

1つ目は円板や円周上の点と定点との距離です。中心と定点の距離を測り、定点が円の外、円周上、内のどこにあるかで最小値が変わります。円板には内部が含まれますが、円周には含まれません。同じ円でも、選べる点が違えば答えが変わります。

2つ目は円板と半平面の共通部分です。円全体で見つけた最短点や最遠点が切り取られた側にあると、その点は使えません。直線上の切り口や円周上で、実際に条件を満たす点を調べます。円と直線の交点が最適になる場合もあります。

3つ目は境界を含まない領域です。点を境界に近づけると距離がある値に近づいても、その値を取る点がなければ最大値または最小値とは呼べません。近づく値を求めた後に、等号が成立する点が領域に属するかを調べます。

円を動かして距離を読む

定点をA(a, b)、動点をP(x, y)とすると、距離APは√((x − a)² + (y − b)²)です。平方根の中は0以上なので、距離の大小と距離の二乗の大小は一致します。したがって、計算しやすいAP²を先に比べ、最後に0以上の平方根を取れます。

中心C、正の半径rの円板を考え、AC = dとします。三角形の辺の長さの関係からAP ≤ AC + CP ≤ d + rです。d > 0なら、AからCへ向かう直線上でCの向こう側にある円周上の点が等号を満たします。d = 0なら円周上のどの点でも距離はrです。

最短については、d > rならAP ≥ AC − CP ≥ d − rです。Aに最も近い円周上の点が等号を満たします。d ≤ rならAは円板に属し、P = Aで距離0を取ります。一方、円周に限ればd < rでも最短距離はr − dです。中心と定点が一致するときは円周上の全点が距離rにあります。

図1のように、外の点Aからは円周までのすき間が最短距離です。内の点Bから円板への最短距離は0です。Bから円周に限ると0ではないので、円板と円周を言葉でも式でも区別します。

半平面を加えたら、先に円全体の候補がその条件を満たすか判定します。満たさない場合にその値をそのまま答えることはできません。切り口上の距離を平方完成したり、円周と直線の交点を調べたりして、残った領域での上下限を証明します。図の見た目で最も近そうな点を選ぶだけでは、他の点がそれより近くない理由になりません。候補が見つかったら、まず全点について成り立つ不等式を書き、次に等号を実現する点を探します。

基本例題：円板の中に基準点がある

点Pは(x − 2)² + y² ≤ 9を満たします。原点OからPまでの距離の最小値と最大値を根号を用いずに求め、それぞれの値を取る点の座標も答えてください。

中心はC(2, 0)、半径は3です。OC = 2なので、原点は円板の内部にあります。実際に原点を条件へ代入すると、次のようになります。

(0 - 2)² + 0² = 4
4 < 9

よってP = Oを選べます。距離は負にならないので、最小値は0、達成点は(0, 0)です。中心間距離から半径を引くと-1ですが、負の数は距離になりません。この計算は原点が円の外にあるときの差を、その条件なしに使ったために生じます。

最大について、任意のPで三角形の辺の関係を使います。

OP ≤ OC + CP
CP ≤ 3
OP ≤ 2 + 3 = 5

P = (5, 0)は円板の条件で等号を満たし、OP = 5です。したがって最大値は5、達成点は(5, 0)です。上から押さえる式と、その値を実際に取る点の両方が必要です。

図2のように、中心と原点を結ぶ直線上で、中心の先にある円周上の点が最遠点です。最短点は円周上ではなく原点自身です。もし条件が等号のみの円周なら原点を選べず、最短距離は3 − 2 = 1となります。

標準例題：切り口で最短になる

点P(x, y)はx² + y² ≤ 25、x ≥ 3を満たします。定点A(0, 0)からPまでの距離の最小値と最大値を根号を用いずに求め、達成点をすべて答えてください。

x ≥ 3よりxは正ですから、x² ≥ 9です。またy² ≥ 0です。そこで距離の二乗は次の範囲にあります。

AP² = x² + y²
AP² ≥ 9 + 0 = 9
AP² ≤ 25

下端の等号にはx = 3、y = 0が必要です。点(3, 0)は円板にも半平面にも属するので、最小値は3で達成点は(3, 0)です。上端の等号は円周x² + y² = 25上で起きます。半平面の条件も必要なので、最大値は5、達成点はx² + y² = 25かつx ≥ 3を満たす円弧の全点です。

円板全体の最短点は原点ですが、x ≥ 3を満たしません。切り口x = 3では、原点に最も近い点が(3, 0)です。円板にその点が入ることも9 ≤ 25で確認しています。例えば切り口への垂線の足が円板外なら、同じ点を採用できず、交点などを改めて調べる必要があります。

発展例題：切り口の端も候補になる

点P(x, y)はx² + y² ≤ 25、x ≥ 4を満たします。定点A(-2, 0)からPまでの距離の最小値と最大値を、それぞれ根号の形で求め、達成点の座標をすべて答えてください。

距離の二乗を展開し、与えられた2つの条件を別々に使います。

AP² = (x + 2)² + y²
AP² = x² + y² + 4x + 4

最小値にはx ≥ 4とy² ≥ 0を直接使います。

AP² = (x + 2)² + y²
x + 2 ≥ 6
AP² ≥ 36

等号はx = 4、y = 0で成立し、この点は16 ≤ 25を満たします。最小値は6、達成点は(4, 0)です。

最大値には円板の条件とxの上限を使います。x² ≤ 25かつx ≥ 4よりx ≤ 5です。

AP² = x² + y² + 4x + 4
AP² ≤ 25 + 4・5 + 4
AP² ≤ 49

両方の等号を同時に満たすのは(5, 0)です。この点は条件を満たし、Aからの距離は7です。最大値は7、達成点は(5, 0)です。上限を別々に用いたときは、等号が同じ点で成立するかを必ず確認します。成立しない場合、その上限は正しくても最大値とは限りません。

次に定点をB(0, 6)に替え、同じ領域でBPの最小値を考えます。これは円全体の最短点(0, 5)がx ≥ 4を満たさない場合です。領域内ではx² ≥ 16なのでy² ≤ 9、特にy ≤ 3です。

BP² = x² + (y - 6)²
BP² = x² + y² - 12y + 36
BP² ≥ 16 + (3 - 6)²
BP² ≥ 25

最後の不等式はx² ≥ 16と、y ≤ 3から(y − 6)² ≥ 9で得ます。点(4, 3)は両境界に属し、BP = 5です。したがって最小値は5、達成点は(4, 3)です。円板全体の最短点が使えないとき、切り口と円周の交点が答えになることがあります。

誤答を直す：境界に近いことと値を取ること

点Pがx² + y² ≤ 25、x > 3を満たすとき、原点からの最短距離を3とする誤答を考えます。x = 3上の(3, 0)が最も近いと考えたところまでは、境界を含む場合の見通しとして使えます。しかし今回はx > 3なので、その点は領域に属しません。

図3のように、切り口を破線にして含まれないことを示します。領域内の任意の点でx > 3ですから、OP² = x² + y² > 9、つまりOP > 3です。3という距離を取る点はありません。

一方、0 < t ≤ 2としP = (3 + t, 0)を取ると、x > 3かつx² ≤ 25です。距離は3 + tで、tを正のまま小さくすれば3にいくらでも近づきます。仮に3より大きい最小距離があれば、それより小さくなるようにtを選べて矛盾します。よって最小値は存在しません。近づく先の3は距離の下限ですが、最小値ではありません。

最大値については(5, 0)が領域に属するため5を取ります。開いた境界が1つあるからといって、最大値と最小値の両方が存在しないと決めるのも誤りです。それぞれの候補点が、どの境界にあり、どの不等号を満たすかを個別に調べます。

練習：点と境界を先に指定する

各問で距離の最大値と最小値を求め、存在する値の達成点をすべて答えてください。距離は必要に応じて根号で表します。

1. Pは(x − 6)² + y² ≤ 4を満たします。原点からPまでの距離を求めます。
2. Pはx² + y² = 16を満たします。A(1, 0)からPまでの距離を求めます。
3. Pはx² + y² ≤ 36、x ≥ 2を満たします。原点からPまでの距離を求めます。
4. Pはx² + y² ≤ 25、y ≥ 4を満たします。A(0, -1)からPまでの距離を求めます。
5. Pはx² + y² < 9、x ≥ 0を満たします。原点からPまでの距離を求めます。

練習の解答と確認

1

中心Cは(6, 0)、半径は2で、OC = 6 > 2です。円板の外に原点があるので、三角形の辺の関係から次が成り立ちます。

OP ≥ OC - CP ≥ 6 - 2 = 4
OP ≤ OC + CP ≤ 6 + 2 = 8

最小値4は(4, 0)、最大値8は(8, 0)で取ります。両点とも中心からの距離は2で円板に属し、原点からの距離もそれぞれ4、8です。円板外の点を候補にしていないか、元の不等式に代入して戻せます。

2

中心OからAまでの距離は1、円の半径は4です。Aは円の内部にありますが、Pは円周に限られます。

AP ≥ OP - OA = 4 - 1 = 3
AP ≤ OP + OA = 4 + 1 = 5

最小値は3で達成点は(4, 0)、最大値は5で達成点は(-4, 0)です。どちらもx² + y² = 16を満たし、Aからの距離は順に3、5です。A自身は円周上にないので距離0は取れません。

3

x ≥ 2からx² ≥ 4、y² ≥ 0です。円板の条件と合わせると次の通りです。

4 ≤ OP² = x² + y² ≤ 36

最小値2は(2, 0)で取ります。最大値6はx² + y² = 36かつx ≥ 2の円弧上の全点で取ります。(2, 0)は4 ≤ 36を満たし、円弧の各点も両条件を満たします。最大値を取る点を1点に限定しないことが必要です。

4

距離の二乗はx² + (y + 1)²です。y ≥ 4よりy + 1 ≥ 5で、x² ≥ 0です。

AP² = x² + (y + 1)² ≥ 25
AP² = x² + y² + 2y + 1
AP² ≤ 25 + 2・5 + 1 = 36

後半では円板内のy ≤ 5を使いました。最小値5は(0, 4)、最大値6は(0, 5)で取ります。両点はy ≥ 4かつ円板の条件を満たし、Aからの距離も5、6です。上下の評価の等号がそれぞれ実現する点を確認しました。

5

原点は条件を満たすので、最小値は0、達成点は(0, 0)です。円板の境界を含まないため、常にOP < 3です。0 < t < 3としてP = (3 − t, 0)を取れば条件を満たし、距離は3 − tです。これを3にいくらでも近づけられるので、最大値は存在しません。3を取る点は円周上にあり、厳密な不等号に反します。

手元に残すこと

距離の二乗を比べ、最後に平方根を取ります。 円板と円周、各境界の包含を区別します。 候補点が領域に入り、評価の等号を満たすか調べます。 境界に近づくだけの値は最大値や最小値とは限りません。

つまずきを見分ける問い

「基準点そのものを選べますか」と問い、元の不等式への代入を見ます。選べるのに半径との差を使った場合は、距離0を取る点を図に置き直します。円周と円板のどちらが指定されたかも、等号と不等号を指して確認します。

次に「その候補点は切り取った領域に残りますか」と問い、座標を各条件に代入します。残らないときは切り口の垂線の足や端点を調べ、それぞれが領域に属するか確かめます。個別指導では、距離の評価式と等号成立条件を並べ、両方を同時に満たす点を書けるかを確認します。境界を含まない場合は、近づく点の列を具体的に作り、達成点がない理由まで説明します。距離の最適値は、領域に残る点と等号の条件から決まります。