高校数学II 動点と定点から作る点の軌跡—元の点を消去し動く範囲と除外点を戻す｜武蔵野個別指導塾

中点・内分点の座標を元の動点について解き戻し、線分の端点や円周から除く点を軌跡に反映させる手順を学べます。

よくあるのは、直線上を動く点の座標を文字で置き、中点の方程式を求めた後で、元の点が線分の上に限られていたことを忘れる場面です。式には直線全体が現れていても、実際に動ける部分はその一部かもしれません。動点の位置を戻せるかどうかまで調べると、端点を含むか、抜ける点があるかを決められます。

動く点から何を問われるか

1つ目は、直線または線分上を動く点と定点の中点について、軌跡を方程式と範囲で表す型です。元の点が直線全体を動くときと、両端を含む線分を動くときでは、同じ消去式でも答えが異なります。端点を含まない条件なら、対応する点も含みません。

2つ目は、円周上の動点と定点を結ぶ線分の内分点を調べる型です。内分の比が一定なら、元の円の中心と半径がどのように移るかを座標から求められます。ただし元の円周から1点が除かれているなら、その点に対応する内分点も調べる必要があります。

3つ目は、動点の条件が直線や円の一部分に限定される型です。上半分、端点の除外、座標の不等式などを、消去した後の点の座標へ移します。方程式を得ることと、方程式上のどの点が実現するかは別の確認です。

消去の前後をつなぐ考え方

点Pが与えられた集合を動くとき、条件に従って定まる点Qの位置を集めたものを、Qの軌跡といいます。求めるのはQが通りうる点の集まりです。Qの座標を(x, y)、元の動点Pの座標を(s, t)として、まず両者の関係を作ります。

定点A(a, b)とP(s, t)の中点がQなら、座標はx = (a + s)/2、y = (b + t)/2です。これをPについて解くとs = 2x − a、t = 2y − bとなります。2は0ではないので、この関係は一方向に限らず戻せます。図1のように、進む向きは必要性、戻る向きは十分性の確認に使います。

図1の右側の候補点について、復元したPが元の動ける範囲にあるなら、その候補点は実際に作れます。反対に、復元したPが元の範囲の外なら、消去式を満たしていても採用できません。元の条件からQの条件が従うことが必要性、候補となるQから条件に合うPを作れることが十分性です。

より一般に、正の数m、nについて、Qが線分APをAQ : QP = m : nに内分するとき、x = (na + ms)/(m + n)、y = (nb + mt)/(m + n)です。m + nとmは正なので、s = ((m + n)x − na)/m、t = ((m + n)y − nb)/mと復元できます。比の順序を逆に置くと係数も逆になるので、内分公式を使う前に、どちらの長さがmに対応するかを確かめます。

元の点がAと重なる場合は注意が要ります。中点は重なっても定義できますが、線分APを正の比に内分するという条件では、長さがともに0になり比を定められません。問題で内分点を扱う際はPとAが異なるかを確認します。方程式だけでは、この除外が消えてしまうことがあります。

また、両辺を2乗する操作や分母を払う操作は、元の条件と同値でなくなることがあります。中点や固定比の内分の式では、非零の係数で解き戻せるため、元の条件への代入を通じて両方向を示せます。範囲を示す不等式や点の除外も、同じ復元式に代入して判定します。

基本例題：線分の端まで移す

定点A(2, 1)と、線分BC上を両端を含めて動く点Pを考えます。B(-2, 3)、C(4, 3)です。線分APの中点Qの軌跡を、方程式とxの範囲で表してください。

図2のように、Pは水平な線分を動きます。BとCは異なるので、その条件はP(s, t)に対してt = 3、-2 ≤ s ≤ 4です。Q(x, y)を中点の公式で表します。

x = (2 + s)/2
2x = 2 + s
s = 2x - 2

y = (1 + t)/2
2y = 1 + t
t = 2y - 1

元の直線の条件t = 3を代入すると、次の式です。

2y - 1 = 3
2y = 4
y = 2

さらにsの範囲を移します。2は正なので不等号の向きは変わりません。

-2 ≤ 2x - 2 ≤ 4
0 ≤ 2x ≤ 6
0 ≤ x ≤ 3

したがって候補はy = 2、0 ≤ x ≤ 3です。ここまでは、実際に作れるQが必ずこの条件を満たすという必要性です。図2のBに対応する中点は(0, 2)、Cに対応する中点は(3, 2)です。元の両端を含むため、対応する両端も含みます。

逆に、y = 2、0 ≤ x ≤ 3を満たす任意のQ(x, y)を取ります。Pを(2x − 2, 2y − 1)と定めると、その第2座標は3で、第1座標は-2以上4以下です。よってPは線分BC上にあり、AとPの中点は確かにQです。候補のどの点も作れるので、軌跡は閉じた線分y = 2、0 ≤ x ≤ 3です。

たとえば候補の端Q(3, 2)からはP(4, 3)が戻り、実際にCと一致します。一方、直線y = 2上の点(4, 2)からはP(6, 3)が戻りますが、これは線分の外です。直線の式だけを答えにすると、この作れない点まで含めてしまいます。

標準例題：円周の1点を除く

定点A(1, -1)と、円s² + t² = 9の周上を動く点P(s, t)を考えます。ただしPは(3, 0)を除きます。Qは線分APの中点です。Qの軌跡を方程式と除外点で表してください。

元の円の半径は3で正です。Aは円周上にないため、PとAが重なることはありません。中点の関係からPを復元します。

x = (1 + s)/2
y = (-1 + t)/2
s = 2x - 1
t = 2y + 1

円の式に戻して整理すると、次のようになります。

(2x - 1)² + (2y + 1)² = 9
4(x - 1/2)² + 4(y + 1/2)² = 9
(x - 1/2)² + (y + 1/2)² = 9/4

候補は中心(1/2, -1/2)、半径3/2の円です。元の除外点P(3, 0)に対応する中点は、座標をそれぞれ平均してQ(2, -1/2)です。この点を候補から除きます。

十分性を確かめます。候補の円周上でQ(2, -1/2)以外の点Q(x, y)を取ると、P(2x − 1, 2y + 1)は元の円の式を満たします。もし復元したPが(3, 0)なら、x = 2、y = -1/2となるので、選んだQの条件に反します。したがってPは除外点以外の円周上にあり、その中点は取ったQです。

答えは、(x − 1/2)² + (y + 1/2)² = 9/4から点(2, -1/2)を除いたものです。例えばQ(-1, -1/2)を戻すとP(-3, 0)です。このPは元の円上で除外点ではなく、Aとの中点もQになります。円の形を求めた後、抜けた点の対応まで戻して初めて軌跡が定まります。

発展例題：内分と半円の条件を同時に戻す

定点A(1, 0)と、円s² + t² = 25の上半分を動く点P(s, t)を考えます。条件はt > 0で、両端は含みません。Qは線分APをAQ : QP = 2 : 1に内分します。Qの軌跡を方程式とyの範囲で表してください。

PはAと異なります。実際、Aの第2座標は0ですが、Pの第2座標は正です。内分比の両方が正で和は3なので、公式を適用できます。Aの座標にはQP側の1、Pの座標にはAQ側の2が掛かります。

x = (1 + 2s)/3
y = 2t/3
3x = 1 + 2s
3y = 2t
s = (3x - 1)/2
t = 3y/2

これを元の円に代入し、4で両辺を掛けます。

((3x - 1)/2)² + (3y/2)² = 25
(3x - 1)² + 9y² = 100
9(x - 1/3)² + 9y² = 100
(x - 1/3)² + y² = 100/9

またt = 3y/2なので、t > 0はy > 0と同値です。答えの候補は中心(1/3, 0)、半径10/3の円のうち、yが正の部分です。円とx軸の交点は(-3, 0)、(11/3, 0)ですが、元のt = 0を許さないので両点は含みません。

逆に、この円の式とy > 0を満たす任意のQ(x, y)に対し、P((3x − 1)/2, 3y/2)を取ります。円の式を9倍してから4で割ると、Pはs² + t² = 25を満たします。さらにt = 3y/2 > 0ですから、元の上半円上にあります。内分公式に戻せばQが得られ、比も2 : 1です。例えば最上点Q(1/3, 10/3)を戻すとP(0, 5)で、AからPへ2/3進んだ点がQです。

端を除く理由は、図の見た目ではなく元の不等式にあります。もし条件がt ≥ 0なら、復元したPにt = 0も許され、2つの端点を含みます。もし円全体が許されればy < 0の点も実現します。同じ円の方程式から、元の条件に応じて異なる部分が残ります。

誤答を直す：線分を直線に広げない

基本例題で「y = 2が答え」と書く誤りを考えます。式そのものは中点が満たしますが、それだけでは範囲が足りません。図3のように、延長上の点まで答えに入ってしまいます。

図3のQ(4, 2)はy = 2を満たします。しかし元の点を復元するとP(6, 3)で、-2 ≤ s ≤ 4に反します。したがってQ(4, 2)は作れません。この具体的な反例により、直線全体という答えが広すぎるとわかります。

修正は、元の範囲-2 ≤ s ≤ 4へs = 2x − 2を代入し、0 ≤ x ≤ 3を添えることです。続いてその範囲の任意の点からPを復元すれば、足りない点がないことも示せます。端点を含むか迷ったときは、対応する元の端点が動点として許されるかを調べてください。

逆の誤りとして、必要な点を不当に除くこともあります。例えば元の線分で両端を含むのに、不等号を両方とも厳密な不等号にすると、実際に作れる中点が抜けます。端点を代入し、元の条件を満たすなら残します。除外点のある円でも、除外したPと対応するQの座標を別々に計算することが大切です。

練習問題

各問とも、答えは指定された方程式と範囲、または除外点で表してください。Pの座標を(s, t)、求める点Qの座標を(x, y)としてよいものとします。

1. 定点A(-2, 4)と、直線t = 2s + 1上を動く点Pの中点をQとします。Qの軌跡を方程式で表してください。
2. 定点A(3, -1)と、線分上を動くPの中点をQとします。Pの範囲はt = -2、1 < s ≤ 7です。Qの軌跡を方程式とxの範囲で表してください。
3. 定点A(2, 3)と、円(s − 2)² + (t + 1)² = 16の周上を動く点Pの中点をQとします。Qの軌跡を円の方程式で表してください。
4. 定点A(-2, 1)と、円s² + t² = 36の周上を動く点Pを考えます。ただしP(0, 6)は除きます。QはAPをAQ : QP = 1 : 2に内分します。Qの軌跡を方程式と除外点で表してください。
5. 定点A(0, -2)と、円s² + t² = 16の右半分を動くPを考えます。条件はs ≥ 0です。QはAPをAQ : QP = 3 : 1に内分します。Qの軌跡を方程式とxの範囲で表してください。

練習問題の解答と復元

1の解答

中点の式をPについて解き、直線へ戻します。

s = 2x + 2
t = 2y - 4
2y - 4 = 2(2x + 2) + 1
2y = 4x + 9
y = 2x + 9/2

逆に、この式上の任意のQからP(2x + 2, 2y − 4)を作ると、t = 2s + 1です。中点はQとなるため、軌跡はy = 2x + 9/2です。例えばx = -1ではQ(-1, 5/2)、P(0, 1)となり、元の直線と中点の両条件を満たします。

2の解答

元の点と中点の関係から、直線の条件と端の条件を別々に移します。

s = 2x - 3
t = 2y + 1
2y + 1 = -2
y = -3/2
1 < 2x - 3 ≤ 7
4 < 2x ≤ 10
2 < x ≤ 5

答えはy = -3/2、2 < x ≤ 5です。逆に範囲内のQを戻すとPはt = -2、1 < s ≤ 7を満たし、その中点はQです。右端Q(5, -3/2)はP(7, -2)に対応し含みます。左端Q(2, -3/2)に対応するP(1, -2)は許されず、左端は除きます。

3の解答

s = 2x - 2
t = 2y - 3
(s - 2)² + (t + 1)² = 16
(2x - 4)² + (2y - 2)² = 16
4(x - 2)² + 4(y - 1)² = 16
(x - 2)² + (y - 1)² = 4

逆に、この円上のQからP(2x − 2, 2y − 3)を取ると、元の円周上にあり、中点はQです。よって軌跡は中心(2, 1)、半径2の円です。例えばQ(4, 1)はP(6, -1)を復元し、Pは中心(2, -1)から4離れています。AとPの中点もQです。

4の解答

Aは原点からの距離が√5で、半径6の円周上にありません。そのためPとAは重ならず、正の比で内分できます。

x = (-4 + s)/3
y = (2 + t)/3
s = 3x + 4
t = 3y - 2
(3x + 4)² + (3y - 2)² = 36
9(x + 4/3)² + 9(y - 2/3)² = 36
(x + 4/3)² + (y - 2/3)² = 4

除外されたP(0, 6)からはQ(-4/3, 8/3)が得られます。答えはこの円から点(-4/3, 8/3)を除いたものです。逆に残った円周上のQをP(3x + 4, 3y − 2)に戻すと、元の円上にあり、除外点にもなりません。内分公式から元のQに戻るので十分です。例えばQ(2/3, 2/3)はP(6, 0)に対応し、指定の比を満たします。

5の解答

Aは円の内側にあり円周上にはないため、PとAは異なります。正の比の内分公式を使い、条件s ≥ 0も移します。

x = 3s/4
y = (-2 + 3t)/4
s = 4x/3
t = (4y + 2)/3
(4x/3)² + ((4y + 2)/3)² = 16
16x² + (4y + 2)² = 144
16x² + 16(y + 1/2)² = 144
x² + (y + 1/2)² = 9
s ≥ 0 と x ≥ 0 は同値

答えはx² + (y + 1/2)² = 9、x ≥ 0です。逆にこの条件のQからP(4x/3, (4y + 2)/3)を取ると、元の円上でs ≥ 0です。内分公式に代入すれば取ったQが得られます。境界のQ(0, 5/2)はP(0, 4)に対応し、元の条件に等号があるので含みます。下側のQ(0, -7/2)も同様にP(0, -4)から作れます。

手元に残す要点

• Qの座標を置き、中点または内分の式をPについて解き戻します。
• 元の方程式だけでなく、範囲と除外点もQの条件へ移します。
• 候補の任意のQから許されるPを復元し、十分性を示します。
• 端点や除外点は元の点との対応で含むか決めます。

つまずいた位置を確かめる

消去式は合っているのに答えの図形が広すぎるときは、「元のPが動けない場所を1つ挙げ、その点から計算したQが答えに入っていないか」と問い直します。反例が入るなら、範囲や除外点を式へ移す途中を見直します。逆に端点を抜いた場合は、その端に対応するPが本当に禁止されているかを確認します。

内分比を逆に置きやすい場合は、QがAに近い比とPに近い比をそれぞれ1つ描き、係数の位置を確かめます。個別指導では、生徒が書いた復元式を元の中点・内分の式へ代入し、その後に元の方程式と不等式を満たすかを順に見ます。候補を1点確かめるだけでは十分性全体の証明にはならないため、任意のQから戻す言葉も添えます。動点の軌跡は、行きの計算と帰りの復元がそろって完成します。