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高校数学II 座標平面の三角形の面積—底辺と高さを選び距離から面積条件を立てる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学II 図形と方程式を掘り下げる

底辺を含む直線までの距離から面積条件を立て、絶対値で両側の候補を拾い、三角形がつぶれる場合も見分けます。

よくあるのは、高2が三角形の面積条件から高さを求め、底辺の直線の片側にある点しか調べないという場面です。高さは直線までの距離なので、直線の反対側にも同じ高さの点があります。底辺を固定し、符号の異なる2つの場合を追うと、図と式が対応します。座標から面積を求める問題と、面積から点の位置を逆算する問題を考えます。

面積を使う場面を見分ける

3頂点が決まっているときは、2点を結ぶ辺を底辺とし、残る点からその直線までの距離を高さにします。底辺が横向きや縦向きなら、座標の差をそのまま高さに使えます。斜めの辺でも距離の公式を使えますが、どの辺を底辺に選ぶかで計算の長さが変わります。

逆に、2頂点を固定して面積を指定すると、高さが一定になります。残る頂点は、底辺を含む直線から一定距離にある2本の平行な直線上にあります。さらに別の直線上にあるという条件があれば、それぞれとの交点を調べます。平行や一致によって交点がない場合や無数にある場合もあるため、連立式の結果まで確認します。

面積が0という条件も重要です。高さが0なら3点は一直線上に並び、通常の意味で面積が正の三角形はできません。問題が三角形の成立を求めているなら、そのような点を除きます。

底辺と高さの関係

異なる2点 A、B を結ぶ線分を底辺とし、点 P から直線 AB への距離を h とします。A と B が異なるので底辺の長さ AB は正です。面積 S は S = AB・h/2 です。垂線の足が線分 AB の外にあっても、高さは直線 AB までの距離なので、この式を使えます。

図1のように、P と Q が底辺を含む直線の反対側にあり、直線までの距離が等しければ、三角形 ABP と ABQ の面積は等しくなります。高さには向きがなく、距離は負になりません。符号付きの式を高さに直すときに絶対値が必要です。

図1では2つの垂線の長さが等しく、足は底辺上にあります。足が辺の延長上に移っても、距離を測る対象は同じ直線 AB です。

直線 AB が ax + by + c = 0 と表され、a、b が同時に0ではないとします。点 P(p, q) からこの直線までの距離は |ap + bq + c|/√(a² + b²) です。分母は正で、絶対値は直線の両側の符号の違いを吸収します。a = b = 0 なら直線を表さず、この公式は使えません。

例えば AB が y = k 上にあるとき、P(p, q) の高さは |q − k| です。AB の長さが L で、面積が正の値 T なら |q − k| = 2T/L となります。右辺は正なので、q − k = 2T/L と q − k = -2T/L の両方を調べます。T = 0 なら2つは同じ直線に重なり、T が負なら距離が負になるため該当する点はありません。

斜めの直線の場合も同じです。距離が正の一定値なら、絶対値を外した正負の2式は互いに平行な直線を表します。面積条件だけでは頂点は通常無数にあります。点を有限個に絞るには、別の直線上にあるなどの条件を併用します。

面積の条件を式に直す前に、何が固定され何が動くかを整理します。底辺が固定されれば、その長さは定数なので、面積を決めることは高さを決めることと同じです。一方、底辺まで動くときは底辺の長さも変わるため、高さが一定だとは限りません。式を立てる際には固定された辺を明示します。

点が直線上にあるという条件と、線分上にあるという条件も区別します。直線上なら座標に範囲の制限はありませんが、線分上なら両端の間にある必要があります。面積から候補を求めた後、元の位置の条件に戻して除外する点がないかを調べます。面積を計算する段階で図の見た目から勝手に範囲を加えると、候補を見落とします。

基本例題：横向きの底辺を使う

A(1, 1)、B(7, 1)、P(3, 5) について、三角形 ABP の面積を整数で求めてください。

図2のように AB は y = 1 上にあり、P からの高さは縦の座標の差で求まります。A と B の横座標が異なるので、底辺の長さは正です。

図2で垂線の足は (3, 1) です。底辺と高さを順番に計算します。

AB = |7 - 1|
   = 6
h = |5 - 1|
  = 4
S = 6・4/2
  = 12

答えは 12 です。P の横座標が底辺の外にあったとしても、高さは直線 y = 1 までの距離です。底辺を辺に限り、高さを線分までの距離と間違えないようにします。

検算として、別の辺 AP を底辺にします。AP の長さは √20、直線 AP は 2x − y − 1 = 0 です。B からこの直線までの距離は |14 − 1 − 1|/√5 = 12/√5 です。よって √20・(12/√5)/2 = 12 となり、元の3点で同じ面積を得ます。

標準例題：斜めの底辺と面積指定

A(0, 1)、B(4, 3) を固定します。点 P は y 軸上にあり、三角形 ABP の面積は 6 です。P の座標をすべて求めてください。

A と B は異なり、AB = √(4² + 2²) = 2√5 です。直線 AB は x − 2y + 2 = 0 です。P(0, t) とおくと、直線 AB までの距離 h は次のようになります。

h = |0 - 2t + 2|/√5
6 = (2√5)h/2
6 = |2 - 2t|
|1 - t| = 3

したがって 1 − t = 3 または 1 − t = -3 です。それぞれ t = -2、t = 4 なので、答えは P(0, -2)、P(0, 4) です。絶対値の中身は前者で正、後者で負になり、2点は底辺の直線の異なる側にあります。

元の条件に戻して確かめます。A と各点は y 軸上にあり、AP の長さはどちらも 3 です。B から y 軸までの距離は 4 なので、いずれも面積は 3・4/2 = 6 です。いずれも A と異なり、面積が正なので3点は一直線上にありません。ここでは AP を底辺に選ぶ方法も短く、適切な底辺を探す価値があります。

発展例題：交点の有無まで分ける

A(0, 0)、B(4, 2) を固定し、点 P は直線 y = mx + 3 上を動きます。三角形 ABP の面積が 4 となる P の個数を、実数 m によって分類してください。個数で答えます。

A と B は異なり、AB = 2√5、直線 AB は x − 2y = 0 です。P(x, y) から AB までの距離を h とすれば、面積は |x − 2y| になります。

h = |x - 2y|/√5
S = (2√5)h/2
  = |x - 2y|
|x - 2y| = 4

よって面積条件は x − 2y = 4 または x − 2y = -4 です。これに y = mx + 3 をそれぞれ代入します。

(1 - 2m)x - 6 = 4
(1 - 2m)x = 10

(1 - 2m)x - 6 = -4
(1 - 2m)x = 2

m ≠ 1/2 では、どちらの式も x が1つに定まり、2点は異なります。したがって2個です。m = 1/2 では左辺が0となり、0 = 10、0 = 2 のいずれも成り立たないので0個です。よって答えは m ≠ 1/2 のとき2個、m = 1/2 のとき0個です。

m ≠ 1/2 の2点は、それぞれ x = 10/(1 − 2m)、x = 2/(1 − 2m) と y = mx + 3 で復元できます。元の式 x − 2y に代入すると順に 4、-4 となるため、両点の面積は4です。m = 1/2 のときは y = x/2 + 3 なので x − 2y = -6となり、どの点Pを選んでも面積は6です。したがって面積4となる点はありません。分母 1 − 2m で割る前に零の場合を分けることが、存在しない交点を作らないための要点です。

なお、動く直線が面積条件の2本のいずれかに一致すれば、条件を満たす点は無数にあります。この例の切片は3なので一致しません。平行な2直線については、交わらない場合と一致する場合を式に戻して判定します。

誤答から両側を取り戻す

A(0, 0)、B(6, 0)、P(2, t) で、三角形 ABP の面積が 9 となる t を求める場面を考えます。誤答は「高さを t として 6t/2 = 9、よって t = 3」とするものです。

この計算は P が x 軸の上にある場合には正しいのですが、下にある場合を落とします。t は縦座標であり、高さは符号を持たない距離 |t| です。図3のように、x 軸から上へ3、下へ3の点はどちらも高さが3です。

図3の両点を式で表すと次のようになります。

6|t|/2 = 9
|t| = 3
t = 3 または t = -3

上側の点 (2, 3) と下側の点 (2, -3) はどちらも底辺の直線からの距離が3で、面積は 6・3/2 = 9 です。絶対値を外すときに正負の両方を書くことで、図の2つの位置が答えに残ります。もし面積が0なら t = 0 となりますが、そのとき3点は一直線上なので三角形としては退化します。

練習問題

次の5問では、面積は整数または分数で、座標は整数または分数の組で答えてください。問1〜4は正の面積を持つ三角形を扱い、問5では面積0となる配置を調べます。

A(-2, 2)、B(5, 2)、C(1, -4) の三角形の面積を求めてください。
A(2, -1)、B(2, 5) を固定します。P は x 軸上にあり、三角形 ABP の面積は 12 です。P の座標をすべて求めてください。
A(0, 0)、B(3, 4)、C(5, 0) の三角形の面積を求めてください。
A(0, 2)、B(4, 4) を固定します。P は直線 x = 2 上にあり、三角形 ABP の面積は 8 です。P の座標をすべて求めてください。
A(1, 0)、B(5, 2)、P(3, t) について、三角形 ABP の面積が 0 となる t を求め、そのとき三角形が成立するか答えてください。

練習問題の解答と確かめ

1

底辺 AB は水平で長さは |5 − (-2)| = 7 です。C から y = 2 までの距離は |-4 − 2| = 6 です。

S = 7・6/2
  = 21

答えは 21 です。C は底辺の下にありますが、高さは正の6です。底辺と高さを元の座標から計算し直しても 7 と 6 なので、面積は21に戻ります。

2

P(p, 0) とおくと、AB = |5 − (-1)| = 6 です。P から直線 x = 2 までの距離は |p − 2| です。

6|p - 2|/2 = 12
|p - 2| = 4
p - 2 = 4 または p - 2 = -4
p = 6 または p = -2

答えは (6, 0)、(-2, 0) です。両点とも x 軸上にあり、x = 2 からの距離は4です。各面積は 6・4/2 = 12 と元の条件に戻ります。

3

AC は x 軸上にあり、AC = 5 です。B から x 軸までの距離は |4| = 4 です。

S = 5・4/2
  = 10

答えは 10 です。AB は斜めですが、AC を底辺に選ぶことで距離公式を使わずに済みます。B の高さ4と AC の長さ5を元の3点で確かめると、面積は10です。

4

P(2, t) とおきます。AB = 2√5、直線 AB は x − 2y + 4 = 0 です。距離と面積を使います。

h = |2 - 2t + 4|/√5
8 = (2√5)h/2
8 = |6 - 2t|
|3 - t| = 4
t = -1 または t = 7

答えは (2, -1)、(2, 7) です。それぞれ x = 2 を満たし、直線 AB の式に代入した値は 8、-8 です。したがって高さはいずれも 8/√5、面積はいずれも (2√5)・(8/√5)/2 = 8 です。

5

AB = 2√5、直線 AB は x − 2y − 1 = 0 です。P から直線 AB までの距離を使います。

S = (2√5)・|3 - 2t - 1|/(2√5)
  = |2 - 2t|
0 = |2 - 2t|
2 - 2t = 0
t = 1

答えは t = 1 です。P(3, 1) を直線 AB の式に代入すると 3 − 2 − 1 = 0 で、3点は一直線上です。高さが0なので面積が正の三角形は成立しません。

要点

底辺は異なる2点を選び、高さはその直線までの距離です。
正の面積を指定すると、底辺の両側を絶対値の2つの場合で調べます。
面積0は一直線に並ぶ退化の場合です。
別の条件と連立するときは、平行・一致と分母が0の場合を確認します。

つまずきを見分ける問い

「高さの足が辺の延長にあるとき、どこまでの距離を測りますか」と尋ねると、線分と直線の区別を確かめられます。座標を図に置き、底辺を延長して垂線を引くと、面積の式で使う高さが見えます。

個別指導では、まず底辺の2点が異なるかを確認し、長さと距離を別々に書いてもらいます。次に、絶対値の式から両側の点を説明できるか、面積0の点を三角形の条件から除けるかを確かめます。解を元の直線と距離に戻すと、計算と図のずれを見つけられます。底辺と両側の高さを対応させれば、面積条件から点の位置まで追えます。