高校数学II 二直線の交点と共有点の個数—連立式から交わる条件と一致する条件を分ける｜武蔵野個別指導塾

消去後の0 = 0と0 = 1の違いを、文字係数の場合分けと代入で読み解き、二直線の共有点を判定します。

よくあるのは、高2が連立方程式で文字を消した後、係数が零になったのを見て、どの場合も解なしと判断してしまう場面です。ところが、残った式が 0 = 0 なら矛盾はありません。元の2本が同じ直線を表すこともあります。何を消し、どの式が残ったのかを見直すと、交点が1個の場合と共有点がない場合、無数にある場合を整理できます。

どの問いでも最初に確かめること

交点の座標を求める問いでは、2本の式を連立し、得られた座標を両方の式に戻します。1本に代入しただけでは、もう一方の条件を満たす保証がありません。座標は (x, y) の順に答え、消去で求めた数がどちらの文字の値なのかも確認します。

共有点の個数を尋ねる問いでは、計算結果の形に注目します。異なる2直線が交われば共有点は1個、異なる平行な直線なら0個、一致すれば直線上の各点が共有点です。最後の場合は無数にあります。文字を含む問いでは、その文字の値によって3つの状況が変わるため、割る前に零になる値を分けます。

ここで扱うのは2本の直線の共有点です。交点を通る直線を式の組合せで表す方法には踏み込みません。連立の結果が各元の式とどう対応するかに集中します。

消去で残る式の意味

直線 ax + by = c では、a と b が同時に零でないことが必要です。両方が零なら、c が零でないと点はなく、c が零なら平面上のあらゆる点が式を満たすので、いずれも1本の直線ではありません。文字係数を含む問題でも、この条件を先に調べます。

図1のように、2本の直線の関係は交わる、異なる平行、一致の3通りです。図の各点はその場所にある2本の式を同時に満たす点を表します。一致の図では、色を少しずらして示していますが、実際には同じ位置に重なります。

例えば一方の式から一文字を消去し、0 = 5 が残れば、どんな数を代入しても成立しないため共有点はありません。一方、0 = 0 は常に成立します。ただし、この式だけで平面上のどの点でもよいわけではありません。残しておいた元の直線の式も満たす必要があります。その式を満たす点が直線上に無数にあるので、一致した2直線の共有点は無数です。

一般に ax + by = c、dx + ey = f で、どちらも直線とします。ae − bd が零でなければ、適切に式を掛けて引くと一方の文字の係数が零でない一次式になり、座標が1組に定まります。ae − bd が零なら、係数の組が比例します。この場合は定数項まで同じ割合かを調べます。比例すれば同一直線、比例しなければ異なる平行な直線です。係数の比を直接書くと零で割る危険があるので、実際には消去や式全体の倍数の確認が安全です。

基本例題：交点を両方の式へ戻す

問題　2直線 x + y = 5、2x − y = 1 の交点を座標で求めてください。

どちらの式も x と y の係数が同時に零ではないので、直線を表します。y の係数が 1 と -1 ですから、2式を加えると y が消えます。

(x + y) + (2x - y) = 5 + 1
3x = 6
x = 2

これを最初の式へ戻します。

2 + y = 5
y = 3

したがって交点は (2, 3) です。図2のように、2本がその点で交わります。座標を両方の式へ入れると、2 + 3 = 5、2・2 − 3 = 1 です。元の条件がどちらも成立します。

加える操作は、元の2式が成り立つなら必ず成り立つ式を作ります。逆に、得られた x = 2 と最初の式を組にしても、加えた式からもう一方の式を取り戻せます。よって計算の途中で解を余分に作っていません。それでも最後の代入は、符号や座標の順序の取り違えを見つける有効な確認です。

標準例題：割る前に境目を置く

問題　実数 t に対し、2直線 x + y = 2、2x + ty = 4 の共有点の個数を t の値で分類してください。1個の場合は交点も座標で答えてください。

どちらも x の係数が零ではないので、どの t でも直線です。第2式から第1式の2倍を引きます。

(2x + ty) - 2(x + y) = 4 - 2・2
(t - 2)y = 0

まず t ≠ 2 のとき、t − 2 は零でないので割れます。

y = 0
x + 0 = 2
x = 2

共有点は1個で、(2, 0) です。実際に 2 + 0 = 2、2・2 + t・0 = 4 となり、どの t でも両方の条件を満たします。この場合は消去式から y が一意に定まり、さらに x も一意に定まるので、他の共有点はありません。

次に t = 2 のとき、第2式は 2x + 2y = 4 です。これは第1式の2倍ですから2直線は一致し、共有点は無数です。消去式は 0 = 0 になり、矛盾を示していません。例えば第1式の任意の点 (s, 2 − s) は第2式も満たします。t − 2 で先に割ると、この場合を検討する道が閉じてしまいます。

発展例題：消去式と直線の成立を分ける

問題　実数 a に対し、2式 x + 2y = 3、(a − 1)x + (a² − 1)y = a + 1 の表す図形を考えます。両方が直線のとき、その共有点の個数を a の値で分類し、1個の場合は交点を分数を用いた座標で答えてください。第2式が直線でない値も答えてください。

第2式の x と y の係数がともに零になるのは a = 1 です。このとき右辺は 2 なので 0 = 2 となり、点を表しません。したがって a = 1 は2直線の分類から除きます。

a ≠ 1 なら第2式を a − 1 で割れます。a² − 1 = (a − 1)(a + 1) を用いると、

x + (a + 1)y = (a + 1)/(a - 1)

となります。ここから第1式を引きます。

(a - 1)y = (a + 1)/(a - 1) - 3
(a - 1)y = (4 - 2a)/(a - 1)
y = (4 - 2a)/(a - 1)²

ここでも a ≠ 1 を使いました。元の第1式に戻して、

x = 3 - 2y
x = 3 - 2(4 - 2a)/(a - 1)²
x = (3a² - 2a - 5)/(a - 1)²

よって a ≠ 1 では共有点が1個です。代入による確認では、まず x + 2y = 3 が x の作り方から成立します。また、求めた y は (a − 1)y = (a + 1)/(a − 1) − 3 を満たすので、第1式に加えると割った後の第2式が成立します。a − 1 ≠ 0 ですから、元の第2式にも戻せます。

この例では係数が同時に零になる値と、共有点がない2直線になる値を混同しないことが要点です。a = 1 で残った式は直線でないため、異なる平行線とは呼べません。条件を満たさない入力を、後の分類に無理に押し込めないようにします。

誤答を直す：零の右側も読む

2直線 x + y = 3、2x + 2y = 6 を連立し、第2式から第1式の2倍を引くと 0 = 0 です。これを「零になったので解なし」とするのが誤答です。図3のように、2本は同じ直線であり、例えば (0, 3) と (3, 0) はどちらも両方の式を満たします。

誤りの理由は、矛盾する式と常に成立する式を同じものとして扱ったことです。修正するには、第2式が第1式の2倍であることを確かめます。x と y の係数に加えて右辺も2倍なので、同じ点の集合を表します。共有点は無数です。

対照的に、右辺が 7 の式 2x + 2y = 7 なら、同じ操作で 0 = 1 となります。これは成立しないので共有点は0個です。係数が同じ割合でも右辺が違うと、同じ直線にはなりません。式の左辺だけで判定を終えず、等号の両側を残して読みます。

練習：5組の条件を調べる

答えは交点なら座標、個数なら0個・1個・無数のいずれかで示してください。文字は実数とします。

1. 直線 2x + y = 8 と x − y = 1 の交点を求めてください。
2. 直線 3x − 2y = 6 と 6x − 4y = 15 の共有点の個数を求めてください。
3. 直線 x − 3y = 4 と -2x + 6y = -8 の共有点の個数を求めてください。
4. 直線 x + y = 1 と 3x + ky = 5 の共有点の個数を k で分類し、1個の場合は交点を求めてください。
5. 直線 2x − y = 3 と mx + (m − 1)y = 6 が一致する m を求め、他の m について共有点の個数を分類してください。

練習の解答と確認

1

2式を加えると、

3x = 9
x = 3
3 - y = 1
y = 2

交点は (3, 2) です。2・3 + 2 = 8、3 − 2 = 1 と両式へ戻ります。加算によって y が消え、x が一意に定まるので、他の解はありません。

2

第2式から第1式の2倍を引くと、

0 = 15 - 12
0 = 3

これは成立しません。したがって共有点は0個です。両式の左辺は2倍の関係ですが、右辺は2倍ではありません。第1式を満たす点では第2式の左辺は必ず12となり、15にはならないことでも確認できます。

3

第2式は第1式の -2 倍です。したがって2直線は一致し、共有点は無数です。実際に任意の実数 s に対し (4 + 3s, s) は第1式を満たし、第2式でも -2(4 + 3s) + 6s = -8 です。異なる s は異なる点を与えるため、共有点が無数にあります。

4

第2式から第1式の3倍を引きます。

(k - 3)y = 2

k = 3 なら 0 = 2 となり、共有点は0個です。実際、第1式の左辺を3倍した値は3ですが、第2式では5が必要です。

k ≠ 3 なら割ることができます。

y = 2/(k - 3)
x = 1 - 2/(k - 3)
x = (k - 5)/(k - 3)

共有点は1個で、((k − 5)/(k − 3), 2/(k − 3)) です。2つの座標の和は1です。また、第2式の左辺は第1式の左辺の3倍に (k − 3)y = 2 を加えたものなので、3 + 2 = 5 となります。

5

第2式から第1式の m/2 倍を引きます。2 は零でないので、この操作はどの m でも可能です。

(3m/2 - 1)y = 6 - 3m/2

m = 2/3 なら 0 = 5 となり、共有点は0個です。実際、第2式の左辺は第1式の左辺の1/3ですが、右辺は 1 ではなく 6 です。

m ≠ 2/3 なら y が一意に定まり、第1式から x も一意に定まります。

y = (12 - 3m)/(3m - 2)
x = (3 + y)/2
x = (3m + 3)/(3m - 2)

したがって共有点は1個です。元の第1式には 2(3m + 3)/(3m − 2) − (12 − 3m)/(3m − 2) = 3 と戻ります。第2式も、第1式の m/2 倍に消去式を加えると右辺が 6 となるので成立します。よって一致する m はありません。第2式は m と m − 1 が同時に零にならないので、どの m でも直線です。

計算が止まったときの点検

文字を消す途中で 0y = 0 になったとき、y = 0 と決めるのも誤りです。0 にどんな数を掛けても 0 なので、この式は y を制限しません。残った元の式から x と y の関係を読みます。例えば x + y = 3 なら、y を任意に選び x = 3 − y とできます。

反対に 0y = 4 であれば、y にどんな数を入れても左辺は 0 ですから、条件を満たす点はありません。消去が失敗したのではなく、共有点がないことを示しています。文字の係数が零かどうかだけでなく、等号の向こうの値まで見ると、計算が止まった理由を判断できます。

文字の値を分けた後は、それぞれの範囲が重なっていないか、調べ残しがないかも確かめます。例えば t = 2 と t ≠ 2 は重ならず、実数全体を尽くします。零でない場合に得た式を境目に代入することは、零で割ることになり、境目の答えには使えません。境目は元の式へ戻って調べます。

持ち帰る3点

• 消去後の 0 = 非零 は共有点なし、0 = 0 は残った式を調べます。
• 文字を含む係数で割る前に、その係数が零の値を分けます。
• 交点は両方の元の式に戻し、直線そのものの成立条件も点検します。

つまずきを見分ける問い

「0 = 0 が出たら、元の式はもう不要ですか」と自分に尋ねてみてください。不要と答えた場合は、一致した直線上の点と直線外の点を1点ずつ選び、元の式への代入結果を比べます。消去した式が情報を与えなくても、残った式は点の位置を制限しています。

個別指導で確認するなら、文字で割った行を指して、その文字が零になる値を先に書けるかを見ます。次に、その値を元の2式へ代入し、直線の成立、矛盾、一致を順に判定します。最後に求めた座標を両式に戻せれば、計算と図形の関係がつながります。等号の両側を読み切ることが、共有点の個数を見分ける手がかりです。