高校数学C バブルチャートの表現—座標と円の面積に三つの量を正しく対応させる｜武蔵野個別指導塾

横軸と縦軸の位置に加え、数量を円の面積で表す半径や重なりを、具体例から読み解くバブルチャートの考え方です。

よくあるのは、理系の高3が、表す量が2倍の円を描こうとして半径を2倍にする場面です。すると円の面積は4倍になり、図から受ける量の違いは元の表と合いません。円の中心が表す2つの量と、円の面積が表すもう1つの量を分けて追うと、このずれを見つけられます。

どの量をどこに置くか

バブルチャートは、各対象の2つの数を横軸と縦軸の座標にし、もう1つの非負の量を円の面積に対応させた図です。円の中心を見る仕事と、円の大きさを見る仕事を分けます。例えば、複数の区画について横軸を面積、縦軸を収穫量、円の面積を作業人数にすれば、3つの数を一画面で比較できます。ただし区画の面積と図上の円の面積は別の量です。

問題の出方は大きく3つあります。表から中心と半径を決めて図を作る型、図と凡例から対象の数量を読み取る型、作図の誤りや図から言える範囲を説明する型です。どの型でも、横軸と縦軸の単位、円の面積が表す量、共通の尺度を先に確認します。比較する図が複数ある場合も同じ尺度を使います。

数値が欠けている対象は、値が0の対象とは区別します。面積に対応する量が0なら数学的には円の半径も0ですが、点が見えにくいため表や注記で示します。負の量を通常の円の面積にそのまま割り当てることはできません。負の値がある場合は表現を別途決め、符号を隠さないことが必要です。

面積と半径の関係

図1のように、円の半径を r、対応する量を q とし、正の定数 k を使って円の面積を kq とします。円の面積は πr² なので、πr² = kq です。2つの正の量 q₁、q₂ に対応する半径を r₁、r₂ とすると、面積の比は q₁ : q₂ であり、半径の比の二乗がその比に等しくなります。

図1では、小さい円の量を1、大きい円の量を4としています。面積は4倍ですが半径は2倍です。一般に、量が正の基準値の a 倍なら半径は √a 倍です。a = 2 では半径は √2 倍であり、約1.41倍です。円の直径も半径に比例しますが、量そのものには比例しません。

基準となる円とその数量を凡例に示すと、読み手は面積の尺度をたどれます。凡例の半径と図の半径を同じ単位で測り、2つの半径の比を二乗して数量比を求めます。視覚的な大きさの印象だけから正確な値を決めることは難しいので、正確な数値が必要な場合は元の表も添えます。

円が重なると、小さい円が隠れたり、中心を読み取りにくくなったりします。描画順を変える、中心に印を付ける、表を併記するなどの工夫が考えられます。重なりを避けるために中心を動かした場合は元の座標とずれるので、そのまま座標値として読ませてはいけません。円の一部が軸の外にはみ出しても、対象の値が負だとは限らず、中心の位置を読みます。

基本例題：基準の円から半径を求める

次の表は、3つの架空の展示区画について、横軸を通路からの距離 m、縦軸を展示台の高さ m、円の面積を来場者数人に対応させるための自作データです。距離と高さの座標はそれぞれ 0 以上とします。来場者数4人を半径30 mmの円で表すとき、各円の中心と半径を求めてください。半径は必要なら根号を使い、単位を付けます。

まず、中心は表の距離と高さをその順に並べます。A は (2, 2)、B は (6, 4)、C は (9, 2) です。座標の単位は両方とも m で、円の半径の mm は紙面上の長さです。量の単位を混ぜずに扱います。

A の半径は基準そのものなので 30 mm です。B の面積は A の面積の 16/4 = 4 倍です。B の半径を r mm とすると、次のようになります。

r² / 30² = 16 / 4
r² / 900 = 4
r² = 3600
r = 60

半径は負でないため、B は 60 mm です。C の半径を s mm とすると、同じ基準から次を得ます。

s² / 30² = 8 / 4
s² / 900 = 2
s² = 1800
s = 30√2

したがって C は 30√2 mm です。図2のように、円の中心を座標に合わせ、面積を人数に合わせます。図では見やすさのため紙面上の半径を一律に縮小し、比を保っています。

図2の A、B、C の面積比を半径の二乗から戻すと、30² : 60² : (30√2)² = 900 : 3600 : 1800 = 1 : 4 : 2 です。元の人数 4 : 16 : 8 も 1 : 4 : 2 なので対応しています。中心の高さを B と C で取り違えていないかも表に戻って点検します。

人数が多いことと展示台が高いことは、この表の中で別々の値です。B が最も大きい円であっても、高さが人数を増やしたとは結論できません。距離や高さの測り方、人数を数えた期間、対象の選び方が図には必要です。ここでは自作した同じ条件の表として比較しています。

標準例題：凡例から数量を読み戻す

架空の3つの棚について、横軸を棚の幅 cm、縦軸を奥行き cm、円の面積を収納箱の個数に対応させます。共通の凡例では、半径 12 mm の円が 6 個を表します。ある棚の円の半径が 24 mm、別の棚の円の半径が 18 mm でした。それぞれの個数を求め、整数で答えてください。円は重ならず、半径は正確に測れるものとします。

半径 24 mm の円について、基準との面積比は次の通りです。

24² / 12² = 576 / 144
= 4
6・4 = 24

したがって 24 個です。半径 18 mm では、面積の比と箱の個数は次のようになります。

18² / 12² = 324 / 144
= 9 / 4
6・9 / 4 = 27 / 2
= 13.5

ここで 13.5 個は箱の個数という条件に合いません。つまり、この正確な半径と凡例と整数個という条件は両立しません。整数に勝手に丸めず、与えられた半径または基準の確認が必要です。この場合は整数の答えを作れないと示すことが、条件を守る解答です。

実際に円の半径を測った値が概数なら、測定の誤差によって整数個の候補がありえます。ただし許される誤差が示されない限り、候補を1つに決められません。前半の 24 個については、基準の6個の4倍で、半径が2倍という元の条件に戻ります。後半の不一致も元の条件に戻して初めて明らかになります。

発展例題：同じ図で比較できる条件

架空の2つの教室 P、Q について、横軸を机の数、縦軸を窓の数、円の面積を利用者数に対応させます。P は机12台、窓3枚、利用者18人、Q は机20台、窓4枚、利用者32人です。P の円の半径を 9 mm として同じ尺度で描くとき、Q の半径を求めてください。また、別々の図で P を半径 9 mm、Q を半径 12 mm に描いたとき、円の面積から人数を直接比較できるか答えてください。

同じ尺度で Q の半径を t mm とします。人数は面積に比例するので、

t² / 9² = 32 / 18
t² / 81 = 16 / 9
t² = 144
t = 12

よって半径は 12 mm です。中心は P が (12, 3)、Q が (20, 4) です。求めた半径の二乗の比は 81 : 144 = 9 : 16 で、人数の比 18 : 32 = 9 : 16 に戻ります。したがって人数と円の面積の対応も合っています。

別々の図であっても、両方の凡例が同じ尺度を示すと確認できれば面積を直接比較できます。一方、半径だけが示され尺度が不明なら、面積の比は 9 : 16 とわかっても、それが人数比だとは判断できません。図ごとに1人当たりの面積が異なる可能性があるからです。今回のデータに基づく尺度なら一致しますが、円の寸法だけから共通尺度を推定することはできません。

また机と窓の軸は単位も量の種類も異なります。横方向に8だけ離れ、縦方向に1だけ離れていても、その画面上の距離を使って教室同士の類似度を決めることはできません。軸の縮尺を変えれば画面上の距離が変わるからです。円の重なりがある場合も、中心の座標と人数の表を参照して対象を特定します。

誤答を直す：2倍の円は半径も2倍か

基準の量が5で半径が20 mmのとき、量10に対し半径40 mmとする答えを考えます。量が2倍なので半径も2倍としたのが誤りの原因です。図3のように、半径を2倍にすると面積は 2² = 4 倍になります。基準の5に戻すと 5・4 = 20 に相当し、目標の10ではありません。

正しい半径を u mm と置き、量の比と面積の比を等しくします。

u² / 20² = 10 / 5
u² / 400 = 2
u² = 800
u = 20√2

正しい半径は 20√2 mm、約28.3 mmです。戻して確かめると、(20√2)² / 20² = 2 で、5人を基準とするなら10人に相当します。図3の正しい円は半径比を √2 として描いています。誤った円と正しい円の見た目を比べるだけでなく、二乗した比を数量に戻すと間違いを説明できます。

もう1つの誤りは円の端の位置を座標として読むことです。端は半径によって変わりますが、座標を示すのは中心です。大きな円の右端が小さな円の右端より右にあっても、中心の横座標が大きいとは限りません。図から中心が隠れているときは、端を代用せず表や中心の印を確かめます。

練習問題

次のデータは練習用に作ったものです。円の面積は指定された量に比例し、同じ問題の中では共通の尺度を使います。半径は正確な値として扱います。

1. ある花壇では横軸を幅 m、縦軸を長さ m、円の面積を花の株数に対応させます。幅3 m、長さ7 m、株数9の花壇の中心を答えてください。株数1の円の半径を 10 mm とすると、この花壇の円の半径は何 mm ですか。
2. 半径 8 mm の円が本 3 冊を表します。半径 16 mm の円が表す本の冊数を整数で求めてください。
3. 半径 15 mm の円が部品 10 個を表します。部品 30 個の円の半径を根号を使って mm で求めてください。
4. 対象 X、Y の円はそれぞれ半径 6 mm、18 mm です。同じ尺度で X が 2 kg を表すとき、Y は何 kg ですか。面積比も整数比で答えてください。
5. 円の面積で荷物の数を表す図で、対象 R、S の中心はそれぞれ (4, 5)、(5, 5) です。R の円の右端が S の円の右端より右にあります。R の横軸の値が S より大きいという主張は正しいですか。理由を答えてください。

解答と解き方

1. 中心は (3, 7) です。株数の比は 9 : 1 なので、半径を v mm とすると、

v² / 10² = 9 / 1
v² = 900
v = 30

半径は 30 mm です。半径の比 3 : 1 を二乗すると面積比は 9 : 1 となり、9株と1株の比に戻ります。中心に幅と長さを入れた順序も元の条件通りです。

2. 面積比は (16/8)² = 4 です。したがって 3・4 = 12 冊です。基準の3冊の4倍を円の面積にすると、半径はその平方根の2倍となり、16 mmに戻ります。

3. 半径を w mm とすると、

w² / 15² = 30 / 10
w² = 675
w = 15√3

答えは 15√3 mm です。その二乗は 675 で基準の 225 の3倍なので、10個に対応する面積の3倍が30個に対応します。

4. 面積比 X : Y は 6² : 18² = 36 : 324 = 1 : 9 です。Y の量は 2・9 = 18 kg です。18 kg は2 kgの9倍であり、半径が3倍という条件に戻ります。

5. 正しくありません。横軸の値は円の中心で読みます。R は4、S は5なので、R の方が小さいです。R の半径が大きければ、中心が左でも右端が右に出ることがあります。右端には座標と半径の両方が含まれるためです。

覚えておくこと

• 円の中心の横・縦座標が2つの量を表します。
• 3つ目の非負の量は円の面積に比例させます。
• 量の比は半径比の二乗で、半径比は量の比の平方根です。
• 凡例と尺度をそろえ、重なりや欠測を表でも補います。
• 図の同時変化から原因を断定しません。

つまずきの見分け方

解答の記録では、まず表のどの列を中心に置いたか、どの列を面積に置いたかを確認します。次に半径の比を書いた行と、それを二乗して元の数量へ戻した行を見比べます。図が合っていても凡例が別の尺度なら比較できませんし、数値計算が合っていても中心の座標を逆に置けば別の対象を表します。

個別指導で確かめる箇所は、誤った円から逆に表の数量を読み戻せるか、重なった円の中心をどう特定したか、整数の個数と計算結果が食い違うときに条件を点検できるかです。途中の比と単位を残すと、読み違いと計算違いを区別できます。円の面積を元の数量へ戻す一手が、図の読みを支えます。