高校数学C 表とグラフの選択—同じデータを描き分け目的に合う説明を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

棚Aと棚Bの冊数を棒と帯で比べ、未記録の扱いと割合の分母を確かめて、図から述べられることを選びます。

よくあるのは、理系の高3が見栄えのよい図を選び、割合の分母を説明しないまま比較する場面です。2本の帯の色が同じ長さなら、同じ数が集まったように見えるかもしれません。しかし、帯の全体が表す数が異なれば、色に対応する個数も異なります。何を比べたいかを先に決め、元の数と図の間を往復して説明しましょう。

何を伝えたいかで選ぶ

出方の1つは、各分類の正確な数を読み取る問題です。行と列に分類名と単位を付けた表なら、小さな差や合計を数値で確かめられます。数が多いと大小の傾向は目で追いにくいので、比較したい項目を限定する工夫も必要です。

2つ目は、同じ項目の個数の差を見せる問題です。共通の尺度で並べた棒グラフは、長さの差を捉えやすくします。棒の起点をそろえ、単位と目盛りを示さなければ、長さの比較を元の数量へ戻せません。

3つ目は、集団ごとの内訳の割合を比べる問題です。各集団を100%とする帯グラフは構成の違いを見せますが、帯の長さだけでは全体の個数がわかりません。全体の数を添え、割合と個数のどちらについて述べているかを明らかにします。いずれも自作の集計に限って読み、図の形から原因や集計対象外の人々の傾向までは決めません。

表、棒、帯が残すもの

分類ごとの数を度数と呼びます。ある分類の構成比は、その分類の度数を対象全体の度数で割った値です。百分率にするには100を掛けます。対象全体が0の場合は割れないため、割合を作れません。未回答を対象に入れるかどうかは、計算前に決めて明記します。

図1のように、表は数値を残し、棒は同じ単位の量を長さにし、帯は各集団の合計を同じ長さにします。棒では横軸の分類、縦軸の個数と目盛りをそろえます。帯では全体を100%とし、各部分の長さを同じ分母から出した割合に対応させます。

図1の表の数値は読み取りや計算に向きますが、図の棒や帯は比較したい特徴を視覚化します。帯の境界が合っていても全体の大きさが同じとは限りません。表にある全体数を併記すれば、割合に全体数を掛けて個数へ戻せます。端数処理した割合から戻した個数は概数になりうるため、正確な数は元の表で確かめます。

同じ数を異なる図に移す際は、分類の抜けや重複を調べます。1件を複数分類に入れる集計なら、分類の合計は対象全体と一致するとは限らず、各部分を合わせて100%とする帯にそのまま置けません。また、数値の大きさが似ていても、単位や対象期間が異なる棒は同じ量として比較できません。図の見た目を整える前に、何を1件と数えたかを定めることが出発点です。

基本例題：冊数と内訳を描き分ける

架空の展示で、2つの棚に置いた冊子を種類別に数えました。各冊子は読み物か資料のどちらか一方です。棚Aは読み物12冊、資料8冊、棚Bは読み物18冊、資料12冊です。各棚の合計と読み物の割合を求め、読み物の冊数と構成比の比較に適した表現をそれぞれ選んでください。割合は整数の%で答えます。

まず元の表を作ります。列の単位はすべて冊です。

合計を種類別の内訳から求めます。

棚Aの合計 = 12 + 8 = 20 冊
棚Bの合計 = 18 + 12 = 30 冊
棚Aの読み物の割合 = 12/20 × 100 = 60%
棚Bの読み物の割合 = 18/30 × 100 = 60%

図2のように読み物の棒を同じ尺度で並べると、Bの棒はAより6冊分長くなります。2本の帯はそれぞれの合計を100%としているので、読み物の部分はどちらも60%です。帯は構成比の一致を示し、棒は冊数の差を示します。

図2では棒の起点を0冊にそろえ、帯の横に全体の冊数を置いています。元に戻すと、棚Aは20冊の60%で12冊、棚Bは30冊の60%で18冊です。残りの40%もそれぞれ8冊と12冊で、表の資料の数に一致します。したがって「読み物の割合は同じで、冊数はBが6冊多い」と説明できます。

表を選べば4つの数を正確に示せますが、何を比べるかは読み手が選ぶ必要があります。冊数差を強調するなら棒、棚の構成比を比べるなら帯が適切です。帯だけを示して「両棚の読み物は同数」と言う説明は、分母を落としたために成立しません。逆に棒だけからは、棚全体に占める割合が等しいことを直接は読み取りにくくなります。

標準例題：欠けた記録を分母に入れるか

架空の工作教室で、作品1個につき材料を紙または布のいずれかに分類しました。午前は紙14個、布6個、記録なし5個、午後は紙9個、布6個、記録なし0個です。記録のある作品に限った紙の割合を小数第1位まで求め、四捨五入してください。また、全作品に対する記録なしの割合も求め、比較を示す表現を選んでください。

まず記録ありと全作品の数を分けます。午前の記録なし5個を誤って布に加えると、紙の割合の分母は20個から25個へ増え、70%ではなく56%になります。

午前の記録あり = 14 + 6 = 20 個
午後の記録あり = 9 + 6 = 15 個
午前の全作品 = 20 + 5 = 25 個
午後の全作品 = 15 + 0 = 15 個
午前の紙の割合 = 14/20 × 100 = 70.0%
午後の紙の割合 = 9/15 × 100 = 60.0%
午前の記録なしの割合 = 5/25 × 100 = 20.0%
午後の記録なしの割合 = 0/15 × 100 = 0.0%

記録のある作品の構成比を比べるなら、各時間帯の記録ありを100%とする帯を使えます。そこでは午前の布が30.0%、午後の布が40.0%です。各帯に分母の20個と15個を添え、記録なしの個数も別に表示します。全作品に対する記録なしの割合を同じ帯に足すことはできません。前者と後者は分母が違うためです。

元の場面に戻すと、午前は20個の70%が14個、残りの30%が6個です。さらに5個の記録なしを足して25個になります。午後は15個の60%が9個、40%が6個で、記録なしを足しても15個です。0個は「記録なしがない」という観測結果であり、午前の記録なし5個を、紙でも布でもないと確定した数と同じ意味にすることはできません。

記録なしを含めた全体の状態を一度に見せたい場合は、紙・布・記録なしを3分類とし、各時間帯の全作品数を分母にした帯を別に作れます。ただし、その紙の割合は午前14/25、午後9/15であり、記録ありに限った割合とは問いが違います。表に元の個数と分母を残すと、どちらの問いにも戻れます。

発展例題：同じ割合でも結論が変わる

架空の2つの箱に赤と青の札があります。箱Pは赤8枚、青12枚、箱Qは赤20枚、青30枚です。各箱の赤の割合を求め、次の2つの主張をそれぞれ検討してください。「赤の構成比は等しい」「赤の枚数も等しい」。割合は整数の%で、差は枚数で答えます。

箱Pの合計 = 8 + 12 = 20 枚
箱Qの合計 = 20 + 30 = 50 枚
箱Pの赤の割合 = 8/20 × 100 = 40%
箱Qの赤の割合 = 20/50 × 100 = 40%
赤の枚数の差 = 20 - 8 = 12 枚

構成比の主張は正しく、枚数の主張は誤りです。帯はどちらも赤40%、青60%になりますが、全体の枚数が20枚と50枚です。逆算すると赤は20 × 0.4 = 8枚、50 × 0.4 = 20枚です。青もそれぞれ12枚と30枚に戻り、合計は各箱の枚数と一致します。

構成比の違いを見る帯と、枚数差を見る棒を並べれば、同じデータから異なる問いへの答えを示せます。箱の大きさが異なる理由や、札がどのように入れられたかは、この表からは決まりません。図で見える差を因果関係や将来の結果に広げないことも、説明を組み立てる条件です。

割合が小数になる場合は、各部分を独立に丸めると合計が100%からずれることがあります。元の分数や個数を保存し、表示した値が丸め値だと示してください。丸め後の数字の合計だけを根拠に分類が漏れたと決めず、元の個数の合計と分母を照合します。

誤答を分母に戻して直す

基本例題で「2本の帯の読み物は同じ長さだから、読み物は同じ12冊です」と答えたとします。原因は、各帯の全長が同じ冊数を表すと思い込んだことです。図3のように、等しい60%を、それぞれの全体20冊と30冊に掛け直すと、対応する冊数は異なります。

図3で上の帯の全体は20冊、下は30冊です。修正後の説明は「読み物の割合はどちらも60%ですが、冊数はAが12冊、Bが18冊です」となります。同じ長さが同じ比を表すのか、同じ個数を表すのかを、軸や全体の注記で判別します。

別の誤りとして、縦軸の起点を変えた棒の見た目から「BはAの3倍」と読むことがあります。実際の比は18/12 = 1.5です。起点を0にして同じ尺度で描き直し、比を元の数から計算します。棒を描く道具が欠けて目盛りや単位を表示できないときは、完成した図と扱わず、数値表に単位を付けて示す方法に切り替えます。データの合計が内訳と合わない場合も、推測で棒や帯を補わず、元の記録を点検します。

練習問題

次のデータはすべて練習用に作ったものです。割合は指定がなければ整数の%で答え、図の選択には理由を添えてください。

1. 花壇Xは赤い花6本、白い花4本、花壇Yは赤い花15本、白い花10本です。各花壇の赤の割合と、赤の本数の差を求めてください。構成比を比べる表現も選んでください。
2. 2つの机の鉛筆は机Cが7本、机Dが11本です。本数の差を目で比べる表現を選び、軸に必要な条件を2つ述べてください。
3. カード24枚のうち丸が9枚、三角が15枚です。丸の割合を小数第1位まで求めてください。表から割合を計算する過程を示してください。
4. 記録された箱は木製8個、紙製12個で、材質が未記録の箱が5個あります。記録ありに限った木製の割合と、全箱に占める未記録の割合を求めてください。分母も答えてください。
5. 飲み物の容器を種類別に集計したところ、ガラス4個、金属6個、合計12個と記されていました。帯グラフを完成させてよいか判断し、理由と次の作業を答えてください。

練習の解答と解き方

1. 花壇Xは6 + 4 = 10本、花壇Yは15 + 10 = 25本です。

Xの赤 = 6/10 × 100 = 60%
Yの赤 = 15/25 × 100 = 60%
赤の差 = 15 - 6 = 9 本

構成比の比較には、各花壇を100%とした帯が向きます。全体数も添えれば、10 × 0.6 = 6本、25 × 0.6 = 15本と元の本数へ戻せます。白もそれぞれ4本、10本となり、内訳と合います。

2. 共通尺度の棒グラフが向きます。縦軸の起点を0本にし、目盛りの間隔と単位をそろえます。差は11 − 7 = 4本で、7本に4本を加えると11本に戻ります。帯グラフでは机ごとの全体を同じ長さにするため、この本数差を長さから読む目的には向きません。

3. 合計は9 + 15 = 24枚で、丸の割合は9/24 × 100 = 37.5%です。残りは15/24 × 100 = 62.5%で、2つを合わせると100%です。24 × 0.375 = 9枚と24 × 0.625 = 15枚になり、元の分類に戻ります。

4. 記録ありの分母は8 + 12 = 20個で、木製は8/20 × 100 = 40%です。全箱の分母は20 + 5 = 25個で、未記録は5/25 × 100 = 20%です。20個の40%は8個、25個の20%は5個です。2つの割合は分母が異なるので、そのまま足して1本の帯の内訳にはできません。

5. 完成させません。4 + 6 = 10個で、記された合計12個との差は2個です。別の種類があるのか、数え間違いや転記漏れなのかは表だけでは決まりません。元の記録と分類条件を調べ、内訳と合計を一致させてから分母を決めます。仮に残りを勝手に金属へ加えると、元の分類の意味が失われます。

覚えておくこと

• 正確な数は表、個数の差は共通尺度の棒、構成比は分母を示した帯で捉えます。
• 割合は対象となる部分を、その対象全体で割って求めます。
• 帯の長さが同じでも、分母が違えば個数は違うことがあります。
• 丸める前の数と分類の合計に戻して、図と説明を点検します。

つまずきを見分ける記録

答えが違うときは、計算結果だけでなく、元の表に書いた分類名、合計欄、分母を決めた印を見ます。正しい数を使っていても、記録なしをどの集団に入れたかが曖昧なら、割合の意味を説明できません。個別指導では、作成した帯に全体数を書き足し、色の部分から個数を再現できるかを確かめます。

さらに、同じデータで棒を描き、帯と棒のそれぞれから言える文を1つずつ書いて比べます。図の見た目と数値が食い違った場合は、軸の起点、単位、分類の順、丸め前の値を順に点検します。選んだ表現の分母と元の数を言葉で結べば、図が伝える内容の境界が見えてきます。