高校数学C 時系列の折れ線グラフ—時点の間隔と尺度を確かめて変化を読み取る｜武蔵野個別指導塾

不等間隔の観測値を時間軸に置き、増加量と増加率、欠測の扱いを時系列で読み解きます。

よくあるのは、理系の高3が観測時点の間隔を見ず、表の値を左から等間隔に並べる場面です。点の高さが合っていても、横軸が表す時間が変われば線の傾きの意味が変わります。例えば1時間の変化と3時間の変化を同じ横幅に描くと、変化の速さを比べるための図にはなりません。点の座標を決める前に、時刻と単位を確かめましょう。

どんな問いに使うか

時系列は、同じ対象について時点に沿って並べた値です。折れ線グラフは、観測値を座標上の点に置き、隣り合う観測点を線分で結んで変化の様子を示します。値はこの説明のために作ったもので、実際の観測結果ではありません。

出方の1つは、不等間隔の時点を正しい位置に描く問題です。横軸の距離は経過時間に比例させます。2つ目は、区間ごとの増加量、増加率、単位時間当たりの平均変化量を比較する問題です。3つ目は、欠測を含む表から、わかることとわからないことを分ける問題です。

いずれも観測対象、測定方法、単位が同じか確かめます。対象や単位が途中で変われば、そのまま点の高さを比較する意味は変わります。線分は点の並びを見やすくする表現であり、観測していない時刻の値がその線上に実在したことを保証しません。将来の値を予測するモデルもここでは扱いません。

時間の距離と変化の量

横軸に時刻、縦軸に観測値をとります。横軸の1目盛りが1時間なら、2時間の間隔は1時間の間隔の2倍の長さにします。図1のように、0時から1時と1時から4時では、同じ隣接する点の組でも横幅が異なります。

図1では横軸の0、1、4の間の距離を1対3にしています。点の順序を示すだけなら等間隔でも並べられますが、それは経過時間に比例した軸ではありません。傾きを時間当たりの変化として読むには、時間の尺度を一定にする必要があります。

始めの値を a、終わりの値を b、経過時間を t とすると、増加量は b − a、平均変化量は (b − a)/t です。t は正とします。単位が個なら増加量は個、時間が時間なら平均変化量は個/時間です。減少した場合には差と平均変化量が負になり、その絶対値が減少の大きさを示します。

増加率は始めの値を基準にした割合で、a が0でないとき (b − a)/a です。100を掛ければパーセントで表せます。これは経過時間で割っていないので、平均変化量とは別の量です。基準の値が0ならこの式では割れず、増加率を計算できません。負の値を含む量では、割合の解釈にも注意が必要です。

欠測は値が0だったという記録ではありません。測れなかった時刻には数値を置かず、その前後の線を切って示す方法があります。前後を結ぶ場合は欠測を明示し、その間を観測したかのように読まないことが必要です。

基本例題：水槽の水量を描く

水槽の水量を0時、1時、4時に測るという自作の条件を考えます。水量は順に10 L、16 L、22 Lです。横軸を1時間につき100の長さ、縦軸を1 Lにつき10の長さでとります。3点を描き、各区間の増加量、平均変化量、増加率を求めてください。増加率はパーセントで答えます。

図2のように、横軸の0時を原点からとり、点を置きます。縦軸も0 Lを起点とし、同じ単位量を同じ長さで表します。

0時から1時までの計算は次のとおりです。

増加量 = 16 - 10 = 6 L
経過時間 = 1 - 0 = 1時間
平均変化量 = 6/1 = 6 L/時間
増加率 = (16 - 10)/10 = 0.6 = 60%

次に1時から4時までを計算します。

増加量 = 22 - 16 = 6 L
経過時間 = 4 - 1 = 3時間
平均変化量 = 6/3 = 2 L/時間
増加率 = (22 - 16)/16 = 0.375 = 37.5%

2区間の増加量はいずれも6 Lですが、時間が1時間と3時間なので平均変化量は一致しません。増加率も基準が10 Lと16 Lで異なるため、60%と37.5%になります。0時から4時全体では12 Lの増加、平均3 L/時間、0時を基準とする増加率120%です。区間の増加率を足した97.5%は全体の増加率ではありません。

水量に戻して確かめます。10 Lに6 Lを加えると16 L、さらに6 Lを加えると22 Lです。6 L/時間を1時間、2 L/時間を3時間としてそれぞれ掛けても、各区間の増加量に戻ります。ただし、区間中ずっと一定の速さで水が増えたかどうかは、この3点からは決まりません。

標準例題：減少と基準の取り方

ある容器の重さを0分、2分、5分に測ったところ、順に80 g、68 g、62 gでした。各区間の増加量と平均変化量を求め、0分を基準とした5分までの増加率をパーセントで答えてください。観測値は説明用に作った値です。

まず2分までの差と経過時間を出します。

増加量 = 68 - 80 = -12 g
経過時間 = 2 - 0 = 2分
平均変化量 = -12/2 = -6 g/分

次の区間も同様に求めます。

増加量 = 62 - 68 = -6 g
経過時間 = 5 - 2 = 3分
平均変化量 = -6/3 = -2 g/分

負号は減少を表します。0分を基準とする増加率は次のとおりで、22.5%減少したとも表せます。

増加量 = 62 - 80 = -18 g
増加率 = -18/80 = -0.225 = -22.5%

80 gから12 g、さらに6 gを引くと62 gになり、元の表へ戻ります。最初の区間の方が1分当たりの平均の減少量は大きいですが、各時刻の間に増減がなかったとは限りません。また2区間を同じ横幅に描けば、線の見た目だけでこの平均を比較できなくなります。

発展例題：欠測と比較の限界

ある箱の中の個数を0日、2日、3日、6日に記録します。順に40個、50個、欠測、65個でした。2日から6日までの増加量と1日当たりの平均変化量を求めてください。また3日の個数と、2日から3日までの増加量が決まるか答えてください。個数は整数で、負にはならないものとします。

2日と6日の値はあるので、その間全体の差と時間は求められます。

増加量 = 65 - 50 = 15個
経過時間 = 6 - 2 = 4日
平均変化量 = 15/4 = 3.75個/日

平均が小数でも、4日分の差を時間で割った量なので、個数そのものが小数という意味ではありません。3.75個/日に4日を掛けると15個となり、50個に足して65個に戻ります。2日を基準とする6日までの増加率は15/50 = 30%です。

一方、3日の個数は決まりません。例えば3日が52個でも60個でも、与えられた2日と6日の記録に矛盾しません。この2通りでは2日から3日までの増加量がそれぞれ2個と10個です。線を結んで途中の高さを読むだけでは、実測値を得たことにはなりません。観測がない区間を破線などで示すとしても、その意味を凡例や文章で明示します。

さらに、点を結ぶ直線上の3日の高さは、2日から6日の差15個の4分の1を50個に足した53.75個です。これは線形に変化すると仮定した線の高さであり、整数の実際の個数ではありません。仮定を記録にすり替えないことが、図を読むときの境目です。

傾きの誤答を直す

基本例題で、0時、1時、4時を横軸上に等間隔に並べる誤りを考えます。値の高さを10 L、16 L、22 Lにすれば、隣り合う線分は同じ傾きに見えます。この見た目から「2区間の時間当たりの平均増加量も等しい」と答えると誤答です。

原因は、横軸の1区間に1時間と3時間を混在させたことです。図3のように時刻の間の距離を1対3に直すと、同じ6 Lの上昇でも後の線分は緩やかになります。

図3の左側では横方向の同じ長さが異なる時間を表します。右側では横軸の長さを経過時間に比例させているので、平均変化量の比較に使えます。縦軸の尺度も両図で同じです。

別の誤りとして、1時から4時の増加率を6/10とする場合があります。10 Lは0時の値であり、1時から始まる区間の基準ではありません。始点の16 Lを分母に直すと6/16 = 37.5%です。もし始点が0 Lなら分母を0にできないので、増加量は示しても、この式の増加率は示せません。

また、欠測を0と書けば折れ線に実際には記録されていない急落が生じます。0という測定結果と空欄は意味が違います。表に戻り、記録がある点とない点を区別してから線を描き直しましょう。

練習問題

次の値は練習のために作ったものです。各問題の量は同じ方法と単位で測ったものとします。増加率は指定がなければパーセントで答えます。

1. 本の貸出数を0日、2日、7日に記録すると、順に12冊、18冊、33冊でした。横軸で1日を40の長さとすると、0日から見た各点の横方向の距離を答えてください。
2. 部品数が1時間で24個から30個に、続く2時間で30個から42個に変わりました。各区間の増加量と1時間当たりの平均変化量を求めてください。
3. ある量が15 kgから21 kgへ変化しました。始めを基準にした増加率を求めてください。次に21 kgから27 kgへ変化したときの増加率も求め、分数とパーセントで答えてください。割り切れない百分率は小数第3位を四捨五入し、小数第2位まで示してください。
4. 記録が0分に90 mL、3分に75 mL、5分に欠測、8分に60 mLでした。3分から8分の増加量と1分当たりの平均変化量を求め、5分の値が決まるか答えてください。
5. 0時の個数が0個、4時が8個です。増加量と平均変化量を求め、0時を基準とする増加率を式で求められるか答えてください。平均変化量の単位は個/時間とします。

練習問題の解答と解き方

1. 横方向の距離は順に0、80、280です。

0日: 40・0 = 0
2日: 40・2 = 80
7日: 40・7 = 280

2日から7日は5日なので、距離は280 − 80 = 200です。1日分の40の5倍となり、時刻の間隔に戻して確かめられます。3点を同じ間隔に置くと、2日と5日の差が消えます。

2. 増加量は順に6個、12個、平均変化量はいずれも6個/時間です。

30 - 24 = 6個
6/1 = 6個/時間
42 - 30 = 12個
12/2 = 6個/時間

6個/時間にそれぞれ1時間、2時間を掛けると6個、12個に戻ります。同じ平均変化量でも区間の長さが違えば増加量も違います。

3. 最初は2/5 = 40%、次は2/7 = 約28.57%です。パーセントは小数第3位を四捨五入しました。

(21 - 15)/15 = 6/15 = 2/5 = 40%
(27 - 21)/21 = 6/21 = 2/7 = 約28.57%

15 kgの2/5は6 kg、21 kgの2/7も6 kgです。元の量にそれぞれ6 kgを足すと21 kg、27 kgになり、同じ増加量でも分母が違うことを確かめられます。

4. 増加量は-15 mL、平均変化量は-3 mL/分です。5分の値は決まりません。

60 - 75 = -15 mL
8 - 3 = 5分
-15/5 = -3 mL/分

-3 mL/分に5分を掛けると-15 mLで、75 mLから60 mLに戻ります。5分が70 mLでも65 mLでも与えられた両端の記録には矛盾しないため、欠測を0 mLとしてはいけません。

5. 増加量は8個、平均変化量は2個/時間です。始めが0個なので増加率の式は分母が0になり、求められません。

8 - 0 = 8個
4 - 0 = 4時間
8/4 = 2個/時間

2個/時間に4時間を掛けると8個です。増加率が定義できないことは、増加量が0であることを意味しません。

覚えておくこと

時間軸の距離は経過時間に比例させます。
増加量は終わりの値から始めの値を引きます。
平均変化量は増加量を経過時間で割ります。
増加率は0でない始めの値を分母にします。
欠測と0を分け、観測点の間を実測と決めません。

記録を見て確かめる

点の高さは合うのに変化の速さを誤る場合は、計算より先に横軸の目盛りと時刻の対応を書いた記録を見ます。隣り合う点の時間差を表に書き戻し、軸の距離の比と照らすと、配置の誤りか計算の誤りかを分けられます。

個別指導では、増加率の式に入れた分母がどの時点の値か、単位時間当たりの式に入れた時間がどの区間かを、本人の途中式と元の表で確かめます。欠測を含む記録については、前後の値を使って求められる量と、途中を測らないと決まらない量を説明してもらいます。点を結ぶ線の見た目と観測された値を分けると、時系列の読み取りは確かなものになります。