高校数学III・C 二次曲線と断面積の体積—切り口の長さから積分式を組み立てる｜武蔵野個別指導塾

楕円の弦を底辺とする切り口で、長さの二乗と積分区間を結びます。形が決めるのは断面積と体積です。

よくあるのは、理系高3の演習で、断面の幅をそのまま断面積として積分する場面です。楕円の上下の差を求めるところまでは正しくても、その差は長さです。切り口が正方形なら辺を2回掛け、三角形なら底辺と高さを掛けて2で割ります。立体の姿を一度に想像できなくても、固定した位置での切り口を正確に描けば、体積への道筋を答案に残せます。

切る向きと断面の形を選ぶ

出方の1つは、楕円の弦を1辺とする正方形が各断面になる型です。固定した x に対して上下の座標を求め、その差を正方形の辺とします。辺を積分するのではなく、辺の二乗を積分します。楕円の左右の端では弦の長さが0になることも確認します。

2つ目は、弦を底辺とし、高さが底辺の一定倍である三角形の型です。底辺と高さがどちらも動くので、断面積は弦の長さに比例せず、その二乗に比例します。高さが固定された別の条件なら比例の仕方も変わります。問題文の高さの指定を毎回読み直します。

3つ目は、断面の形が位置によって変わる型です。例えば中央では正方形、両端では半円と定められているなら、面積の式も境目で分けます。境目の断面の扱いを定め、区間の長さが0の1枚の断面は体積に影響しないと説明できます。回転体の公式を形だけで当てはめる必要はありません。

弦から面積へ渡す

平面上の楕円 x²/a² + y²/b² = 1 を考えます。ここで a > 0、b > 0 です。x を固定すると、実数の y が存在する範囲は -a ≦ x ≦ a です。この範囲では上下の点の y 座標はそれぞれ b√(1 − x²/a²)、-b√(1 − x²/a²) です。したがって縦の弦の長さ L(x) は 2b√(1 − x²/a²) です。

断面がこの弦を1辺とする正方形なら A(x) = L(x)²、底辺 L(x)、高さ h(x) の三角形なら A(x) = L(x)h(x)/2 です。断面積 A(x) が閉区間で連続であれば、断面積による体積の公式から、体積は ∫[-a→a] A(x) dx です。積分変数は切る位置を表し、区間は立体が存在する位置から決めます。

図1のように、楕円の式から直接体積に飛ばず、長さ、面積、体積と順に単位を変えます。長さの二乗は面積、面積に厚さを掛けたものは体積という対応を使えば、式の段階を点検できます。

図1の矢印の途中で断面の形を取り違えると、後の積分が正しくても答えは合いません。断面が楕円なのか、楕円の弦を使って作った別の図形なのかも区別します。

基本例題：正方形の辺を作る

問題。xy 平面上の楕円 x²/9 + y²/4 = 1 の内部と周を底面とする立体を考えます。各 x について、x 軸に垂直な平面で切った断面は、底面内の縦の弦を1辺とする正方形です。体積を分数で求めてください。

まず x の範囲は -3 ≦ x ≦ 3 です。固定した x で楕円の式を y について解き、上端と下端を求めます。

y²/4 = 1 - x²/9
y = ±2√(1 - x²/9)
L(x) = 2√(1 - x²/9) - { -2√(1 - x²/9) }
L(x) = 4√(1 - x²/9)

図2のように、楕円上の2点を結ぶ弦が正方形の辺です。端の x = ±3 では辺が0で、中央の x = 0 では辺が4です。断面の向きがどちら側であっても、断面積は同じです。

断面積は連続な関数で、次のようになります。

A(x) = L(x)²
A(x) = 16(1 - x²/9)
V = ∫[-3→3] 16(1 - x²/9) dx
V = 16[x - x³/27]（-3から3まで）
V = 16{(3 - 1) - (-3 + 1)}
V = 64

答えは 64 です。中央の断面積は16、端では0です。断面積は区間全体で16以下なので、体積64は幅6の直方体の体積96以下です。この大小は正確な計算の代わりにはなりませんが、桁や符号の異常を見つける助けになります。平方根を消すのは弦の長さ全体を二乗した後です。片側の長さ2をそのまま辺とすると、本来の面積の4分の1になってしまいます。

標準例題：底辺と高さが同時に動く

問題。楕円 x²/16 + y²/9 = 1 の内部と周を底面とします。各 x の断面は、底面内の縦の弦を底辺とし、高さがその底辺の 2/3 倍である三角形です。体積を分数で求めてください。

楕円の左右の端から、-4 ≦ x ≦ 4 です。上下の端は y = ±3√(1 − x²/16) であるため、底辺 L と高さ h は次の通りです。

L(x) = 6√(1 - x²/16)
h(x) = (2/3)L(x)
A(x) = L(x)h(x)/2
A(x) = L(x)²/3
A(x) = 12(1 - x²/16)

高さが一定ではないことが判断の要点です。底辺の2/3倍という条件を代入すると、断面積は底辺の二乗の1/3になります。断面積は閉区間で連続ですから、体積を積分できます。

V = ∫[-4→4] 12(1 - x²/16) dx
V = 12[x - x³/48]（-4から4まで）
V = 12{(4 - 4/3) - (-4 + 4/3)}
V = 64

答えは 64 です。x = 0 では底辺6、高さ4、面積12となり、式 A(0) = 12 と一致します。x = ±4 では底辺も高さも0です。どの x でも三角形の面積は負にならず、求めた体積も正です。高さの向きや頂点の位置が変わっても、指定された底辺と高さが同じなら面積は変わりません。

発展例題：断面の形が途中で変わる

問題。楕円 x²/4 + y² = 1 の内部と周を底面とします。各 x の縦の弦を使い、-1 ≦ x ≦ 1 ではその弦を1辺とする正方形、-2 ≦ x < -1 と 1 < x ≦ 2 ではその弦を直径とする半円を断面とします。体積を π を含む正確な式で求めてください。

まず -2 ≦ x ≦ 2 で、弦の長さは L(x) = 2√(1 − x²/4) です。正方形と半円の面積は別々に求めます。半円の半径は直径の半分なので、次の式になります。

A正方形(x) = L(x)²
A正方形(x) = 4(1 - x²/4)
A半円(x) = π{L(x)/2}²/2
A半円(x) = (π/2)(1 - x²/4)

それぞれの区間で断面積は連続です。境目で断面積の式が変わるので、積分を3区間に分けます。左右の端の式は偶関数であるため、2つの端の積分は等しくなります。

V = ∫[-1→1] (4 - x²) dx + 2∫[1→2] (π/2)(1 - x²/4) dx
V = [4x - x³/3]（-1から1まで） + π[x - x³/12]（1から2まで）
V = 22/3 + π{(2 - 8/12) - (1 - 1/12)}
V = 22/3 + 5π/12

答えは 22/3 + 5π/12 です。境目 x = ±1 の断面は問題文に従って正方形です。半円の式をその1点で積分の端に使っても積分値は変わりませんが、断面自体が同じ形になるという意味ではありません。x = ±2 では弦が0となり、端で立体が閉じることも元の楕円に戻して確認できます。切り口の形の変更を無視して一つの式で積分すると、どちらかの区間を別の立体に置き換えてしまいます。

幅を積分した答案を直す

基本例題に対して「弦の長さは 4√(1 − x²/9) だから、体積はその -3 から 3 までの積分」とする答案を考えます。上下の差と積分区間は正しいものの、積分する量が断面積ではありません。長さに長さを掛けて得られるのは面積の次元で、体積の次元にはなりません。

図3のように、弦を正方形の1辺として描き直し、4√(1 − x²/9) を二乗してから積分します。中央だけで試すと、弦の長さは4ですが断面積は16です。両者が同じ値になる位置が偶然あっても、一般に等しいとする根拠にはなりません。

反対に、常に長さを二乗すればよいと覚えるのも危険です。高さが一定の長方形や、底辺と無関係な高さを持つ三角形では別の式になります。図3の修正は正方形という条件を使った結論です。最初に形の条件を書き、長さから面積への式を1行で示すと、読み手が計算の根拠を追えます。

自分で切り口を作る5問

各問の立体は指定された範囲の各 x における断面で定まります。答えは分数または π を含む正確な式で求めてください。

1. 楕円 x²/25 + y² = 1 の内部と周を底面とします。縦の弦を1辺とする正方形が断面です。体積を求めてください。
2. 楕円 x²/4 + y²/4 = 1 の内部と周を底面とします。縦の弦を底辺とし、高さが底辺の1/2倍の三角形が断面です。体積を求めてください。
3. 楕円 x²/9 + y²/16 = 1 の内部と周を底面とします。縦の弦を直径とする半円が断面です。体積を求めてください。
4. 放物線 y = 4 − x² と x 軸で囲まれた領域を底面とします。縦の線分を1辺とする正方形が断面です。体積を求めてください。
5. 楕円 x²/4 + y²/9 = 1 の内部と周を底面とします。縦の弦を底辺とし、高さが常に2の三角形が断面です。体積を求めてください。

5問の解答と条件の照合

1. 楕円の端は x = ±5、縦の弦は L = 2√(1 − x²/25) です。断面は正方形なので、次のように積分します。

A = L² = 4(1 - x²/25)
V = ∫[-5→5] 4(1 - x²/25) dx
V = 4[x - x³/75]（-5から5まで）
V = 80/3

中央の辺は2、端の辺は0であり、楕円の元の式と一致します。面積は負になりません。

2. 範囲は -2 ≦ x ≦ 2、弦は L = 4√(1 − x²/4) です。高さは L/2 なので、面積は L²/4 です。

A = L(L/2)/2
A = 4(1 - x²/4)
V = ∫[-2→2] (4 - x²) dx
V = [4x - x³/3]（-2から2まで）
V = 32/3

中央で底辺4、高さ2、面積4です。端では底辺と高さが0になり、元の条件と合います。

3. 範囲は -3 ≦ x ≦ 3、弦は L = 8√(1 − x²/9) です。半円の半径は L/2 で、面積は πL²/8 です。

A = 8π(1 - x²/9)
V = ∫[-3→3] 8π(1 - x²/9) dx
V = 8π[x - x³/27]（-3から3まで）
V = 32π

中央の半径は4で半円の面積は8πです。端では半径0となり、式の値と一致します。

4. 放物線と x 軸の交点は 4 − x² = 0 より x = ±2 です。この間では 4 − x² ≧ 0 なので、縦の線分の長さは 4 − x² です。

A = (4 - x²)²
A = 16 - 8x² + x⁴
V = ∫[-2→2] (16 - 8x² + x⁴) dx
V = [16x - 8x³/3 + x⁵/5]（-2から2まで）
V = 512/15

x = 0 では線分の長さ4、断面積16です。x = ±2 では上下が一致します。上下を入れ替えた負の長さを使っていないことを確認できます。

5. 範囲は -2 ≦ x ≦ 2、弦は L = 6√(1 − x²/4) です。高さは固定値2なので、三角形の面積は L・2/2 = L です。この問では長さと面積の数値が偶然一致しますが、それぞれの意味は異なります。

V = ∫[-2→2] 6√(1 - x²/4) dx
x = 2 sin θ
 dx = 2 cos θ dθ
-π/2 ≦ θ ≦ π/2
V = 12∫[-π/2→π/2] cos² θ dθ
V = 6∫[-π/2→π/2] (1 + cos 2θ) dθ
V = 6[θ + sin 2θ/2]（-π/2からπ/2まで）
V = 6π

置換の範囲では cos θ ≧ 0 なので、平方根は cos θ になります。中央の底辺6、高さ2から面積6、端の底辺0から面積0となり、断面積の式に戻ります。

答案の最後に残す確認

• 切る位置の範囲を、底面の端や境界から求めます。
• 上下の差を弦の長さとし、断面の形から面積へ変換します。
• 断面積が連続な区間ごとに積分し、境目を確認します。
• 端と中央の断面、体積の符号を元の条件に戻して確かめます。

式は立つのに答えが合わないときは、まず弦が半分になっていないか、半円の直径を半径と取り違えていないかを見ます。積分区間が不安なときは、固定した x の直線が底面と交わるかを端の外でも試します。個別指導では、切り口を1枚描いて底辺と高さに印を付け、長さから断面積に変わる行を本人の言葉で説明できるかを確かめます。切り口の形が決まれば、積分する量も定まります。