高校数学C 比較する棒グラフ—軸の起点と単位をそろえて数量の差を伝える｜武蔵野個別指導塾

縦軸を途中から描いたときの見かけの差や人数と割合の違いを読む鍵となるのは棒グラフです。

よくあるのは、理系の高3が縦軸を途中から切り取った棒グラフを見て、一方がもう一方の数倍だと判断する場面です。棒の先端に書かれた値を見れば差は小さくても、描かれた棒の長さには大きな差が生じます。どこから長さを測ったのかを確かめると、図が伝える印象と元の数量を分けて考えられます。以下の数値は、計算のために作ったデータです。

何を比べる図なのか

棒グラフの問題には、主に3つの出方があります。第1に、同じ単位で測った複数の数量を並べ、差や比を読む問題です。棒の高さが数量に対応するよう、縦軸の起点と目盛りの間隔を確認します。第2に、2つの集団について、項目ごとの値を並列の棒で比べる問題です。同じ項目に属する棒を隣に置き、色や凡例と集団の対応を固定します。第3に、人数と割合を使い分け、見かけの順位が変わる理由を説明する問題です。

いずれも、棒の形だけを眺める前に、対象、期間、単位、分母を読む必要があります。例えば冊数と人数は同じ目盛りに並べても、棒の高さの差に意味を与えられません。割合なら、どの集団の何人を全体としたかが欠かせません。数値をそろえて描ける場合でも、図から読み取れるのは与えられた集計の差であり、差が生じた原因までは決まりません。

棒の長さと目盛りの対応

図1のように、縦軸を0から始めて同じ間隔で目盛りを置くと、棒の長さは数量に比例します。棒の底が0の位置にあり、上端が値を表します。横方向の並びは項目を区別するためのもので、隣同士の距離が数量の差を表すわけではありません。横軸には比較する項目、縦軸には値と単位を書きます。

図1では、1目盛りが2冊です。Aの棒は6冊、Bの棒は8冊を示します。差は8 − 6 = 2冊、比は8/6 = 4/3です。棒の高さを測っても同じ比になります。ただし、棒の幅は両者でそろえ、幅や面積の違いが余分な印象を与えないようにします。

軸の途中を起点にする図は、先端の位置から値を読むこと自体はできます。しかし、棒の長さは0からの数量ではなく、切り取った起点からの増分になります。0でない起点を用いた図について、長い棒が短い棒の何倍かを直接読んで、元の値の比とすることはできません。起点が明示されていても、この長さの解釈は変わりません。

並列棒では、各項目に2本以上の棒を並べます。同じ集団には同じ色を使い、比較する棒は共通の縦軸で描きます。2枚に分ける場合も、縦軸の起点と単位あたりの長さをそろえなければ、紙面上の長さを直接比べられません。値が負の場合は0を基準線とし、正と負を反対側へ描きます。

基本例題：活動場所ごとの冊数

ある週の貸出冊数を架空の記録で比べます。場所Aは12冊、場所Bは18冊です。0冊から始まり、1目盛りを6冊とする共通の縦軸で棒を描き、差を冊数で、BのAに対する比を既約分数で求めてください。図2はその図です。

まず、両方の値の単位は冊で、期間も同じ週です。したがって棒の長さを共通の尺度で比べられます。Aの高さは2目盛り、Bの高さは3目盛りです。図2のように棒の底を0にそろえれば、先端の値と棒の長さが対応します。

差は大きい値から小さい値を引きます。

18 - 12 = 6

よって差は6冊です。比は基準にするAを分母に置きます。

18/12 = 3/2

BはAの3/2倍です。逆にAをBと比べれば2/3倍なので、どちらを基準にした比かも答えに添えます。検算としてAの12冊に差の6冊を加えると18冊になり、Bの値に戻ります。比についても12冊の3/2倍は18冊です。

この図からわかるのは、その週に記録された貸出冊数です。来館者数が異なるか、1人が何冊借りたかは与えられていません。冊数が多い理由を図から断定したり、利用者1人あたりの貸出冊数まで比較したりはできません。別の週と比べたいときには、期間をそろえた集計を用意します。

標準例題：人数と割合の順位

架空の講座Pには40人、講座Qには60人が参加しました。そのうち資料を提出した人はPで30人、Qで36人です。講座ごとの提出割合を百分率で求め、人数と割合のそれぞれについて大小を答えてください。割合の差はパーセントポイントで表します。

人数をそのまま比べると、36人は30人より6人多く、Qが上です。しかし提出割合は、各講座の参加人数を分母にして計算します。

Pの割合 = 30/40 × 100 = 75%
Qの割合 = 36/60 × 100 = 60%
75 - 60 = 15

提出人数はQが多く、提出割合はPが15パーセントポイント高いです。人数の差6人と割合の差15パーセントポイントは単位が違うので、同じ値として扱いません。15ポイントの差を「15%多い」と言うと、どの値を基準とする増加率かが曖昧になります。Qの60%を基準にした相対的な差は15/60 = 1/4、すなわち25%です。

人数の棒を並べる図なら縦軸は人、割合の棒なら縦軸は%と書きます。提出人数と提出割合を同じ目盛りの並列棒に混ぜると、高さの比較が何を意味するか不明になります。割合の検算では、40人の75%が30人、60人の60%が36人に戻ることを確認します。両講座を合わせた割合を求めるなら、人数を合計して66/100 = 66%です。75%と60%の単純平均67.5%ではありません。分母が異なるためです。

参加者の定義や提出の締切がそろっていない場合、同じ計算をしても公正な比較とは限りません。この設定では両講座について同じ提出条件を前提にしています。割合が高いことも、講座が原因で提出を促したことの証明にはなりません。

発展例題：並列棒と軸の省略

架空の展示室X、Yで、午前と午後の来場者数を数えました。Xは午前80人、午後100人、Yは午前90人、午後110人です。午前と午後を項目にし、各項目にXとYの棒を並べます。縦軸は0人から120人まで、20人刻みとします。各時間帯のYとXの差、およびXの午後の午前に対する比を求めてください。

午前の差 = 90 - 80 = 10人
午後の差 = 110 - 100 = 10人
Xの比 = 100/80 = 5/4

どちらの時間帯もYが10人多く、Xの午後は午前の5/4倍です。午前の2本の高さは4目盛りと4.5目盛り、午後は5目盛りと5.5目盛りです。半目盛りの位置も、目盛りの間を等しく分けて描きます。午前から午後への増加人数はX、Yとも20人です。一方、増加率はそれぞれ20/80 = 25%、20/90 = 2/9であり、同じにはなりません。

ここで軸を70人から始めると、Xの棒の見える長さは午前が10人分、午後が30人分です。その長さは3倍ですが、元の人数の比は5/4倍です。目盛りが正しく書かれていれば数値は読めても、棒の長さの比は人数の比を表しません。棒の底を0に戻すと、80人分と100人分の長さになり、比は5/4に戻ります。

午前と午後の値を合計するとXは180人、Yは200人です。ただし、この合計は時間帯ごとの来場回数を合算した値です。同じ人が両方の時間帯に来た可能性を除けないので、異なる来場者の人数とは限りません。検算として、午前は80 + 90 = 170人、午後は100 + 110 = 210人で、時間帯別の合計380人は展示室別の180 + 200 = 380人と一致します。

誤答を直す：切り取った棒を何倍と読むか

架空の棚の本の数がAで40冊、Bで50冊だったとします。縦軸の下端を30冊として描いた図3を見て、「BはAの2倍」と答えるのは誤りです。見える棒はAが10冊分、Bが20冊分なので、長さだけなら2倍に見えます。

原因は、棒の底を0冊だと読み替えたことです。図3のように底が30冊なら、先端の数から30を引いた差が棒の長さに対応します。元の冊数の比は50/40 = 5/4です。差は50 − 40 = 10冊で、40冊に10冊を加えると50冊に戻ります。

直すには、まず軸の起点を読み、求める量が差なのか比なのかを明記します。次に数値そのものから計算し、棒で数量の比を見せたいなら0から描き直します。軸の一部を省略した事実を隠さなくても、長さをそのまま数量と読めない点は変わりません。また、縦軸の目盛り間隔が途中で変わっていないかも確かめます。等しい数の増加を等しい長さで表すことが、通常の棒の比較の前提です。

練習問題

次のデータはそれぞれ独立した自作の設定です。差には単位を付け、比は既約分数で答えてください。割合は百分率で示し、割合の差はパーセントポイントで表します。

1. 2つの花壇に植えた苗はそれぞれ14本、21本です。差と、後者の前者に対する比を求めてください。共通の縦軸は0本から始めます。
2. 組Rの24人中18人、組Sの40人中28人が読書記録を提出しました。人数と提出割合のそれぞれで、どちらが多いか、また割合の差を求めてください。
3. 縦軸を20個から始めた図で、箱Cは25個、箱Dは35個です。描かれた棒の長さの比D/Cと、実際の個数の比D/Cを求めてください。
4. 2つの作業班の完成個数は、1日目が班Eで16個、班Fで20個、2日目がEで24個、Fで28個です。日ごとに並列棒を描くときの共通軸の単位を答え、各日の差と班別の合計を求めてください。
5. 施設Gでは50人中20人、施設Hでは30人中18人が質問に回答しました。両施設の回答割合と全体の回答割合を求めてください。全体を単純平均で求めてよいかも答えてください。

解答と解き方

1. 差は21 − 14 = 7本です。比は21/14 = 3/2です。14本に7本を加えると21本となり、14本の3/2倍も21本です。苗の本数という同じ単位で照合します。

2. 提出人数は28 − 18 = 10人の差でSが多いです。一方、割合はRが18/24 × 100 = 75%、Sが28/40 × 100 = 70%です。割合はRが5パーセントポイント高くなります。24人の75%は18人、40人の70%は28人なので、それぞれ元の人数に戻ります。

3. 図に描かれた長さはCが25 − 20 = 5個分、Dが35 − 20 = 15個分です。その比D/Cは15/5 = 3です。実際の個数の比は35/25 = 7/5です。25個の7/5倍が35個であることから、元の値でも確かめられます。

4. 共通軸の単位は個です。1日目は20 − 16 = 4個、2日目は28 − 24 = 4個で、いずれもFが多いです。Eの合計は16 + 24 = 40個、Fの合計は20 + 28 = 48個です。日別の合計は36個と52個であり、合わせて88個です。班別の40 + 48 = 88個とも一致します。

5. Gは20/50 × 100 = 40%、Hは18/30 × 100 = 60%です。全体では回答者が20 + 18 = 38人、対象者が50 + 30 = 80人なので、38/80 × 100 = 47.5%です。単純平均は50%であり、全体の割合とは異なります。50人の40%と30人の60%を計算すると、20人と18人に戻ります。母数が異なるため、全体は回答人数と対象人数をそれぞれ合計して求めます。

覚えておくこと

• 棒の長さで数量を比べるときは、0からの共通尺度を使います。
• 軸の単位、目盛り、期間と比較対象をそろえます。
• 割合は分子と分母を記し、人数との違いを見ます。
• 比と差、%とパーセントポイントを区別します。
• 描かれた値から原因や未提示の人数を断定しません。

解答のどこを見直すか

答えが合わないときは、まず計算式の分母に印を付けます。割合なら対象となる集団の人数、比なら基準とする数量が入っているかを見ます。次に、グラフに書き込んだ0の位置と各目盛りの差を見直します。値は正しく読めるのに比だけが違う場合、切り取られた棒の長さを値と取り違えた可能性があります。

個別指導で確かめるなら、完成した答えだけでなく、元の表、軸の書き込み、分母を決めたメモ、差を求めた式を順に見ます。例えば人数の順位と割合の順位が逆になる表を渡し、どちらの問いに答えているかを言葉で説明してもらいます。誤りがあれば、元の人数に割合を掛けて戻るところまでたどります。棒の長さは、尺度と起点がそろって初めて数量の比を語ります。