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高校数学C 累乗と三角関数—実部と虚部の比較から倍角の関係を導く｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 複素数平面を掘り下げる

単位円上の複素数の3乗を展開し、符号と実部・虚部を比べて導くのは三倍角です。

よくあるのは、理系の高3が複素数の3乗を展開し、実部と虚部を比較する途中で i² の符号を落とす場面です。項の数は合っていても、1つの符号の違いが三倍角の式全体に広がります。例えば θ = 0 を代入して実部が1になるかを見ると、誤りを発見できる場合があります。ただし1つの角で合うことは、恒等式の証明にはなりません。展開の各項を実部と虚部に分け、その後で比較する順を身につけます。

どの形を比べるか

問われ方の1つは、複素数の累乗を2通りに表して倍角や三倍角の式を導くものです。cos θ + i sin θ の累乗を、片方では角をまとめた形に、もう片方では普通の展開にします。同じ複素数の実部同士、虚部同士を比べると、2本の関係が得られます。

もう1つは、得た式から sin θ または cos θ の片方を消して、1種類の関数の多項式に直すものです。sin² θ + cos² θ = 1 は実数 θ に対して成り立ちます。2乗の項を置き換えればよく、平方根を取って符号を選ぶ必要はありません。逆に、sin θ の値から cos θ を決めるときは象限の情報が必要です。

さらに、特定の角について式を使い、指定された三角関数の値を求める問題があります。まず一般の等式を導き、最後に角を代入します。答えを角の図や元の累乗に戻すと、計算と対応の両方を確認できます。角の一覧や一般の三角方程式に話を広げず、ここでは累乗と係数の関係に焦点を置きます。

単位円の点と2通りの累乗

θ を実数とし、c = cos θ、s = sin θ と置きます。c と s は実数で、c² + s² = 1 です。z = c + si は絶対値1の複素数なので零ではありません。複素数平面では点 z の座標は (c, s) です。ド・モアブルの定理により、正の整数 n について次が成り立ちます。

zⁿ = (cos θ + i sin θ)ⁿ
   = cos(nθ) + i sin(nθ)

角を n 倍した点は、実部が cos(nθ)、虚部が sin(nθ) です。図1のように z と z³ はともに単位円上にあり、3θ が1周を超えても位置は周期を含めて表されます。図では θ = π/6 を例にし、z は (√3/2, 1/2)、z³ は (0, 1) です。ここで偏角の代表値を論じる必要はなく、sin と cos の値を比較します。

図1の矢印は原点から各点への向きを示します。3乗は座標をそれぞれ3乗する操作ではありません。まず複素数として掛け算し、結果の実部と虚部を読むことが必要です。単位円では長さが1に保たれ、向きが3倍の角に対応します。

一方、z の3乗は分配法則で展開できます。i² = -1、i³ = -i に注意すると、

(c + si)³ = c³ + 3c²si + 3c(si)² + (si)³
          = c³ + 3c²si - 3cs² - s³i
          = (c³ - 3cs²) + (3c²s - s³)i

a、b、p、q が実数のとき、a + bi = p + qi なら a = p、b = q です。逆に両方が等しければ複素数も等しくなります。この相等の条件を上の2つの表示に使い、実部と虚部をそれぞれ比較します。i を含む項を機械的に虚部へ入れる前に、i² や i³ を整理しておくことが肝心です。

基本例題：3乗から三倍角を導く

実数 θ に対して、(cos θ + i sin θ)³ を2通りに表し、cos 3θ と sin 3θ をそれぞれ cos θ と sin θ で表してください。さらに cos 3θ は cos θ、sin 3θ は sin θ だけを用いた式に直してください。

c = cos θ、s = sin θ と置きます。図2のように展開した4項のうち、i が2個ある項は実部、3個ある項は虚部に移ります。係数3は、3つの因子のどの1つまたは2つから si を選ぶかという場合の数です。

図2に従って項を整理すると、次のようになります。

(c + si)³ = c³ + 3c²si + 3cs²i² + s³i³
          = c³ + 3c²si - 3cs² - s³i
          = (c³ - 3cs²) + (3c²s - s³)i

ド・モアブルの定理から同じ数は cos 3θ + i sin 3θ です。実部と虚部を別々に比較して、

cos 3θ = c³ - 3cs²
sin 3θ = 3c²s - s³

となります。ここから c² + s² = 1 を用いて、求める形に直します。

cos 3θ = c³ - 3c(1 - c²)
       = c³ - 3c + 3c³
       = 4c³ - 3c

sin 3θ = 3(1 - s²)s - s³
       = 3s - 3s³ - s³
       = 3s - 4s³

したがって、cos 3θ = 4 cos³ θ − 3 cos θ、sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin³ θ です。平方の置換には割り算がないので、c = 0 や s = 0 も除く必要はありません。θ = 0 では元の複素数が1で、導いた式も cos 0 = 1、sin 0 = 0 を与えます。これは符号を調べる点検であり、一般の場合の証明は上の展開と比較です。

この問題の分かれ目は、3乗のまま比べるか、1種類の関数にまとめるかです。前者の2式は展開から直接出ます。後者は c² + s² = 1 を追加して得られます。条件を後から足すのではなく、c と s が同じ角の余弦と正弦であることを使った変形です。

標準例題：4乗の実部と虚部

実数 α に対し、cos 4α と sin 4α を cos α と sin α で表してください。さらに sin 4α を sin α cos α と cos² α の積を使う形に整理してください。答えは等式で示します。

u = cos α、v = sin α とします。u、v は実数で u² + v² = 1 です。4乗を直接展開すると、

(u + vi)⁴ = u⁴ + 4u³vi + 6u²v²i² + 4uv³i³ + v⁴i⁴
          = u⁴ + 4u³vi - 6u²v² - 4uv³i + v⁴
          = (u⁴ - 6u²v² + v⁴) + (4u³v - 4uv³)i

i⁴ = 1 ですから、最後の項は正です。ド・モアブルの定理と実部・虚部を比較すると、

cos 4α = u⁴ - 6u²v² + v⁴
sin 4α = 4u³v - 4uv³
        = 4uv(u² - v²)
        = 4uv(u² - (1 - u²))
        = 4uv(2u² - 1)

よって sin 4α = 4 sin α cos α (2 cos² α − 1) です。実部も、u² + v² = 1 を使えば 1 − 8u²v² と書けます。実際、u⁴ + v⁴ = (u² + v²)² − 2u²v² = 1 − 2u²v² なので、残りの -6u²v² と合わせます。

別の道として、2乗した複素数をさらに2乗しても同じ結果が出ます。2乗後の実部は u² − v²、虚部は 2uv です。その2乗の虚部は 2(u² − v²)・2uv となり、上の 4uv(u² − v²) と一致します。いずれも同じ角の実数 u、v を使う場合に成立します。例えば α = π/2 なら z = i、z⁴ = 1 です。式に u = 0、v = 1 を戻すと実部1、虚部0で、元の4乗と合います。

発展例題：三倍角から正確な値へ

θ は 0 < θ < π/2、sin θ = 1/4 とします。z = cos θ + i sin θ に対して、z³ の実部と虚部、および sin 3θ を根号を使う正確な値で求めてください。θ の値そのものを求める必要はありません。

第1象限なので cos θ は正です。単位円の関係から、

cos² θ = 1 - sin² θ
        = 1 - 1/16
        = 15/16
cos θ = √15/4

負の平方根を選ばない理由は 0 < θ < π/2 という条件です。z = (√15 + i)/4 として直接3乗を展開します。

z³ = (√15 + i)³/64
   = (15√15 + 45i + 3√15 i² + i³)/64
   = (15√15 + 45i - 3√15 - i)/64
   = (12√15 + 44i)/64
   = 3√15/16 + (11/16)i

実部は 3√15/16、虚部は 11/16 です。ド・モアブルの定理から sin 3θ は虚部と等しく、11/16 です。三倍角の式に元の sin θ を戻しても、

3 sin θ - 4 sin³ θ = 3/4 - 4/64
                    = 12/16 - 1/16
                    = 11/16

となります。元の絶対値も、(3√15/16)² + (11/16)² = 135/256 + 121/256 = 1 です。3乗後も単位円上にあることと一致します。実部が正、虚部も正であることは、得られた点の位置とも合います。角を割って逆算する必要はありません。

もし 0 < θ < π/2 の条件がなく、sin θ = 1/4 だけなら cos θ は正負2通りです。sin 3θ は同じ値ですが、z³ の実部は正負が分かれます。片方の値を無条件に選ぶと、元の条件を満たすもう一方を落とします。求めるものが虚部だけか、複素数全体かで、必要な条件が変わります。

符号の誤りを式に戻す

図3は基本例題の展開で起きる誤りを、i² と i³ の置換から見直したものです。例えば 3cs²i² を +3cs² と書くと、実部を c³ + 3cs² と取り違えます。原因は i² = -1 を書かずに i を消したことです。修正するとこの項は -3cs² になり、実部は c³ − 3cs² です。

図3の2行目では i³ = i²・i = -i です。(si)³ を -s³ と実数にしてしまう誤りもあります。i が1個残るため、正しくは -s³i で、虚部へ入ります。どの項にも同じ処理を行い、最後に実部と虚部の箱を分けると、係数を落としにくくなります。

別の誤りは、三倍角を cos³ θ + i sin³ θ とするものです。これは交差する項を捨てています。例えば θ = π/4 では、正しい虚部は 3(√2/2)²(√2/2) − (√2/2)³ = √2/2 ですが、sin³ θ は √2/4 です。2つの値が違うため、この式は恒等式ではありません。反例は誤りの発見には使えますが、正しい式を得るには交差項を含む展開が必要です。

最後に、c² = 1 − s² から c = 1 − s とするのも誤りです。平方の等式と元の数の等式は別です。今回の整理では c の値を求めず、現れた c² をそのまま置き換えます。値を求める必要がある場合には、角の範囲を使って平方根の符号を選んでください。

練習問題

次の5問は実数の角を扱います。等式は指定された形で、数値は分数または根号を使った正確な値で答えてください。問題を読み終えてから、下の解答と比べます。

β を実数とします。(cos β + i sin β)² を展開し、cos 2β と sin 2β を cos β、sin β で表してください。
t を実数とします。5乗の展開を用い、cos 5t を cos t と sin t で表してください。i⁴ の符号を明記してください。
0 < φ < π/2、cos φ = 3/5 とします。cos 3φ と sin 3φ を正確に求めてください。
ψ を実数とします。sin 3ψ = sin ψ を満たす sin ψ の値を、重複なく列挙してください。角 ψ 自体は求めません。
γ を実数とします。cos 3γ = 4 cos³ γ + 3 cos γ という主張が誤りであることを、γ = π/3 を用いて示してください。正しい等式も書いてください。

練習の答えと解き方

a = cos β、b = sin β と置くと、a、b は実数です。普通に2乗し、i² = -1 を使います。

(a + bi)² = a² + 2abi + b²i²
          = (a² - b²) + (2ab)i

ド・モアブルの定理では cos 2β + i sin 2β です。実部と虚部を比べて cos 2β = cos² β − sin² β、sin 2β = 2 sin β cos β です。β = π/3 では z = (1 + √3 i)/2 なので z² = -1/2 + (√3/2)i です。2つの式も実部 -1/2、虚部 √3/2 を与え、元の2乗に戻ります。

a = cos t、b = sin t とします。i⁴ = 1、i⁵ = i です。

(a + bi)⁵ = a⁵ + 5a⁴bi + 10a³b²i² + 10a²b³i³ + 5ab⁴i⁴ + b⁵i⁵
          = a⁵ + 5a⁴bi - 10a³b² - 10a²b³i + 5ab⁴ + b⁵i
          = (a⁵ - 10a³b² + 5ab⁴) + (5a⁴b - 10a²b³ + b⁵)i

5乗の実部が cos 5t なので、答えは cos⁵ t − 10 cos³ t sin² t + 5 cos t sin⁴ t です。t = π では a = -1、b = 0 で、式は -1 です。元の z = -1 を5乗しても -1 となり、実部が一致します。5ab⁴ の符号を負にすると一般には一致しません。

第1象限なので sin φ > 0 です。sin² φ = 1 − 9/25 = 16/25 より sin φ = 4/5 です。三倍角の式へ代入すると、

cos 3φ = 4(3/5)³ - 3(3/5)
       = 108/125 - 225/125
       = -117/125
sin 3φ = 3(4/5) - 4(4/5)³
       = 300/125 - 256/125
       = 44/125

元の z = (3 + 4i)/5 を3乗すると、(27 + 108i − 144 − 64i)/125 = (-117 + 44i)/125 です。両成分が答えに一致し、さらに 117² + 44² = 125² なので長さも1のままです。

x = sin ψ とします。三倍角の式を条件に代入すると、

3x - 4x³ = x
2x - 4x³ = 0
2x(1 - 2x²) = 0

よって x = 0、x = √2/2、x = -√2/2 です。いずれも -1 以上1以下であり、実数の角の正弦として実現します。3値を元の等式に戻すと、x = 0 では両辺0、x = ±√2/2 では x² = 1/2 より 3x − 4x³ = 3x − 2x = x です。途中で x で割ると x = 0 を失うため、積が0になる場合に分けます。

γ = π/3 なら cos γ = 1/2、cos 3γ = cos π = -1 です。主張の右辺は、

4(1/2)³ + 3(1/2) = 1/2 + 3/2
                     = 2

左辺 -1 と右辺2は等しくありません。したがって主張は一般には成り立ちません。正しくは cos 3γ = 4 cos³ γ − 3 cos γ です。この右辺に 1/2 を戻すと 1/2 − 3/2 = -1 で、元の cos π と一致します。反例を1つ挙げれば誤った恒等式を否定できますが、正しい式の証明には前の3乗の展開を使います。

要点

実数の角に対する単位円上の複素数を累乗し、角を倍にした表示と展開を比べます。 i² = -1、i³ = -i、i⁴ = 1 を整理してから、実部と虚部に分けます。 1種類の三角関数に直すときは、同じ角について sin² θ + cos² θ = 1 を使います。計算した値は元の累乗にも戻し、条件や平方根の符号を確かめます。

手が止まった箇所の見分け方

展開の係数が合っていても結果が違うなら、各項の i の個数を丸で囲み、i² と i³ の置換を口に出して説明できるか確かめます。展開は正しいのに三角関数の式が逆なら、実部と虚部のどちらを cos 3θ と対応させたかをたどります。値を出す問題で平方根の正負を迷う場合は、角の範囲を図に戻して判断します。

個別指導では、途中の式を隠さず、例えば 3c(si)² がなぜ実数の負の項になるかを説明してもらいます。続いて角を1つ選び、導いた式と元の累乗の両方を計算して照合します。その説明が通れば、暗記した公式がどの項から生まれたかを自分で追えます。