高校数学C 複素数のn乗根—偏角の全候補を並べて異なる解を求める｜武蔵野個別指導塾

複素数のn乗根では、偏角に加える2kπから解を列挙し、零の場合との個数の違いも確かめられます。

よくあるのは、理系高3が複素数の偏角の代表値だけをnで割り、1つの答えを書いて手を止める場面です。その数をn乗して元に戻れば、確かに1つの解です。しかし、元の数の向きには一周分を加えた表し方もあります。割る前に一周を区別すると、割った後に別の向きが現れます。戻ることと、他の解がないことは別々に確かめましょう。

どこで場合を分けるか

まず、zⁿ = a の形で複素数を求める型があります。aが非零なら長さと角度をそれぞれ求め、角度の候補を並べます。a = 0なら偏角を使えません。積が0になる条件から直接z = 0と判断します。ここでnは正整数です。

次に、求めた根から偏角や実部に条件のあるものを選ぶ型があります。先に全候補を作り、指定範囲に直してから選びます。途中で候補を絞る場合も、境界を含むかどうかを確かめます。

さらに、得られた表示が重複していないことや、他の解を漏らしていないことを問われる型があります。代入で言えるのは候補が解であることです。逆に任意の解を極形式に置き、整数の余りに帰着させれば、漏れがないことまで説明できます。

一周を加えてから割る

nを正整数、aを非零の複素数とし、a = R(cos θ + i sin θ)、R > 0とします。θはaの偏角の1つです。同じaの偏角は θ + 2kπ、kは整数、と表せます。zⁿ = aならzも非零なので、z = r(cos φ + i sin φ)、r > 0と置けます。

ド・モアブルの定理によって、zのn乗の絶対値はrⁿ、偏角はnφです。複素数が等しいための条件を長さと向きに分けると、rⁿ = R、nφ = θ + 2kπです。Rの正のn乗根をρと書けば、候補は次の形です。

ρⁿ = R、ρ > 0
z = ρ{cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n)}

整数kを1増やすと、根の角は2π/nずつ進みます。図1のように、n = 3なら隣の候補までの角は2π/3です。半径はどの候補でも同じρです。最初の角をα = θ/3とした図で、αの値は元の数の向きによって変わります。

図1ではαを0として配置を示しています。実際の問題では元の偏角に応じて全体が回ります。k = 0からn − 1までを使うと、相異なるn個が得られます。実際、2つの番号の差をdとすると角の差は2dπ/nです。これが2πの整数倍ならdはnの倍数ですが、0からn − 1の範囲にある異なる番号の差はその条件を満たしません。

一方、任意の整数kは、整数の商と余りを使ってk = qn + s、0 ≤ s ≤ n − 1と書けます。対応する角はsの角に2qπを加えたものなので同じ複素数です。したがってこのn個で漏れもありません。θを別の偏角に替えると番号の付け方は変わりますが、根の集合は変わりません。

零の場合はこの議論の外です。zⁿ = 0ならzが非零だとその積も非零なので、z = 0です。0の偏角を作って公式に入れる必要はありません。重複して数えるのではなく、異なる解は1個と数えます。

基本例題：負の実数の3乗根

複素数zについて z³ = -8 を解き、答えを実部と虚部を用いて表してください。根の偏角を述べる際は 0 ≤ arg z < 2π とします。

右辺は非零で、絶対値は8、偏角の1つはπです。zの絶対値をrとすると、r > 0でr³ = 8なのでr = 2です。偏角をφとすると、次のように整数kを残します。

3φ = π + 2kπ
φ = (π + 2kπ)/3

k = 0、1、2の順に、φはπ/3、π、5π/3です。いずれも指定区間に入っています。三角比を代入すると次の3個です。

z = 2(cos(π/3) + i sin(π/3)) = 1 + √3 i
z = 2(cos π + i sin π) = -2
z = 2(cos(5π/3) + i sin(5π/3)) = 1 - √3 i

図2のように、3点はいずれも原点から距離2にあり、偏角は2π/3ずつ異なります。実軸方向と虚軸方向の縮尺は同じです。

図2の3点を元の条件へ戻します。絶対値は各2、偏角を3倍すると順にπ、3π、5πであり、いずれも-8の向きです。絶対値も2³ = 8に戻ります。3つの角は指定区間内で異なり、一般の議論から他の根はありません。代表値πを3で割ったπ/3だけで終えると、残る2点を落とします。

標準例題：根を並べて条件で選ぶ

z⁴ = -16 を満たし、実部が正である複素数zをすべて求めてください。答えは実部と虚部を用いて表し、偏角は 0 ≤ arg z < 2π で考えます。

右辺の絶対値は16、偏角の1つはπです。zは非零であり、絶対値は16の正の4乗根の2です。偏角をφとすると、

4φ = π + 2kπ
φ = π/4 + kπ/2

k = 0、1、2、3に対応する角はπ/4、3π/4、5π/4、7π/4です。余弦が正なのは最初と最後ですから、条件に合う根は次の2個です。

z = 2(cos(π/4) + i sin(π/4)) = √2 + √2 i
z = 2(cos(7π/4) + i sin(7π/4)) = √2 - √2 i

両方とも実部は正です。絶対値は2で、偏角を4倍するとπと7πになり、ともに負の実軸を向きます。4乗の絶対値も16なので元の式を満たします。残る2候補の実部は負ですから、条件に合うものは他にありません。

実部が正という条件を最初から角の範囲に直して探しても構いません。ただし、偏角の代表値を0以上2π未満としたとき、正の実部は区間の両端側に分かれます。第1象限だけを探すと第4象限の根が抜けます。全候補が少ない場合は列挙して符号を判定すると、境界の扱いを見直しやすくなります。

発展例題：右辺が文字を含む場合

実数tに対し z³ = 8t を考えます。異なる複素数解の個数をtの場合に分け、t > 0のときの解を、実数の正の3乗根を用いて実部と虚部で表してください。t < 0のときも解を同じ形で表します。

まずt = 0なら右辺が0なのでz = 0です。異なる解は1個です。tが非零なら右辺も非零で、一般の議論から異なる解は3個です。以下ではtの符号によって右辺の向きを分けます。

t > 0のとき、uをtの正の3乗根とするとu³ = tです。右辺の絶対値は8t、偏角の1つは0なので、根の絶対値は2u、偏角は0、2π/3、4π/3です。したがって、

z = 2u
z = 2u(-1/2 + (√3/2)i) = -u + √3 ui
z = 2u(-1/2 - (√3/2)i) = -u - √3 ui

3つとも絶対値は2uで、3乗した絶対値は8u³ = 8tです。偏角の3倍はそれぞれ0、2π、4πなので、右辺の正の実軸方向に戻ります。

t < 0のとき、vを-tの正の3乗根とします。v³ = -tであり、8tは絶対値8v³の負の実数です。偏角の1つをπとすると、根の絶対値は2v、偏角はπ/3、π、5π/3です。よって、

z = v + √3 vi
z = -2v
z = v - √3 vi

それぞれの3乗の絶対値は8v³ = -8tで、偏角の3倍はπ、3π、5πです。負の実軸上で大きさが-8tなので、いずれも8tに戻ります。v > 0のため3点は異なります。文字が入っていても、零か非零かの分岐を最初に置けば、偏角を定義できない場合を混ぜずに済みます。

失敗した答えをどこから直すか

基本例題で「-8の偏角はπだから、根は1 + √3 iだけ」とする答えを考えます。この数自体は正しい根ですが、答え全体としては不足です。原因は、偏角の代表値と偏角の全体を取り違えたことにあります。πに2πを加えても同じ-8を表しますが、3で割った後はπ/3とπであり、別の向きです。

図3のように、元の向きが同じでも、割る前の一周の回数に着目します。kを0、1、2と動かして3方向を作り、その後k = 3で最初の方向へ戻ることを確かめます。

図3でk = 3は新しい根ではありません。角が最初の角に2π加わるためです。逆に、kを0と1だけで止めると未確認の方向が残ります。個数が合わないときは角を割る前の式に戻り、整数の範囲を点検してください。

もう1つの誤りは、絶対値を8のままにすることです。角を正しく選んでも、長さ8の数の3乗は絶対値512です。右辺の絶対値8に戻らないため失敗が見つかります。長さの方程式r³ = 8を別に書き、正の解r = 2を使いましょう。偏角と長さのどちらか一方だけの検算では、もう一方の誤りを拾えません。

練習：候補を先に作って吟味する

次の5問を解いてから、下の解答で照合してください。偏角を使う場合は 0 ≤ arg z < 2π とします。答えは問題ごとに指定された形で表します。

1. z² = -25 を解き、実部と虚部を用いて表してください。
2. z³ = 27i を解き、実部と虚部を用いて表してください。
3. z⁴ = 81 を満たす根のうち、虚部が負のものを実部と虚部を用いて表してください。
4. z⁵ = 0 の異なる複素数解とその個数を答えてください。
5. z⁶ = 64 を満たす根のうち、偏角が π/2 以上3π/2 以下のものを実部と虚部を用いて表してください。

練習の解答と戻し方

1. 右辺の絶対値は25、偏角の1つはπです。根の絶対値をr、偏角をφとすると、r² = 25、2φ = π + 2kπです。r > 0なのでr = 5、k = 0、1でφ = π/2、3π/2です。答えは5i、-5iです。それぞれの2乗は-25で、角も異なります。非零の2乗根は2個なので漏れはありません。

2. 右辺の絶対値は27、偏角の1つはπ/2です。根の絶対値は3で、偏角は(π/2 + 2kπ)/3です。k = 0、1、2でπ/6、5π/6、3π/2となります。答えは(3√3)/2 + (3/2)i、-(3√3)/2 + (3/2)i、-3iです。各絶対値の3乗は27で、偏角の3倍はπ/2、5π/2、9π/2です。いずれも27iの向きに戻り、3つの根は異なります。

3. 右辺の絶対値は81、偏角の1つは0です。根の絶対値は3、偏角はkπ/2で、k = 0、1、2、3です。候補は3、3i、-3、-3iとなり、虚部が負なのは-3iです。実際に(-3i)⁴ = 81であり、他の3候補の虚部は0または正です。虚部0は負に含めません。

4. 積z・z・z・z・zが0なので、z = 0です。逆に0の5乗は0ですから条件を満たします。答えは0、異なる解の個数は1個です。0に偏角を割り当てて5個を作ることはできません。

5. 右辺は非零で、絶対値64の正の6乗根は2です。偏角はkπ/3、k = 0、1、2、3、4、5です。指定区間に入るのは2π/3、π、4π/3です。したがって答えは-1 + √3 i、-2、-1 − √3 iです。各点の原点からの距離は2で、角を6倍すると4π、6π、8πとなります。6乗の絶対値は64なので元の64に戻ります。残る角0、π/3、5π/3は指定区間の外です。端のπ/2と3π/2は候補の角にないため、今回は等号の有無で答えは変わりません。

境界と表示を点検する

候補を絞る問題では、角が条件の端に一致するかを先に調べます。等号があるなら端を含め、等号がなければ除きます。指定区間が負の角を含む形なら、候補の角に2πの整数倍を加減してから比較します。例えば同じ向きの角を異なる表示で2回数えないように、半開区間では片方の端だけを採用します。

また、実部と虚部の形を指定されたときは、角の一覧だけで答えを終えず、三角比を代入します。逆に角の形で答えるときも、絶対値を添えなければ点の位置は決まりません。指定された形に直した後に、長さと累乗後の向きをもう一度確認します。

手元に残す要点

• 非零の右辺では、絶対値と偏角を別々に求めます。
• 偏角には2kπを加えてからnで割り、k = 0からn − 1を使います。
• 候補を元の式と追加条件へ戻し、個数と重複を確認します。
• 右辺が0なら偏角を使わず、解は0とします。

根を1つしか書けないときは、まず元の偏角に2πを加えても同じ数を表す理由を説明できるか確かめます。次に、割った後の角がなぜ別の点を指すかを図と式でつなぎます。個別指導では、候補を出す式と元の累乗に戻す式を生徒自身に書いてもらい、長さと向きのどちらで止まるかを見ます。最後に零の右辺も比べれば、公式を使える条件が明確になります。