高校数学C 点を中心とする回転—中心を引いて戻す手順で移動後の点を求める｜武蔵野個別指導塾

中心との差を回してから中心を足す式を使い、固定点と中心からの距離で移動結果を確かめます。

よくあるのは、理系高3が原点以外を中心に点を回す問題で、移動前の複素数に回転を表す数をそのまま掛ける場面です。計算は最後まで進んでも、得られた点は原点のまわりに回っています。中心から見た差を回し、最後に中心の位置を戻すと、式の各部分が図の動きに対応します。

問題文から選ぶ入口

中心と回転角、移動前の点が与えられ、移動後の点を求める型では、まず中心との差を作ります。反時計回りを正とし、時計回りなら角を負にします。回転の向きが指定されない場合に、勝手に片方を選んではいけません。

移動前後の点と回転角から中心を求める型では、同じ式を中心について解きます。このとき、中心の係数が0になる場合に割り算はできません。特に1回転と同じ動きでは、点が動かない場合と動く場合を分ける必要があります。

中心からの拡大も加わる型では、掛ける数の絶対値が距離の倍率です。倍率が1なら距離を保存しますが、1以外なら一般には保存しません。図を描く前に、角だけでなく倍率も読み取ります。

中心との差を動かす

点C、P、Qをそれぞれ複素数 c、z、w で表します。Cを中心とし、Pを角 θ だけ反時計回りに回した点がQであるとします。回転を表す数を u = cos θ + i sin θ と置くと、|u| = 1 で、次の式が成り立ちます。

w - c = u(z - c)
w = c + u(z - c)

z − c はCからPへの向きと距離を表し、w − c はCからQへの向きと距離を表します。引き算によってCを基準にした後、uを掛けると向きがθだけ変わり、最後にcを足すことで元の平面に戻ります。図1のように、回す対象は原点からPへの位置ではなく、CからPへの差です。

図1では C = 1 + i、P = 3 + i、Q = 1 + 3i です。P − C = 2、Q − C = 2i なので、差にiを掛けると反時計回りにπ/2回転します。両方の差の絶対値は2です。中心にある点 z = c は差が0なので、回転後も w = c です。この場合に0の偏角を考える必要はありません。

より一般に、a = r(cos θ + i sin θ)、r > 0 とすれば、w − c = a(z − c) はCを中心に角 θ だけ回し、距離をr倍にします。絶対値の積の性質から |w − c| = r|z − c| です。a = 0 の場合はすべての点がCに移り、角を持つ回転とは読めません。a = 1 なら各点がそのまま残り、中心は一意に決まりません。a ≠ 1 なら固定点は w = z を代入して (1 − a)(z − c) = 0 より c だけです。

逆向きの移動を求めるとき、a ≠ 0 なら z − c = (w − c)/a です。倍率は1/r、回転角は -θ となります。差が0なら元も先も中心なので、角による説明とは別に扱います。

固定点と中心を取り違えないために

固定点とは、移動前と移動後が同じ点です。中心cを使った式では、z = c を代入すると差が0になるので、cは必ず固定点です。逆に、係数aが1でないときは、固定点の条件 z − c = a(z − c) を整理して (1 − a)(z − c) = 0 とできます。1 − aは0でないため、固定点はcに限られます。この議論では、aの絶対値が1である必要はなく、拡大を含む場合にも使えます。

一方、a = 1 ではどの点を代入しても動かず、固定点から中心を選べません。また、a = 0 では中心だけが固定点ですが、中心以外の点からは向きの情報が失われ、逆に元の点を決められません。固定点が一意にあることと、逆操作ができることは別の条件です。問題文が回転を指定しているときは係数の絶対値が1なので、係数が0になる心配はありません。

式から中心を求める際も、求めた値を固定点として代入するだけでなく、与えられた移動前後の点で差の関係を確かめます。固定点の確認は中心の候補を点検し、差の確認は向きと倍率まで点検するからです。2つを分けて書けば、符号の誤りを見つけた場所から計算を修正できます。

基本例題：直角に回した点

点Cを 2 + i、点Pを 5 + 2i とします。PをCのまわりに反時計回りにπ/2回転した点Qの複素数を、実部と虚部を用いて求めてください。

図2のように、まずCからPへ右に3、上に1進みます。反時計回りに直角に回すと、左に1、上に3進む差になります。

回転を表す数は i です。Qを w とすると、中心を引いてから掛けます。

w - (2 + i) = i((5 + 2i) - (2 + i))
w - (2 + i) = i(3 + i)
w - (2 + i) = -1 + 3i
w = 2 + i - 1 + 3i
w = 1 + 4i

答えは 1 + 4i です。元の場面に戻すと、CからQへの差は -1 + 3i で、CからPへの差 3 + i にiを掛けたものです。また、両方の距離の二乗は 3² + 1² = 10 です。距離の一致に加え、差をi倍した向きも確かめれば、逆向きの直角回転との取り違えを防げます。距離の一致だけでは、Cを中心とする円上の別の点も候補になるため、回転角の確認が必要です。

中心を逆算する例題

点P = 4 + 2i を反時計回りにπ/2回転したところ、点Q = 1 + 3i になりました。回転の中心Cを実部と虚部を用いて求めてください。

中心を c と置き、基本例題と同じ関係に移動前後の値を入れます。i ≠ 1 なので、中心の係数 1 − i は0ではありません。

(1 + 3i) - c = i((4 + 2i) - c)
1 + 3i - c = -2 + 4i - ic
(1 - i)c = 3 - i
c = (3 - i)/(1 - i)
c = (3 - i)(1 + i)/2
c = 2 + i

答えは 2 + i です。Pから中心を引くと 2 + i、Qから中心を引くと -1 + 2i です。前者にiを掛けると後者になり、距離もともに √5 です。指定された向きと元の2点に戻して確かめられます。

ここで、回転を表す数が1なら式は Q = P となり、中心を求めるために 1 − 1 で割れません。PとQが一致すればどの点を中心としてもその移動を実現し、一致しなければそのような中心はありません。割る前に係数を調べると、この2つの結論を落とさずに済みます。

発展例題：拡大も含む移動を戻す

中心C = -1 + 2i のまわりに、点Pを反時計回りにπ/2回転し、中心からの距離を2倍にした点をQ = 3 + 8i とします。Pを実部と虚部を用いて求め、中心からの距離と向きを確かめてください。

回転と拡大を合わせた係数は 2i です。Pを z と置くと、与えられたQから中心を引き、0でない 2i で割れます。

(3 + 8i) - (-1 + 2i) = 2i(z - (-1 + 2i))
4 + 6i = 2i(z + 1 - 2i)
z + 1 - 2i = (4 + 6i)/(2i)
z + 1 - 2i = 3 - 2i
z = 2

答えは 2 です。PからCを引いた差は 3 − 2i、QからCを引いた差は 4 + 6i です。実際に 2i(3 − 2i) = 4 + 6i なので、反時計回りの直角回転と2倍の拡大の両方を満たします。距離の二乗も順に13、52で、距離が2倍になっています。

移動後から戻るとき、係数に -2i を掛けると角の向きは戻っても距離はさらに2倍になります。逆操作には係数の逆数 1/(2i) = -i/2 を使います。回転だけの場合と違って、倍率も逆にしなければ元の点には戻れません。

誤答の位置から原因を探す

基本例題で、中心を考えずに 5 + 2i にiを掛けると -2 + 5i です。図3の誤った点Rは、正しいQ = 1 + 4i とは異なります。Rは原点を中心にPを回した点であり、計算自体の積は正しくても、基準にした点が違います。

中心 C = 2 + i からRまでの差は -4 + 4i、その距離の二乗は32です。CからPまでの距離の二乗10と一致しないため、図3のRは指定された回転の結果ではありません。式を w = i(z − c) + c に直すと、引く中心と足す中心が対になります。

別の誤りとして、w = i(z − c) として最後の c を足し忘れる場合があります。この値は中心からの差を表しますが、元の平面でのQの位置ではありません。中心を代入したときに w = c となるかを調べれば、戻し忘れを見つけやすくなります。ただし中心を固定することだけでは回転角は決まりません。中心以外の点でも差の向きを確かめます。

また、時計回りのπ/2に i を使うと向きが逆です。この場合の係数は -i です。距離はいずれも保存されるので、距離だけでは誤りが見えません。例えば差が正の実数なら、i倍は上、-i倍は下を向くことを基準にします。

練習：中心と向きを式にする

次の5問は、答えを実部と虚部を用いて表してください。各回転は指定した向きとし、距離の倍率が指定されない場合は1です。

1. C = -2 + i、P = 1 + 3i とします。PをCのまわりに反時計回りにπ/2回転した点Qを求めてください。
2. C = 3 − 2i、P = 1 + i とします。PをCのまわりに時計回りにπ/2回転した点Qを求めてください。
3. P = 2 + 4i をある点Cのまわりにπ回転すると Q = 6 − 2i になります。Cを求めてください。
4. C = 1 − i のまわりに、点Pを反時計回りにπ/2回転し、Cからの距離を3倍にした結果が Q = -5 + 2i です。Pを求めてください。
5. C = -1 − 2i、P = 3 + i とします。PをCのまわりにπ回転した点Qと、この回転で動かない点を求めてください。

練習の答えと確かめ

1. 差は (1 + 3i) − (-2 + i) = 3 + 2i です。反時計回りの係数iを用います。

Q - (-2 + i) = i(3 + 2i)
Q - (-2 + i) = -2 + 3i
Q = -4 + 4i

答えは -4 + 4i です。中心からの差 -2 + 3i は、元の差にiを掛けたものです。距離の二乗はどちらも13で、指定された回転の場面に戻ります。

2. 差は (1 + i) − (3 − 2i) = -2 + 3i です。時計回りなので係数は -i です。

Q - (3 - 2i) = -i(-2 + 3i)
Q - (3 - 2i) = 3 + 2i
Q = 6

答えは 6 です。中心からの差 3 + 2i は元の差の -i 倍であり、距離の二乗はともに13です。i倍とは向きが逆であることも式で確認できます。

3. π回転の係数は -1 です。中心を c とすると、次のように解けます。

(6 - 2i) - c = -((2 + 4i) - c)
6 - 2i - c = -2 - 4i + c
2c = 8 + 2i
c = 4 + i

答えは 4 + i です。中心からPへの差は -2 + 3i、中心からQへの差は 2 − 3i で、互いに負になっています。距離も等しく、2点の中点を中心に半回転した条件を満たします。

4. 中心からQへの差は (-5 + 2i) − (1 − i) = -6 + 3i です。係数 3i は0ではないため、逆数を使えます。

-6 + 3i = 3i(P - (1 - i))
P - (1 - i) = (-6 + 3i)/(3i)
P - (1 - i) = 1 + 2i
P = 2 + i

答えは 2 + i です。中心からの差 1 + 2i に 3i を掛けると -6 + 3i です。距離の二乗は移動前が5、移動後が45であり、距離が3倍という条件も満たします。

5. 元の差は (3 + i) − (-1 − 2i) = 4 + 3i です。π回転では差の符号を反対にします。

Q - (-1 - 2i) = -(4 + 3i)
Q - (-1 - 2i) = -4 - 3i
Q = -5 - 5i

Qは -5 − 5i です。中心からの差は -4 − 3i で、元の差と反対向き、同じ長さです。固定点を z とすると z − c = -(z − c) より 2(z − c) = 0 です。したがって固定点は中心 -1 − 2i であり、その点を実際に回しても差0のままです。

手元に残す要点

中心cを引き、回転・拡大の係数を掛け、cを戻します。
回転だけなら係数の絶対値は1で、中心からの距離を保存します。
逆操作では係数が非零と確かめて割り、角と倍率を両方戻します。
固定点や割る係数が0になる場合は、一般の計算から分けます。
答えは中心からの差の長さと向きに戻して検算します。

どこで止まったかを見分ける

図に中心と移動前の点を置き、最初に回す差を指してもらうと、中心の引き忘れを見分けられます。差は作れても答えがずれる場合は、掛けた後に中心を足したかを式の行ごとに確認します。距離は合うのに点が反対側にある場合は、正の実数に i または -i を掛けたときの向きを言葉と図で照合します。

個別指導では、中心を未知数とする式で割る前の係数を書き出し、その係数が0なら何が起こるかを説明してもらいます。答えを元の点の差へ戻し、向きと距離の両方を示せれば、計算と図の対応を自分で点検できます。