高校数学C 空間ベクトルの内積—長さの情報と成分表示で計算を確かめる｜武蔵野個別指導塾

対応する三成分の積を足す計算と長さの二乗の展開を結び、和や差の長さから内積を逆算する手順も確かめます。

よくあるのは、理系の高3が空間ベクトルの内積を計算した後、答えを三成分のまま書いてしまう場面です。成分を対応させて掛けるところまでは合っていても、最後の和を取らなければ内積にはなりません。たとえば三つの積が正、負、正なら、符号を含めて足した一つの数が答えです。

一方、成分が与えられず、長さや和の長さが与えられる問題もあります。どちらも同じ内積を別の情報から取り出す計算です。ここでは定義、分配法則、長さの二乗の展開を行き来し、答えを別の方法で点検します。数学Cでは座標とベクトルを平面から空間に拡張して扱います。

どの情報から始めるか

問題の入り口は大きく三つあります。第一に、二つのベクトルの成分が与えられる型です。対応する成分の積を足し、一つの実数にします。途中の三つの積を並べたものは計算の材料であり、答えのベクトルではありません。

第二に、長さと二方向のなす角が与えられる型です。どちらも零ベクトルでないとき、長さの積に角の余弦を掛けます。角が鈍角なら余弦が負になるので、内積も負です。角が与えられていても、零ベクトルに角を割り当てることはできません。

第三に、二つの長さと和や差の長さから内積を逆算する型です。和の長さをそのまま足し算せず、二乗してから分配法則を使います。展開の中央に現れる内積の符号と係数を追えば、成分が未知でも値を取り出せます。

積を一つの数にする

以下、a、bを空間のベクトルとし、その大きさを|a|、|b|と書きます。両方が零ベクトルでない場合、なす角θは0以上180度以下に取り、内積を次のように定義します。

a・b = |a||b| cos θ

いずれかが零ベクトルの場合、その内積は0とします。この場合は角を使わずに定めています。内積は実数なので、負の値も0も取り得ます。長さは負になりませんが、内積は長さそのものではありません。

図1のように、二つの矢印の始点をそろえると、角は二つの向きの間で測れます。図は空間中の二方向を含む平面を表した模式図です。矢印の向きを反転すると余弦の符号も変わるため、片方を逆向きにして計算する際には符号に注意します。

図1のθが直角より小さいとき内積は正、直角のとき0、直角より大きいとき負です。ただし内積0から垂直な二方向だと結論するには、両方が非零である必要があります。零ベクトルとの内積も常に0だからです。

a = (a₁, a₂, a₃)、b = (b₁, b₂, b₃)なら、直交する座標軸の単位ベクトルを用いて展開することで、次の成分公式を得ます。同じ軸の単位ベクトル同士の内積は1、異なる軸同士は0です。

a・b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

対応する成分以外の積を足す公式ではありません。成分の順番をそろえ、負の数には括弧を付けると符号を追えます。a自身との内積は |a|² なので、零ベクトルを含むどのaにも次が成り立ちます。

a・a = a₁² + a₂² + a₃² = |a|²

内積には交換法則と分配法則があり、実数倍も外へ出せます。そのため、長さの二乗は次のように展開できます。ここでa・bとb・aは等しいので、中央の項は2個分です。

|a + b|² = (a + b)・(a + b)
          = |a|² + 2a・b + |b|²
|a - b|² = (a - b)・(a - b)
          = |a|² - 2a・b + |b|²

これらは零ベクトルが含まれても使えます。和の長さを求める場合は右辺で二乗を求めた後、長さが0以上であることから、その非負の平方根を取ります。和の長さが常に|a| + |b|になるわけではありません。

基本例題：成分から和と差へ

問題　a = (2, -1, 2)、b = (1, 2, -2)とします。a・bを整数で、|a + b|と|a − b|を根号を用いて求めてください。

図2のように、まず同じ位置の成分を掛け、三つの積を一つの数へまとめます。これは座標の対応を示す図であり、空間の長さを図上の線分の長さで表したものではありません。

a・b = 2・1 + (-1)・2 + 2・(-2)
     = 2 - 2 - 4
     = -4
|a|² = 2² + (-1)² + 2²
     = 9
|b|² = 1² + 2² + (-2)²
     = 9
|a + b|² = 9 + 2・(-4) + 9
             = 10
|a - b|² = 9 - 2・(-4) + 9
             = 26

したがって、a・b = -4、|a + b| = √10、|a − b| = √26です。両ベクトルの長さは3で非零なので、負の内積はなす角が鈍角であることとも整合します。数を返す内積と、非負の数を返す長さを区別してください。

元の成分に戻して照合します。a + b = (3, 1, 0)なので長さの二乗は9 + 1 + 0 = 10です。またa − b = (1, -3, 4)なので二乗は1 + 9 + 16 = 26です。差の式の中央がプラスになっていないかも、ここで点検できます。

標準例題：長さから内積を逆算する

問題　空間のベクトルu、vについて、|u| = 4、|v| = 3、|u + v| = 5です。u・vを整数で求め、両者のなす角を度数法で答えてください。

まず長さがともに正なので、なす角を定義できます。和の長さを二乗して分配法則を使います。

|u + v|² = |u|² + 2u・v + |v|²
5² = 4² + 2u・v + 3²
25 = 25 + 2u・v
2u・v = 0
u・v = 0

非零の二つのベクトルについて、内積の定義からcos θ = 0です。0度以上180度以下の範囲でθ = 90度です。答えはu・v = 0、なす角は90度です。

逆にこの答えを和の二乗へ戻すと16 + 0 + 9 = 25で、与えられた長さ5の二乗と一致します。平方根は非負なので長さも5です。もし|u|が0なら内積は0と求められても角は定義できません。計算結果の0と角の存在条件は別々に確認します。

発展例題：実数の値と成立条件

問題　空間のベクトルp、qについて、|p| = 2、|q| = 3、p・q = 3とします。実数tに対し|p − tq|² = 7となるtをすべて求めてください。答えは分数または整数で表します。

長さの二乗を展開すると、未知数は内積の実数倍として扱えます。pとqは非零ですが、展開自体には非零という条件は不要です。

|p - tq|² = |p|² - 2t(p・q) + t²|q|²
             = 4 - 6t + 9t²
4 - 6t + 9t² = 7
9t² - 6t - 3 = 0
3t² - 2t - 1 = 0
(3t + 1)(t - 1) = 0
t = -1/3 または t = 1

答えを元の長さの二乗に戻します。t = -1/3では4 + 2 + 1 = 7、t = 1では4 − 6 + 9 = 7です。両方とも条件を満たします。p・q = 3は|p||q| = 6の範囲内で、cos θ = 1/2となる非零の二方向を取れるので、与えられた情報も矛盾しません。

この例では二次方程式に二つの解が現れました。これは同じ長さを与える実数倍が二通りあることを意味します。最初に片方の符号を決めつけると、もう一方を落とします。因数分解した後も、それぞれの因子が0となる場合を調べてください。

また、与えられた内積が長さの積より大きい場合は、余弦の値が1を超えてしまい、非零のベクトルは存在しません。逆に、内積が長さの積の負の値より小さくても存在しません。計算で方程式が作れても、最初の情報が実際に成立するかを別に点検します。

未知数を求めた後に二乗の式へ戻すのは、因数分解の間違いだけでなく、展開時の符号を調べるためです。元の条件が長さそのものなら、平方後に得た候補について非負の長さにも戻して確かめます。

誤答を直す：積の列は答えではない

基本例題で、対応する成分の積を並べて「a・b = (2, -2, -4)」とする誤答を考えます。図3のように、括弧内の三つは途中の計算です。内積の成分公式は三つの積の和を要求するため、この列のままでは一つの実数になりません。

図3の列を足すと2 − 2 − 4 = -4です。修正後の答えは実数で、三成分を持ちません。また、-2を落として2 + 2 − 4 = 0とすると、元の成分による計算と一致しません。括弧を付けて負の数を掛ける操作と、最後の加算を分けて書くと、どちらの失敗か特定できます。

長さの展開にも似た落とし穴があります。|a − b|²を|a|² − |b|²とするのは誤りです。(a − b)を両側に置いて4項へ分配すると、二つの交差項がそれぞれ-a・bです。これらを足して-2a・bとし、最後の(-b)・(-b)は正の|b|²になります。式の形を覚える前に、この符号の出どころをたどります。

練習：五つの入口

各問は独立しています。答えの形式を確認してから計算してください。

1. c = (1, -3, 2)、d = (4, 1, -1)のとき、c・dを整数で求めてください。
2. 非零のベクトルe、fの長さがそれぞれ5、2、なす角が120度のとき、e・fを整数で求めてください。
3. |g| = 3、|h| = 4、g・h = 2のとき、|g + h|を根号を用いて求めてください。
4. |j| = 5、|k| = 2、|j − k| = 5のとき、j・kを整数で求めてください。
5. m = (2, 1, -1)、n = (1, -2, 2)について、|m + sn|² = 11を満たす実数sをすべて求めてください。答えは分数または整数で表してください。

解答と考え方

1. 対応する成分を掛け、符号を含めて足します。

c・d = 1・4 + (-3)・1 + 2・(-1)
     = 4 - 3 - 2
     = -1

答えは-1です。元の成分で三つの積を確認すると4、-3、-2なので、和は確かに-1です。成分を掛けた列を答えにしないことが第一の確認点です。

2. 二つとも非零なので角による定義を使えます。cos 120度 = -1/2です。

e・f = 5・2・(-1/2)
     = -5

答えは-5です。-5を長さの積10で割ると-1/2となり、与えられた角の余弦に戻ります。鈍角なので内積が負という符号の確認もできます。

3. まず長さの二乗を展開します。

|g + h|² = |g|² + 2g・h + |h|²
             = 9 + 4 + 16
             = 29
|g + h| = √29

答えは√29です。二乗すると29で、与えられた長さと内積から得る9 + 4 + 16に戻ります。長さは非負なので負の平方根は取りません。

4. 差の二乗の中央の符号に注意します。

|j - k|² = |j|² - 2j・k + |k|²
25 = 25 - 2j・k + 4
2j・k = 4
j・k = 2

答えは2です。代入すると25 − 4 + 4 = 25で、差の長さは非負の平方根5となり、条件に戻ります。内積を求める際に長さの差を直接使わないようにします。

5. 先に成分から必要な数を出します。

|m|² = 4 + 1 + 1 = 6
|n|² = 1 + 4 + 4 = 9
m・n = 2 - 2 - 2 = -2
|m + sn|² = 6 - 4s + 9s²
6 - 4s + 9s² = 11
9s² - 4s - 5 = 0
(9s + 5)(s - 1) = 0
s = -5/9 または s = 1

答えは-5/9、1です。s = 1ではm + n = (3, -1, 1)で、その長さの二乗は9 + 1 + 1 = 11です。s = -5/9ではm + sn = (13/9, 19/9, -19/9)で、二乗の和は(169 + 361 + 361)/81 = 11です。どちらも元の成分に戻して成立します。

手元に残す要点

• 内積は対応する成分の積の和で、一つの実数です。
• 角を使う定義では二つのベクトルが非零か先に調べます。
• 和と差の長さは二乗して分配し、交差項の符号を追います。
• 求めた値を元の成分や長さの条件に戻して照合します。

つまずきを見分ける

答えが三つ並んだときは、どの演算を求められたかを問題文へ戻って確かめます。内積なら各積の後に和を書く欄を設け、長さなら最後に非負の平方根を取ります。途中の列と結果を別の行に置けば、符号の誤りも見つけやすくなります。

個別指導で式を確認するときは、まず本人に「この行はベクトルか数か」を説明してもらいます。次に和か差かを図と言葉で示し、二乗の交差項を分配から書き直します。角を使う場面では非零条件も口に出して確認すると、式が使える理由までたどれます。三成分から生まれる一つの数が、空間の内積です。