高校数学C 空間座標—三つの軸と座標平面を分けて点の位置を読み取る｜武蔵野個別指導塾

横方向と高さの符号を区別し、座標平面への正射影や条件からの点の決定を通して空間座標を読み解きます。

よくあるのは、理系の高3が立体の図を見て、紙面の奥に見える向きと座標の負の向きを混同する場面です。点が左下に描かれているからといって、どの成分が負かは決まりません。まず軸の正の向きを見て、各成分がその軸に沿ってどれだけ進むかを読みます。空間座標は平面の座標にもう1方向を加える考え方です。ここでは軸と座標平面への所属、正射影を中心に扱います。

図から数へ、数から図へ

出方の1つは、点の3成分を読み、どの座標平面や座標軸にあるかを答える問題です。平面上にあるには成分が1つ0、軸上にあるには成分が2つ0になることを使います。原点では3つとも0です。0の個数まで調べると、平面上であることと軸上であることを取り違えにくくなります。

もう1つは、点から座標平面へ垂線を下ろし、その足の座標を求める問題です。足では平面に垂直な方向の成分が0になり、残る成分は変わりません。3つ目は、複数の射影や符号の条件から元の点を決める問題です。条件が矛盾すれば点は存在せず、情報が足りなければ複数の点が残ります。1点に決まると思い込まず、残った成分を確認します。

3つの数が示す方向

互いに垂直な3本の数直線を、共通の原点 O で交わる x軸、y軸、z軸とします。点 P の座標を P(a, b, c) と書くと、順に x座標が a、y座標が b、z座標が c です。座標の順序は固定されます。例えば (a, b, c) と (b, a, c) は、a = b の場合を除いて異なる点です。数が負なら、その軸の正の向きと反対に進みます。

図1のように、原点から各軸に沿った移動を重ねると点の位置が決まります。図は空間を平面に投影した見取り図なので、紙面上での角度や長さを実際の値と同一視しません。軸に添えた名前と正の向きが読み取りの基準です。

図1では x、y、z の各方向に進んで P に至る道筋を描いています。移動の順序を入れ替えても、各方向の移動量が同じなら終点は同じです。途中の折れ線の長さと、原点から点までの距離は別の量です。

x軸と y軸を含む平面を xy平面といい、その上の点は (x, y, 0) と表せます。逆に z座標が0なら、その点は xy平面上です。同様に yz平面は x = 0、zx平面は y = 0 で表されます。平面名に書かれていない軸の成分が0、と覚えると区別できます。x軸上の点は (x, 0, 0)、y軸上は (0, y, 0)、z軸上は (0, 0, z) です。

平面への正射影とは、点からその平面に垂直な直線を引いたときの交点です。座標軸は互いに垂直なので、P(a, b, c) の xy平面への正射影は (a, b, 0)、yz平面への正射影は (0, b, c)、zx平面への正射影は (a, 0, c) です。P がもともと対象の平面上なら、垂線の足は P 自身です。符号を正に直したり、残る2成分を入れ替えたりする操作はありません。

点から xy平面までの距離は |c| です。c が負でも距離は負になりません。点と射影の間で変わるのは z座標だけなので、その差の大きさを取ります。同じ理由で yz平面までの距離は |a|、zx平面までは |b| です。距離が0なら点はその平面上にあります。距離だけでは平面のどちら側かを区別できず、正負の条件が別に必要です。

射影を逆向きに考えると、1枚の座標平面への射影から元の点までの垂線上には、一般に多数の候補があります。例えば xy平面上の足が決まっていても、高さを表す z はまだ決まりません。高さの符号まで指定されても、大きさが指定されなければ候補は残ります。条件を式にした後、3成分がそれぞれ定まったかを確認してください。

基本例題：射影で消える成分

点 A(3, -2, 4) について、xy平面、yz平面、zx平面への正射影をそれぞれ座標で求め、各平面までの距離を整数で答えてください。また、A が座標平面上にあるか判定してください。

図2のように、xy平面への射影 H は、A から z軸に平行な方向に下ろした足です。平面は z = 0 なので、x と y を保ちながら z を0にします。

図2の H について、次の順に成分を調べます。

A = (3, -2, 4)
H = (3, -2, 0)
AH = |4 - 0| = 4

yz平面では x成分を0にします。残りの y、z 成分はそのままです。

射影 = (0, -2, 4)
距離 = |3| = 3

zx平面では y成分を0にします。

射影 = (3, 0, 4)
距離 = |-2| = 2

したがって射影は順に (3, -2, 0)、(0, -2, 4)、(3, 0, 4)、距離は順に 4、3、2 です。A の成分はどれも0でないので、A はどの座標平面上にもありません。戻して確認すると、各射影は指定された成分が0で、元の点とはその成分だけが異なります。図の H から A への向きも z の正の向きです。

ここで距離を -2 と答えた場合は、y座標の符号を距離に持ち込んでいます。符号は位置の側を表し、距離はその差の大きさを表します。逆に、距離が2という情報だけで y = -2 と決めることもできません。y = 2 の点も同じ平面から距離2にあります。

標準例題：2つの射影から元の点を探す

点 P の xy平面への正射影が (2, -3, 0)、yz平面への正射影が (0, -3, 5) です。P の座標を整数で求め、条件を満たす点の個数を答えてください。

P = (x, y, z) と置きます。座標を消す前に未知数を並べると、2つの情報の重なりが見えます。

xy平面への射影 = (x, y, 0) = (2, -3, 0)
x = 2、y = -3
yz平面への射影 = (0, y, z) = (0, -3, 5)
y = -3、z = 5
P = (2, -3, 5)

両方に現れる y はどちらも -3 なので矛盾しません。x、y、z がそれぞれ定まるため、点は1個です。得られた点の z を0にすると (2, -3, 0)、x を0にすると (0, -3, 5) となり、与えられた2つの射影に戻ります。

もし後者の y座標が -3 以外なら、同じ y が2つの異なる値に等しくなるため、条件を満たす点はありません。また xy平面への射影しか与えられなければ、z は任意の実数です。図を1枚描けても、それが唯一の点だとは限りません。射影の条件では、見えている成分と消えてしまった成分を分けて考えます。

発展例題：距離と符号を組み合わせる

点 Q は xy平面からの距離が3、yz平面からの距離が2、zx平面からの距離が4です。さらに x > 0、y < 0、z < 0 とします。Q の座標を整数で求めてください。また、符号の条件を取り除いた場合に何点あるか答えてください。

Q = (x, y, z) と置きます。各距離は平面名にない成分の絶対値です。距離はどれも正なので、各成分は0ではありません。

|z| = 3
|x| = 2
|y| = 4
x > 0 より x = 2
y < 0 より y = -4
z < 0 より z = -3
Q = (2, -4, -3)

符号を指定しないと、x は 2 または -2、y は 4 または -4、z は 3 または -3 です。それぞれ独立に選べるので、点の個数は 2・2・2 = 8 です。Q の各座標の絶対値を取ると、xy平面まで3、yz平面まで2、zx平面まで4に戻り、指定された符号にも合います。

距離が0の場合は様子が変わります。例えば xy平面までの距離が0なら z = 0 であり、z の正負は選べません。距離の条件だけでは z > 0 や z < 0 と両立せず、そのような条件が追加された場合は点が存在しません。正の距離の個数から場合の数を数える前に、0や矛盾を調べる必要があります。

誤答を図で直す

点 B(-2, 3, -4) の xy平面への射影を (-2, 0, -4) と答えたとします。確かに成分を1つ0にしていますが、消したのは y成分です。この点は y = 0 を満たす zx平面上の点で、xy平面上にあるとは限りません。実際に z = -4 なので xy平面にはありません。

図3のように、平面の名前と0にする成分を対にしてから計算します。xy平面では z = 0 なので、正しい射影は (-2, 3, 0) です。元の点と比較すると x、y は保たれ、z だけが変わっています。これで足が平面上にあることと、そこへ向かう方向が平面に垂直であることの両方を確認できます。

符号を扱う別の誤りとして、B と xy平面の距離を -4 とする答えもあります。射影の z座標との差は -4 ですが、その大きさは 4 です。位置の符号と長さの非負性を別々に確かめると、射影と距離のどちらも修正できます。

手を動かす5問

次の点や条件は、それぞれ独立です。座標は整数または文字式で、距離と点の個数は整数で答えてください。

1. C(0, 5, -2) が属する座標平面と座標軸を答えてください。
2. D(-4, 1, 6) の3つの座標平面への正射影と、それぞれの平面までの距離を求めてください。
3. 点 E の xy平面への正射影が (-1, 2, 0)、zx平面への正射影が (-1, 0, -5) です。E の座標と条件を満たす点の個数を求めてください。
4. 点 F の yz平面への正射影が (0, 2, 3)、zx平面への正射影が (4, 0, 1) です。条件を満たす点の個数を求めてください。
5. 点 G は xy平面と zx平面からの距離がそれぞれ2、3で、yz平面上にあります。G の候補をすべて座標で表し、個数を求めてください。

練習の解答とたどり方

1. C は x = 0 なので yz平面上です。y、z はともに0でないため、どの座標軸上にもありません。3つの平面の条件に戻すと、xy平面に必要な z = 0 と zx平面に必要な y = 0 はいずれも満たしません。軸には2成分の0が必要ですが、C では0は1成分です。

2. D の各成分を対象の平面に応じて1つずつ0にします。

xy平面: 射影 (-4, 1, 0)、距離 |6| = 6
yz平面: 射影 (0, 1, 6)、距離 |-4| = 4
zx平面: 射影 (-4, 0, 6)、距離 |1| = 1

それぞれの射影を D と比べると、変わる成分は平面に垂直な方向の1成分です。元の点のその成分との差の大きさも、順に 6、4、1 となります。負の x座標でも距離は4です。

3. E = (x, y, z) とすると、射影の条件から次のようになります。

(x, y, 0) = (-1, 2, 0)
(x, 0, z) = (-1, 0, -5)
x = -1、y = 2、z = -5
E = (-1, 2, -5)

共通する x の値は一致し、3成分が決まるので1個です。E の z を0にすると (-1, 2, 0)、y を0にすると (-1, 0, -5) に戻ります。

4. F = (x, y, z) と置くと、最初の射影から y = 2、z = 3 です。次の射影から x = 4、z = 1 です。同じ z が3と1に等しくなることはないので、条件を満たす点は0個です。共通の成分を照合せず (4, 2, 3) と答えても、zx平面への射影は (4, 0, 3) となり、与えられた (4, 0, 1) と一致しません。

5. G = (x, y, z) と置き、所属と距離を式にします。

x = 0
|z| = 2
|y| = 3
y = 3 または -3
z = 2 または -2

候補は (0, 3, 2)、(0, 3, -2)、(0, -3, 2)、(0, -3, -2) の4個です。各点で x = 0 なので yz平面上にあり、|z| = 2、|y| = 3 も満たします。x は0に固定されるため、正負を2通りとして数えてはいけません。

手元に残す要点

• 座標の順序は x、y、z です。
• 座標平面上では、その平面名にない成分が0です。
• 正射影では垂直な方向の成分を0にし、残りを保ちます。
• 平面までの距離は消した成分の絶対値です。
• 複数の条件では共通成分の一致と未決定の成分を調べます。

つまずきを見分ける

図を見て座標が決まらないときは、3軸の正方向に矢印を添え、点から各座標平面への足をそれぞれ書いてみてください。足の位置を描いた後に「どの成分が0で、どの成分が保たれるか」を声に出して説明できるかを確かめます。個別指導でも、座標だけを答える前にこの対応を図と式で確認できます。

点が存在しない条件では、共通成分の矛盾を1行ずつ示します。条件が足りないときは、任意に動かせる成分を残して表します。座標軸と座標平面の違いが見えれば、空間の点の位置は3つの数で確かに捉えられます。