高校数学III 偶関数・奇関数の定積分—対称な区間と積の偶奇を確かめて計算する｜武蔵野個別指導塾

対称でない区間を分割する例や中心を移す例から、関数の偶奇と積分区間を別々に判定する必要が見えてきます。

よくあるのは、奇関数を見つけた瞬間に定積分の値を0と書く場面です。しかし、左右で打ち消し合うには、関数の性質に加えて積分区間も対応していなければなりません。例えば左端と右端の原点からの距離が違えば、対応する部分の外に積分が残ります。式の偶奇と区間の中心を別々に点検し、計算を短くできる場所を探しましょう。

ここでは偶奇を使った定積分の計算を扱います。積分の基本性質や置換積分を使いますが、面積や体積の問題には立ち入りません。学習指導要領の数学IIIには積分の基本性質と置換による方法が含まれています。

最初に見たい3つの形

1つ目は、区間が -a から a までの形です。被積分関数が偶関数なら正の側の積分を2倍し、奇関数なら値は0です。ただし、その式が区間全体で連続であるかも確かめます。分母が0になる点を含むとき、通常の定積分としてそのまま扱うことはできません。

2つ目は、偶関数と奇関数の和や積です。和では項ごとに分け、積では負号の個数を調べます。例えば偶関数と奇関数の積は奇関数ですが、偶関数と奇関数の和は一般にどちらでもありません。式全体をひとまとめに判定できなくても、項別なら対称性を使える場合があります。

3つ目は、区間の中心が原点以外にある形です。区間の中点を c としたとき、x=c+t と置けば、t の区間は0を中心とする対称な区間に変わります。元の式が x の偶関数かどうかではなく、移した後の t の式が偶関数か奇関数かを調べます。

対称性の条件を式にする

原点について対称な定義域で定義された関数 f が、各 x に対して f(-x)=f(x) を満たすとき偶関数、f(-x)=-f(x) を満たすとき奇関数といいます。定義域も条件です。例えば x² の式を正の数だけで考える場合、負の x における値が定義されていないので、この定義をそのまま適用できません。

偶関数のグラフでは x と -x の値が等しく、奇関数では符号が反対です。図1のように、同じ幅に対応する2つの値を比べることが、後の積分の性質につながります。点が軸の上にあるか下にあるかも含めて符号を読みます。

図1の左は偶関数、右は奇関数の対応です。奇関数が0で定義されているなら、f(0)=-f(0) なので f(0)=0 です。ただし、0を通る関数が必ず奇関数になるわけではありません。判定には、定義域内の各 x で式全体を比較する必要があります。

f が [-a,a] で連続、a>0 とします。負の側で x=-t と置換すると、端点と向きがともに変わるため、次のようになります。

∫[-a→0] f(x) dx = ∫[a→0] f(-t)(-dt)
                    = ∫[0→a] f(-t) dt
∫[-a→a] f(x) dx = ∫[0→a] {f(-t)+f(t)} dt

偶関数なら括弧は 2f(t)、奇関数なら0です。したがって偶関数では ∫[-a→a] f(x) dx=2∫[0→a] f(x) dx、奇関数では ∫[-a→a] f(x) dx=0 です。これは符号付きの積分値の等式です。積分区間が対称でない場合に、この等式をそのまま使ってはいけません。

偶関数同士の積と奇関数同士の積は偶関数です。後者では負号が2つ現れて消えます。偶関数と奇関数の積は負号が1つ残り、奇関数です。定数倍でも偶奇は保たれ、偶関数同士の和は偶関数、奇関数同士の和は奇関数です。0の関数は両方の条件を満たすことにも注意します。

基本例題：項を分けて対称性を使う

次の定積分を分数で求めてください。

∫[-2→2] (x⁴+3x³+2) dx

多項式は全区間で連続です。x⁴ と定数2は偶関数、3x³ は奇関数なので、積分の線形性と対称性から次を得ます。

∫[-2→2] (x⁴+3x³+2) dx
= 2∫[0→2] (x⁴+2) dx + 0
= 2[x⁵/5+2x]（0から2まで）
= 2(32/5+4)
= 104/5

1行目から2行目では、奇数次の項の積分値が0であることと、偶数次の項の左右が等しいことを使いました。次の行は原始関数を微分すると x⁴+2 に戻ります。端点を入れると下端では両項が0です。最後に2倍する範囲は括弧全体です。

図2のように、左右で対応する部分を考えると、奇数次の項の符号が反転します。一方、偶数次の項と定数は同じ値をとります。式全体は偶関数でも奇関数でもありませんが、和を分けることで対称性を利用できます。

元の式を直接積分しても、原始関数は x⁵/5+3x⁴/4+2x です。両端での差では 3x⁴/4 の値が等しく消え、残りが104/5になります。これは元の区間と向きに戻した確認です。

標準例題：積の偶奇を見て分母を残す

次の定積分を π を含む正確な式で求めてください。

∫[-π/2→π/2] (x² cos x + x sin x) dx

各項は区間全体で連続です。x² と cos x は偶関数なので、その積は偶関数です。x と sin x はともに奇関数なので、その積も偶関数です。和全体が偶関数となり、正の側の2倍にできます。奇関数同士の積を奇関数としないことが分かれ目です。

I = 2∫[0→π/2] (x² cos x+x sin x) dx
∫ x² cos x dx = x² sin x - 2∫ x sin x dx
∫ x sin x dx = -x cos x + sin x

2行目は x² を微分し、cos x を積分する部分積分です。3行目も x を微分し、sin x の原始関数を -cos x とした部分積分です。この2行から、被積分関数の原始関数は x² sin x+x cos x-sin x とわかります。実際に微分すると、余分な 2x sin x と -2x sin x が消えて元の和に戻ります。

I = 2[x² sin x+x cos x-sin x]（0からπ/2まで）
  = 2(π²/4-1)
  = π²/2-2

上端では sin(π/2)=1、cos(π/2)=0、下端では各項が0です。偶関数の正の側を2倍する操作と、原始関数の端点代入を分けて記録すると係数を落としにくくなります。

発展例題：対称の中心を動かす

次の定積分を分数で求めてください。

∫[1→5] {x²-6x+10+(x-3)³} dx

区間の中点は3、両端までの距離は2です。被積分関数は多項式なので全区間で連続です。x 自体について偶奇を調べても、区間は原点対称ではありません。そこで x=3+t と置き、積分の中心を移します。dx=dt で、x=1 のとき t=-2、x=5 のとき t=2 です。

x²-6x+10 = (x-3)²+1
I = ∫[-2→2] (t²+1+t³) dt
  = 2∫[0→2] (t²+1) dt
  = 2[t³/3+t]（0から2まで）
  = 2(8/3+2)
  = 28/3

t³ は奇関数なので対称区間の積分が0です。t²+1 は偶関数なので2倍します。中心移動後の式を、元の x の式と混ぜずに書くことが肝心です。逆に t=x-3 を戻すと、t²+1+t³ は問題の被積分関数に一致し、端点も1と5に戻ります。

中心 c から同じ距離の点で値が等しいとき、移動後の関数は偶関数です。値の符号が逆なら奇関数です。この判定は x の偶奇とは別です。中心が変われば、対称性の有無も変わります。

誤答をほどく：奇関数でも端の余りがある

∫[-1→3] x³ dx を0とする答案を考えます。x³ が奇関数であることは正しいですが、区間の中心は1であり、原点ではありません。図3のように [-1,1] の対応部分と [1,3] の残りに分けて考えます。

図3では、原点から同じ距離の -1 と1が対応します。1から3は対応する負の側を区間内に持たず、消せません。積分の加法性を使うと、正しい計算は次のようになります。

∫[-1→3] x³ dx = ∫[-1→1] x³ dx + ∫[1→3] x³ dx
                     = 0 + [x⁴/4]（1から3まで）
                     = 81/4-1/4
                     = 20

残った区間では x³ は正なので、正の答えも元の条件と整合します。反対に、端点が対称でも関数が奇関数とは限りません。また、例えば 1/x は原点について符号が反転しますが、0で定義されず連続でもないので、通常の定積分として [-1,1] に奇関数の公式を適用できません。式の対称性、区間、連続性の3点を別々に確かめます。

練習：先に5問を解く

各問とも定積分の値を求め、π や e を含む場合はそれらを残した正確な式で答えてください。

1. ∫[-3→3] (x²+2x) dx を整数で求めてください。
2. ∫[-1→1] (x⁵+4x²) dx を分数で求めてください。
3. ∫[-π→π] (sin x+x cos x+cos x) dx を整数で求めてください。
4. ∫[0→4] ((x-2)⁴+2(x-2)) dx を分数で求めてください。
5. ∫[-1→2] x eˣ² dx を e を含む正確な式で求めてください。

練習の解答と解き方

1

多項式は連続です。x² は偶関数、2x は奇関数なので、対称区間で後者の積分は0です。

∫[-3→3] (x²+2x) dx = 2∫[0→3] x² dx
                           = 2[x³/3]（0から3まで）
                           = 2・9
                           = 18

原始関数 x³/3+x² を微分すれば問題の式に戻ります。両端で x² の値は等しく、差をとると消えるので、答えは元の区間でも18です。

2

各項は連続です。x⁵ は奇関数、4x² は偶関数です。積分を項に分けてから公式を適用します。

∫[-1→1] (x⁵+4x²) dx = 0+8∫[0→1] x² dx
                            = 8[x³/3]（0から1まで）
                            = 8/3

直接の原始関数 x⁶/6+4x³/3 を微分すると被積分関数に戻ります。x⁶/6 は両端で同じ値となり、差では偶関数の項だけが残ります。

3

sin x は奇関数、x cos x も奇関数です。cos x は偶関数なので、対称区間では前の2項が消え、最後の項を2倍します。三角関数とその積は全区間で連続です。

∫[-π→π] (sin x+x cos x+cos x) dx
= 2∫[0→π] cos x dx
= 2[sin x]（0からπまで）
= 2(0-0)
= 0

cos x の積分も0になったのは端点の正弦が等しいためです。偶関数の積分が常に正または0という意味ではありません。元の3項の原始関数は -cos x+x sin x+cos x+sin x、すなわちx sin x+sin xと書けます。微分するとsin x+x cos x+cos xになり、元の式と一致します。両端への代入でも差は0です。

4

x=2+t と置きます。元の端点0と4は t=-2 と2に移り、dx=dt です。多項式は連続であり、t⁴ は偶関数、2t は奇関数です。

∫[0→4] ((x-2)⁴+2(x-2)) dx
= ∫[-2→2] (t⁴+2t) dt
= 2∫[0→2] t⁴ dt
= 2[t⁵/5]（0から2まで）
= 64/5

t=x-2 を戻すと被積分関数と両端は元に戻ります。原始関数 (x-2)⁵/5+(x-2)² を直接微分しても問題の式となり、端点の差は64/5です。

5

x eˣ² は、x が奇関数、eˣ² が偶関数なので奇関数です。ただし [-1,2] は対称区間ではありません。連続性を確認したうえで [-1,1] と [1,2] に分けます。

∫[-1→2] x eˣ² dx = 0+∫[1→2] x eˣ² dx
                          = [eˣ²/2]（1から2まで）
                          = (e⁴-e)/2

原始関数 eˣ²/2 を微分すると x eˣ² に戻ります。元の端点を直接代入しても、x=-1 で e/2、x=2 で e⁴/2 なので同じ差です。残った [1,2] の被積分関数は正であり、答えの符号も一致します。

手元に残す要点

• 偶奇は対称な定義域で f(-x) を比較して決めます。
• 対称区間では偶関数を半区間の2倍にし、奇関数の積分を0にします。
• 積の符号は因子ごとに調べ、和は必要に応じて項別に分けます。
• 対称でない区間では分割を、中心が原点以外なら変数の平行移動を考えます。
• 公式を使う前に連続性と端点を確認します。

どこで止まったかを見分ける

奇関数と書けても答えが合わないときは、まず積分区間の両端の和を見ます。和が0でなければ、原点から対応する部分と残りを答案に分けて書いてみます。両端が対称なのに間違える場合は、次に各因子へ -x を代入し、積の負号を数えます。

個別指導で確かめるなら、答えだけでなく、変数を移した行の端点と dx の対応、偶数部分を2倍した範囲を見ます。本人が元の式を微分や端点代入で再現できれば、短縮した計算と元の問題とのつながりを説明できます。対称性は、条件をそろえた式変形によって計算の見通しを与えます。