高校数学III 三角関数の積の積分—積和公式と奇数乗の置換を使い分ける｜武蔵野個別指導塾

異なる角の積を和へ直す方法と、奇数乗から微分因子を残す置換を比べ、角の差の負号まで追って計算を進めましょう。

よくあるのは、異なる角の三角関数の積を見て、一方をそのまま置換する場面です。例えばsin 2xを新しい文字にしても、cos 5xがその文字の式になるとは限りません。微分したときに現れる因子も確かめずに進むと、途中で元の変数が残ります。角の違いと指数の偶奇を先に見れば、式をほどく方向が決まります。

ここで扱うのは三角関数の積を恒等式と置換で積分する計算です。角は弧度法で表し、面積や体積の問題には進みません。数学IIIの積分では、式の変形と置換による方法を考察します。

まず形を見分ける

角が異なるsinとcosの積では、積和公式で和に変える道があります。和になれば各項を別々に積分でき、角の係数も連鎖律を逆に使って処理できます。例えばsin ax cos bxなら、角の和と差が現れます。差が負でもsinの奇関数としての符号を保つことが大切です。

一方、同じ角のsinとcosの積で、一方の指数が奇数なら、その因子を1個残す方法が使えます。sinが奇数乗ならsin x dxを残し、残りのsin² xを1-cos² xに直します。cos xを新しい文字にすれば、残した因子はその微分の負になります。cosが奇数乗のときは逆にcos x dxを残し、sin xを新しい文字にします。

どちらの指数も偶数なら、この奇数乗の手順はそのままでは使えません。二倍角を使って次数を下げるという別の入口が必要です。また、奇数乗でも角が異なるときは、同じ角を前提とした置換を無条件に使えません。まず公式で角を整理できるか調べます。

積を和にする理由と置換の条件

加法定理から、任意の実数A、Bについて次の関係が成り立ちます。右辺を加法定理で展開すると、余分な項が打ち消されることから確かめられます。

sin A cos B = {sin(A+B) + sin(A-B)}/2
cos A cos B = {cos(A+B) + cos(A-B)}/2
sin A sin B = {cos(A-B) - cos(A+B)}/2

例えば最初の式では、sin(A+B)とsin(A-B)を足すとsin A cos Bが2個残ります。最後の式では差を取るため、順序を逆にすると符号が反転します。A-Bが0の場合も式は成立し、cos 0は1、sin 0は0です。角の差が0になった項を通常の角の係数で割ってはいけません。

図1のように、異なる角の積は和と差の角へ分けます。同じ角の奇数乗は、1因子を微分に回して残りを新しい変数の多項式にします。どちらも、変形後に元の積へ戻せる恒等式を使っています。

図1の2つの経路は目的が同じです。積分しやすい和または多項式を作り、最後に元の変数に戻します。sinとcosは実数全体で連続かつ微分可能なので、ここで扱う不定積分には実数全体で原始関数があります。積分定数Cは実数全体で共通に取れます。

置換を使うときは、例えばt=cos xならdt=-sin x dxです。記号だけ変えず、式中のxを含む残りの因子がtで表せることまで確かめます。求めた原始関数を微分すれば、置換の負号や角の係数が元に戻るか調べられます。

基本例題：異なる角を分ける

次の不定積分を、三角関数と積分定数Cを含む正確な式で求めてください。

∫ sin 2x cos 5x dx

角が2xと5xで異なるため、sin 2xの微分は2 cos 2xであり、残りのcos 5xとは一致しません。図2のように和の角と差の角を作ります。差は-3xなので、sinの奇関数の性質による負号が現れます。

図2の矢印の後で、それぞれの項を積分します。sin kxの原始関数は、微分すると内側からkが出ることを考えて-cos kx/kとします。

sin 2x cos 5x = {sin 7x + sin(-3x)}/2
                  = {sin 7x - sin 3x}/2
∫ sin 2x cos 5x dx
 = (1/2)∫ sin 7x dx - (1/2)∫ sin 3x dx
 = -cos 7x/14 + cos 3x/6 + C

最初の行は積和公式、次の行はsin(-θ)=-sin θです。積分の線形性で項を分け、それぞれの角の係数で割りました。7と3を取り違えないよう、積和公式の段階で角を書き出してから積分します。

答えを微分すると、sin 7x/2 − sin 3x/2です。差の項をsin(-3x)に戻して積和公式を逆に使うと、元のsin 2x cos 5xになります。定数Cの微分は0ですから、答えの族も元の条件に合います。

標準例題：奇数乗から1因子を残す

次の不定積分を、sin xの多項式と積分定数Cで表してください。

∫ sin² x cos³ x dx

cosの指数が奇数なので、cos xを1個残します。残るcos² xを1-sin² xとすれば、sin xの式と、その微分cos x dxの組ができます。

sin² x cos³ x = sin² x(1-sin² x)cos x
 t = sin x
 dt = cos x dx
∫ sin² x cos³ x dx = ∫ t²(1-t²) dt
                         = ∫ (t²-t⁴) dt
                         = t³/3 - t⁵/5 + C
                         = sin³ x/3 - sin⁵ x/5 + C

1行目はsin² x+cos² x=1によります。置換後はdxを含めてtの式に直し、多項式を項別に積分します。最後の行でtをsin xに戻しました。sin xの値域が-1以上1以下であっても、多項式の原始関数をその範囲に制限して使うことに支障はありません。

検算では答えの微分がsin² x cos x − sin⁴ x cos xです。これをsin² x(1-sin² x)cos xとまとめ、1-sin² x=cos² xを戻すと、問題のsin² x cos³ xに一致します。1因子を残さずcos³ x全体を1-sin² xと書く誤りも、この指数の照合で見つかります。

発展例題：定積分で置換の向きも追う

次の定積分を分数で正確に求めてください。

∫[0→π/2] sin³ x cos⁴ x dx

sinの指数が奇数ですから、sin xを1個残してcos xに置換します。被積分関数は閉区間で連続なので定積分が存在します。置換関数cos xも微分可能で、区間の始点から終点に向かって1から0へ変わります。

sin³ x cos⁴ x = (1-cos² x)cos⁴ x sin x
 t = cos x
 dt = -sin x dx
 x = 0 のとき t = 1
 x = π/2 のとき t = 0
∫[0→π/2] sin³ x cos⁴ x dx
 = -∫[1→0] (1-t²)t⁴ dt
 = ∫[0→1] (t⁴-t⁶) dt
 = [t⁵/5 - t⁷/7] の0から1までの差
 = 1/5 - 1/7
 = 2/35

置換の微分にある負号を、積分区間の反転と交換しました。変換後の端点を入れ替えたうえで、さらに負号を残すと符号が誤ります。元の区間ではsin xとcos xがともに負でないので、被積分関数も負になりません。正の答えはこの条件と整合します。

元の変数の原始関数でも確認できます。-cos⁵ x/5 + cos⁷ x/7を微分すると、sin x cos⁴ x − sin x cos⁶ xとなります。これをsin x cos⁴ x(1-cos² x)とまとめれば元の積です。上端では0、下端では-1/5+1/7ですから、上端の値から下端の値を引くと2/35になります。

誤答をほどく：置換した文字に戻らない因子

基本例題でt=sin 2xと置き、cos 5x dxをdt/2とするのは誤りです。実際はdt=2 cos 2x dxであり、角が異なる因子を交換する根拠はありません。x=0では両方のcosが1でも、1点で一致することから関数全体の一致は言えません。

図3のように、置換の候補を書いたら微分を横に書き、積の中の因子と照合します。例えばx=π/10ではcos 5x=0ですが、cos 2xは0ではありません。したがって同じ微分因子とみなす操作は破綻します。

図3の修正では、元のsin 2x cos 5xを積和公式で2項に分けます。その後は各項の角の係数をそれぞれ処理できます。もう一つの失敗は、sin(A-B)を必ず正の角に書いて正符号のままにすることです。A-B=-3xならsin(-3x)=-sin 3xと、負号を残して書き換えます。

偶奇を使う置換でも、残した1因子が本当に微分に対応するかを調べます。t=cos xならdt=-sin x dxです。負号を落とした答えは微分すると元の被積分関数の逆符号になるため、最後の微分で判定できます。

練習：入口を選んでから計算する

各不定積分は、三角関数と積分定数Cを含む正確な式で答えてください。定積分は分数またはπを含む正確な式で答えてください。先に5問の方法を決め、その後で解答を読んでください。

1. ∫ cos 3x cos 8x dx
2. ∫ sin 4x sin 6x dx
3. ∫ sin⁵ x cos² x dx
4. ∫[0→π/2] sin⁴ x cos³ x dx
5. ∫[0→π] sin 3x cos x dx

解答と計算の点検

1. cosとcosの異なる角

角の和は11x、差は-5xです。cosは偶関数なのでcos(-5x)=cos 5xを使います。

cos 3x cos 8x = {cos 11x + cos(-5x)}/2
                  = {cos 11x + cos 5x}/2
∫ cos 3x cos 8x dx = sin 11x/22 + sin 5x/10 + C

微分するとcos 11x/2 + cos 5x/2です。積和公式を逆に用いれば、問題のcos 3x cos 8xに戻ります。差の角に付く負号はcosの偶奇で消えますが、角の係数11と5は消えません。

2. sinとsinの差の順序

2つのsinには、差の角のcosから和の角のcosを引く公式を使います。差が-2xでもcosの偶奇でcos 2xにできます。

sin 4x sin 6x = {cos(-2x) - cos 10x}/2
                 = {cos 2x - cos 10x}/2
∫ sin 4x sin 6x dx = sin 2x/4 - sin 10x/20 + C

答えを微分するとcos 2x/2 − cos 10x/2となります。これは公式によって元の積です。和の角と差の角の項を入れ替えると全体の符号が逆になるので、引く順序まで点検します。

3. sinの奇数乗を使う

sin xを1個残し、残りのsin⁴ xをcos xで表します。t=cos xの微分は負のsin x dxです。

sin⁵ x cos² x = (1-cos² x)² cos² x sin x
 t = cos x
 dt = -sin x dx
∫ sin⁵ x cos² x dx = -∫ (1-t²)²t² dt
                         = -∫ (t²-2t⁴+t⁶) dt
                         = -t³/3 + 2t⁵/5 - t⁷/7 + C
                         = -cos³ x/3 + 2cos⁵ x/5 - cos⁷ x/7 + C

答えを微分すると、sin x(cos² x-2cos⁴ x+cos⁶ x)です。括弧をcos² x(1-cos² x)²と因数分解し、1-cos² x=sin² xを使うと元の積に戻ります。先頭の負号はdtの負号から生じています。

4. 端点を置換後の値にする

cos xを1個残してt=sin xとします。sin xは区間の端で0から1に変わり、被積分関数は連続です。

sin⁴ x cos³ x = sin⁴ x(1-sin² x)cos x
 t = sin x
 dt = cos x dx
 x = 0 のとき t = 0
 x = π/2 のとき t = 1
∫[0→π/2] sin⁴ x cos³ x dx
 = ∫[0→1] t⁴(1-t²) dt
 = [t⁵/5 - t⁷/7] の0から1までの差
 = 2/35

原始関数sin⁵ x/5 − sin⁷ x/7を微分すると、sin⁴ x cos x(1-sin² x)です。元の式に戻ることと、端点での差が2/35であることを両方確かめます。区間内の積は負でないため、答えの符号も条件に合います。

5. 積和の後に端点を代入する

和と差の角は4xと2xです。元の被積分関数は閉区間で連続なので、原始関数の端点の差を使えます。

sin 3x cos x = {sin 4x + sin 2x}/2
∫ sin 3x cos x dx = -cos 4x/8 - cos 2x/4 + C
∫[0→π] sin 3x cos x dx
 = (-1/8 - 1/4) - (-1/8 - 1/4)
 = 0

原始関数を微分するとsin 4x/2 + sin 2x/2となり、問題の積に戻ります。上端と下端のcosの値はいずれも1なので、端点の差は0です。積分値が0でも、被積分関数が区間全体で0という意味ではありません。

要点を手元に残す

角が異なる積は和と差の角に分け、差の符号を保ちます。 同じ角の奇数乗は1因子を残し、残りをもう一方の関数で表します。 置換の微分と端点を照合し、答えを微分して元の積に戻します。

手が止まった位置から見直す

式が置換後もxとtの混在した形なら、残りの因子をtで表せるかを見ます。表せなければ角の関係を調べ、積和公式へ戻ります。符号だけが合わない場合は、角の差、cosの微分、定積分の端点反転を順番に点検します。

個別指導では、最初に残す1因子を本人の式に丸で示してもらい、その因子が置換の微分と一致するかを確かめます。さらに原始関数を微分して元の積まで戻す過程を見れば、公式の記憶と係数処理のどちらで止まったかを区別できます。角と微分因子を照合することで、三角関数の積は計算できる形に変わります。