高校数学III 二次式を分母に持つ積分—平方完成と分子の分離で方法を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

二次式の導関数に合わせて分子を分離し、残った定積分は平方完成と角度の対応から計算します。

よくあるのは、平方完成した分母を見て、分数全体をそのまま対数の形にする場面です。分母が二次式であることと、分子がその導関数に比例することは別の条件です。分子まで確認すると、対数で処理できる部分と、別の工夫が必要な部分が見えてきます。まず分母の符号を調べ、次に分子を分け、残りの定積分では角度と端点を対応させます。面積などの応用には進まず、積分の式と計算の判断を掘り下げます。

分母の形を見た後に何を比べるか

分母をQ(x)、分子を一次式P(x)とします。最初の型はP(x)がQ′(x)の定数倍になる場合です。Q(x)が0にならない区間では、対数の微分を逆向きに使えます。係数の比が合っているかを、xの項と定数項の両方で調べます。

次の型は、P(x)からQ′(x)の定数倍を引くと定数が残る場合です。分数を2つに分け、導関数が分子にある項には対数を使います。残った定数を分子に持つ項は、そのまま対数にはできません。分母を平方完成し、定積分なら三角置換を考えます。残りが0かどうかを見落とさないことが、2つの型を分ける境目です。

さらに、平方完成の結果が平方と正の数の和なら、分母は実数全体で正です。一方、平方から正の数を引く形や平方そのものでは、分母が0になる点がありえます。積分する区間にその点が入らないか先に確かめます。分母が区間内で0になる定積分は、ここで使う連続関数の定積分として計算できません。端点の値を形式的に引く操作へ進まないことが必要です。

導関数と平方完成の役割

Q(x)=ax²+bx+c、a≠0とすると、Q′(x)=2ax+bです。P(x)=px+qについて、係数を比べればP(x)=A Q′(x)+Bと書けます。A=p/(2a)、B=q-Abです。右辺を展開して元の分子に戻るか確認すると、分離の符号間違いをその場で見つけられます。

図1のように、分子の分離と分母の平方完成は別々の準備です。前者は対数にできる部分を判定し、後者は残りの積分をどの形で扱えるかを示します。Qが0にならない区間では、微分の合成関数の公式から (log |Q(x)|)′=Q′(x)/Q(x) です。ここでlogは自然対数です。絶対値があるので、Qが負の区間にも使えますが、0を越えて同じ区間として扱うことはできません。

図1の分岐は分離後の2項に対応します。Q(x)=a{(x+b/(2a))²+d}と平方完成したとき、d>0なら定数の逆数を含む定積分でx+b/(2a)=√d tan θと置けます。角度を-π/2<θ<π/2に取ればcos θ>0で、tanは単調に増加します。この範囲ではdx=√d/cos² θ dθ、分母の括弧はd/cos² θです。連続性と置換の対応を確かめてから計算します。

なお、学習指導要領の数学IIIでは積分の基本性質や置換積分、式の変形による方法を考察します。以下の三角置換は、ここで選んだ分母の形に合わせて計算する例です。

基本例題：分子に何が残るか

次の定積分を、πと自然対数を用いた正確な式で求めます。

∫[0→√3-1] (2x+3)/(x²+2x+2) dx

分母をQ(x)=x²+2x+2とすると、Q′(x)=2x+2です。図2のように、分子はQ′(x)+1と分かれます。分母は(x+1)²+1なので全区間で正であり、被積分関数は連続です。よって積分の和に分けられます。

I = ∫[0→√3-1] (2x+2)/(x²+2x+2) dx + ∫[0→√3-1] 1/((x+1)²+1) dx
  = log Q(√3-1) - log Q(0) + J
  = log 4 - log 2 + J
  = log 2 + J

1行目は分子の和による分離です。2行目はQ′/Qを対数で積分しました。Qは正なので絶対値を外せます。3行目で上端と下端をそれぞれ代入し、4行目で対数の差をまとめました。

Jではx+1=tan θとします。0から√3-1でQは正で、端点はθ=π/4からπ/3です。角度を-π/2とπ/2の間に取れば、この対応は一意です。

J = ∫[π/4→π/3] (1/cos² θ)/(tan² θ+1) dθ
  = ∫[π/4→π/3] 1 dθ
  = π/12

分子の1/cos² θはdxの変換、分母のtan² θ+1も同じ1/cos² θです。上端でQ=4、下端でQ=2ですから、求める値はlog 2+π/12です。上端が正なので被積分関数は正であり、答えも正です。分離した対数項を微分すると元の分子の2x+2を回復し、残りの1を加えると2x+3になります。

標準例題：係数と区間をそろえる

∫[0→2√3-2] (3x+5)/(x²+4x+8) dxを、πと自然対数を用いた正確な式で求めます。分母は(x+2)²+4で全区間で正です。導関数は2x+4なので、分子を(3/2)(2x+4)-1と分けます。分子に戻すと3x+6-1=3x+5です。

I = (3/2)∫[0→2√3-2] (2x+4)/(x²+4x+8) dx - ∫[0→2√3-2] 1/((x+2)²+4) dx
  = (3/2) log(16/8) - K
  = (3/2) log 2 - K

上端の分母は16、下端は8です。残りはx+2=2 tan θと置きます。θはπ/4からπ/3まで動きます。

K = ∫[π/4→π/3] (2/cos² θ)/(4/cos² θ) dθ
  = (1/2)∫[π/4→π/3] 1 dθ
  = π/24

上端では分母が16、下端では8です。したがって答えは(3/2) log 2 − π/24です。置換後の係数1/2はdxの2と分母の4の比です。元の分子は正、分母も正なので積分値は正です。また分離した2つの分子を合わせれば元の3x+5に戻ります。

発展例題：負の残りと角度の範囲

∫[-3→1] (4x+1)/(x²+2x+5) dxを、πと自然対数を用いた正確な式で求めます。平方完成すると分母は(x+1)²+4で、区間全体で正です。分母の導関数は2x+2、分子は2(2x+2)-3です。よって対数の項と負の定数を持つ項に分かれます。

I = 2∫[-3→1] (2x+2)/(x²+2x+5) dx - 3∫[-3→1] 1/((x+1)²+4) dx
  = 2(log 8 - log 8) - 3L
  = -3L

両端で分母は8なので、対数項の差は0です。残りはx+1=2 tan θとすると、端点はtan θ=-1と1に対応し、角は-π/4とπ/4です。

L = ∫[-π/4→π/4] (2/cos² θ)/(4/cos² θ) dθ
  = (1/2)∫[-π/4→π/4] 1 dθ
  = π/4
I = -3π/4

置換の範囲でcos θは正、dx/dθも正です。端点の順序を反転する必要はありません。対数部分の導関数は2(2x+2)/Qで、残りを足すと(4x+1)/Qに戻ります。元の区間を中心-1のまわりで見ると、分子は4(x+1)-3です。奇数の部分は対称な区間で打ち消し合い、残る項は負なので、答えの負号も元の条件に合います。

間違った対数を微分して戻す

分母を平方完成できると、分子が何であっても対数になると思いがちです。例えば1/((x+1)²+1)の原始関数としてlog((x+1)²+1)を書くと、微分した結果は2(x+1)/((x+1)²+1)です。必要な分子は1なので一致しません。図3のように、答えから微分で戻る道を必ず通します。

図3で足りないのは定数係数ではなく、分子の形の一致です。2(x+1)は区間内で変化するため、定数倍で1に直すことはできません。定積分なら平方完成後に三角置換を使い、変数と端点を同時に変えます。不定積分では、ここで扱った対数部分だけを全体の答えとせず、残りの原始関数が得られているか確認します。

もう1つの失敗は、分母の零点をまたいで原始関数の端点差を取ることです。例えば分母がx²-1ならx=1で0です。0から2の区間では被積分関数が連続でなく、上の定積分の基本定理をその区間全体へ適用できません。計算が途中で止まる場合も、まず連続性の条件へ戻ります。

練習：5つの分離を試す

各問は正確な式で答えてください。不定積分は指定された区間で積分定数Cを付け、定積分はπと自然対数を用います。

1. 実数全体で ∫ (6x+6)/(3x²+6x+7) dx を求めます。
2. x>2で ∫ (4x-1)/(x²-4) dx を、残りの積分を解かずに、対数項と積分1つの和に分けます。
3. ∫[0→1] (2x+1)/(x²+1) dx を求めます。
4. ∫[0→√3] 1/(x²+1) dx を求めます。
5. ∫[-1→1] (2x-2)/(x²+1) dx を求めます。

練習の解答と確かめ方

1. 分母は3(x+1)²+4で正です。導関数は6x+6ですから、

∫ (6x+6)/(3x²+6x+7) dx
= log(3x²+6x+7) + C

微分すれば分子6x+6と元の分母に戻ります。分母が0にならないので実数全体で1つの定数を使えます。

2. x>2で分母は正です。導関数は2xなので、分子を2(2x)-1に分けます。

∫ (4x-1)/(x²-4) dx
= 2 log(x²-4) - ∫ 1/(x²-4) dx

右辺を微分すると4x/(x²-4)-1/(x²-4)となり、元の分子4x-1に戻ります。後ろの積分を対数項に吸収してはいけません。問題は分離までを指定しています。

3. 分母x²+1は正で、導関数は2xです。x=tan θと置けば0から1は0からπ/4に対応します。

∫[0→1] (2x+1)/(x²+1) dx
= [log(x²+1)]₀¹ + ∫[0→π/4] 1 dθ
= log 2 + π/4

対数項の微分は2x/(x²+1)で、置換した残りは1/(x²+1)です。ともに正の区間で積分するので結果の符号も合います。

4. 分母は正です。x=tan θ、-π/2<θ<π/2とすると、端点は0とπ/3です。

∫[0→√3] 1/(x²+1) dx
= ∫[0→π/3] (1/cos² θ)/(1/cos² θ) dθ
= π/3

置換後の1にdx/dθを戻すと、元の分数に対応します。上端が下端より大きく、被積分関数も正なので答えは正です。

5. 分母は正で、2xはその導関数です。x=tan θで両端は-π/4とπ/4になります。

∫[-1→1] (2x-2)/(x²+1) dx
= [log(x²+1)]₋₁¹ - 2∫[-π/4→π/4] 1 dθ
= (log 2 - log 2) - 2・π/2
= -π

分離後の分子を足すと2x-2に戻ります。元の式の2x/(x²+1)は奇関数、残りは負なので、対称区間で結果が負になることも確かめられます。

覚えておくこと

分母の零点と積分区間を先に調べます。 分子を分母の導関数の定数倍と残りに分けます。 平方完成した残りは、定積分なら角度と端点をそろえて置換します。 答えは微分や符号で元の式に戻して確かめます。

式のどこで止まったかを見る

分離が進まないときは、まず分母の導関数を別の行に書き、xの係数を合わせてから定数項の差を計算します。対数の答えを出せても、微分した分子が元の分子と違えば、残りが抜けています。三角置換で止まったときは、角の範囲、dx、変換前後の両端を順に照合します。個別指導では、生徒が書いた各行を見ながら、分子の復元と置換後の係数を本人の言葉で確かめます。分母の形と分子の形を同時に読むと、次に進む計算が定まります。

置換では、もとの区間の各xに対し、選んだ角度の区間で対応するθが1つに定まることを確認します。tan θが増加する区間を使い、端点をそれぞれ代入します。分母の平方の係数とdxの係数は別々に計算し、約分後の定数まで残します。端点が特別な角に対応しないとき、近い角へ置き換えてはいけません。指定された答えの形に表せるかを確認してから、計算を進めます。

分母に零点がないことと、分子が常に正であることも別の判断です。被積分関数の符号が途中で変わる場合には、積分値の符号を見た目だけで決められません。分離した各項や対称性を使い、区間全体で何が打ち消されるかを調べます。上端と下端を入れ替えれば定積分の符号が反転することも、端点の対応を確認する手がかりです。