高校数学III 合成関数の置換積分—内側の導関数を探して不足する係数を補う｜武蔵野個別指導塾

指数の内側や分母を微分して外の因子と比べ、係数を補える式と別の積分が残る式を見分けます。

よくあるのは、分母をひとまとまりに置きながら、分子の係数を見ずに置換する場面です。見た目が似ているために対数を書いても、微分すると元の分子に戻らないことがあります。積分の前に内側を微分し、その結果と外にある因子を比べると、補う係数とその置換が使える範囲が見えてきます。

ここで扱うのは、合成関数の微分を逆向きに使う不定積分です。指数関数や対数につながる形を中心にし、形が似ていても一度の置換では積分が終わらない場合も調べます。学習指導要領にある置換積分の考え方を土台として、内側が一次式以外の例にも進みます。

式のどこに目を留めるか

1つ目は、べきや指数の中に式が入り、その微分が外に掛かっている形です。例えば内側が二次式なら、その微分は一次式です。外の一次式が何倍になっているかまで調べると、置換後には新しい文字の式とその微分だけが残ります。

2つ目は、分母と分子の関係を見る形です。分母の導関数に比例する分子なら、分母を内側とする対数に結びつきます。ただし分母が0になる点では被積分関数が定義されません。その点を避けた区間ごとに考え、対数には絶対値を付けます。

3つ目は、似ているが比例していない形です。分子の一部を導関数の倍数として分けられても、残りが消えるとは限りません。置換した後に元の文字が残ったり、別の積分が残ったりしたら、そこでいったん立ち止まります。置換の不成立と、積分そのものが不可能であることは別です。

合成関数の微分を逆に読む

区間Iでu=f(x)が微分可能で、その値の範囲でF′(u)=g(u)とします。合成関数の微分法により、F(f(x))の導関数はg(f(x))f′(x)です。したがって、I上で次が成り立ちます。Cは積分定数です。

∫ g(f(x))f′(x) dx = F(f(x)) + C

この等式では、内側f(x)とその導関数f′(x)が一組です。外側の関数gに目を奪われる前に、内側を紙に書いて微分します。図1のように、内側をuに変えるときは導関数を含む部分もduへ変えます。係数が合わないときは、等式を保つように外に定数を残します。

図1ではu=f(x)に対してdu=f′(x) dxと対応させています。これは微分の関係を表す記号であり、置換後にxとuを混ぜたまま計算を終えてよいという意味ではありません。最後にはuをf(x)に戻し、答えを微分して係数を確かめます。

特にuが0でない区間では、log |u|の導関数は1/uです。よってf(x)が0にならない区間で、f′(x)/f(x)の原始関数はlog |f(x)|です。絶対値は負の値を取る区間も扱うために必要です。区間をまたぐ共通の積分定数を勝手に決めないことも重要です。

指数型では、eᵘの導関数がeᵘです。外側の形が変わらないので係数の誤りを見落としやすい一方、戻した答えを微分すれば内側の導関数が現れます。この導関数と問題の因子の比が一定かどうかが、係数補正の判断になります。

基本例題：指数の中を先に微分する

次の不定積分を求め、積分定数を含む形で答えてください。

∫ 6x exp(x²+4) dx

exp(t)はeのt乗を表します。内側はx²+4で、その導関数は2xです。外にある6xは2xの3倍なので、3を積分の外に出すと対応がそろいます。

u = x² + 4
 du = 2x dx
6x dx = 3 du
∫ 6x exp(x²+4) dx = 3∫ eᵘ du
                       = 3eᵘ + C
                       = 3exp(x²+4) + C

図2のように、内側の微分2xと問題の6xを比べると、残す係数は3です。uを戻すまでを置換の一連の作業と考えます。

図2の対応は、6xを2xと読み違える誤りも防ぎます。検算では3exp(x²+4)を微分し、3exp(x²+4)・2x = 6x exp(x²+4)となります。全ての実数で各関数は微分可能なので、この答えは実数全体で使えます。積分定数Cの微分は0です。

標準例題：分母が負でも対数を使う

x<0で、次の不定積分を求めてください。答えには絶対値と積分定数を含めます。

∫ (4x+6)/(x²+3x-4) dx

分母をf(x)=x²+3x-4とすると、f′(x)=2x+3です。分子はその2倍ですから、置換の前に2を外に出せます。また分母は(x+4)(x-1)と因数分解できます。x<0ではx=-4を除き、区間はx<-4と-4<x<0に分かれます。

u = x² + 3x - 4
 du = (2x + 3) dx
∫ (4x+6)/(x²+3x-4) dx = 2∫ (1/u) du
                                  = 2 log |u| + C
                                  = 2 log |x²+3x-4| + C

uが0でない各区間で計算しています。x=-4では元の分数が定義されず、そこをまたいで1つの原始関数を主張することはできません。Cは左右の区間でそれぞれ任意です。-4<x<0では分母が負ですが、絶対値を付けた対数は定義されます。

答えを微分すると、2(2x+3)/(x²+3x-4)です。分子を展開すれば4x+6となり、問題の分数に戻ります。分子が分母そのものの2倍ではなく、分母の導関数の2倍である点を確かめてください。

発展例題：一致しない分子を分ける

x>0で、次の不定積分を求めてください。答えは対数と分数式を用い、積分定数を含めます。

∫ (3x+5)/(x²+2x) dx

分母の導関数は2x+2です。3x+5はその定数倍ではありません。xの係数から3/2倍を試すと、定数項には2が残ります。ここで残りを捨てると元の分数に戻れません。

3x + 5 = (3/2)(2x+2) + 2
(3x+5)/(x²+2x) = (3/2)(2x+2)/(x²+2x) + 2/(x(x+2))
2/(x(x+2)) = 1/x - 1/(x+2)

最後の等式は右辺を通分すると分子が2になることから確かめられます。x>0では分母もx+2も正なので、各式は連続です。前半に合成関数の置換を使い、残りは分けて積分します。

∫ (3x+5)/(x²+2x) dx
= (3/2) log(x²+2x) + log x - log(x+2) + C

微分して元の条件に戻します。最初の項は(3/2)(2x+2)/(x²+2x)、後の2項は1/x-1/(x+2)=2/(x²+2x)です。分子を足すと3x+3+2=3x+5となり、問題の式と一致します。分けた後も、置換できなかった残りを最後まで計算することが必要です。

誤答を直す：似た係数を同一視しない

次の式で、内側をx²+1と見て答えをlog(x²+1)+Cとする誤答を考えます。

∫ (2x+1)/(x²+1) dx

図3のように、分母の導関数は2xであり、分子の2x+1とは1だけ違います。誤答を微分すると2x/(x²+1)で、元の分子にある1が戻りません。見かけが似ていることと、定数倍で一致することを区別します。

図3に示す差を残せば、元の積分は次のように分かれます。

∫ (2x+1)/(x²+1) dx
= ∫ 2x/(x²+1) dx + ∫ 1/(x²+1) dx
= log(x²+1) + ∫ 1/(x²+1) dx

x²+1は常に正なので、対数の部分は実数全体で定義されます。ただし、残った積分はこの置換だけでは消えません。この段階を完成した答えとせず、別の方法が必要だと記録します。元の式が定義されること、計算が途中であること、答えが検算に失敗したことはそれぞれ別に判断します。

置換に失敗したと感じたときは、まず式の等しさを戻して点検します。外に出した係数を掛け直して元の因子に戻らなければ、その行を修正します。係数が一致してもxが残る場合は、それがuで表せるかを調べます。表せないままxを定数のように扱って積分してはいけません。分母が0になる点がある場合も、計算を続ける前に定義域を分けます。途中で手が止まったときには、誤った答えを作るより、残った積分と使えた条件を明記する方が次の方針を選びやすくなります。

練習：対応を作ってから積分する

次の5問を先に解いてください。各不定積分は指定の区間で考え、答えに積分定数を含めます。対数が必要な場合は絶対値を使ってよいものとします。

1. 実数全体で、∫ 10x(x²+7)³ dxを求めてください。
2. 実数全体で、∫ (12x-4)exp(3x²-2x) dxを求めてください。
3. x>2で、∫ (6x-3)/(3x²-3x-6) dxを求めてください。
4. x>0で、∫ (4x+7)/(x²+x) dxを求めてください。対数を含む式で答えます。
5. 実数全体で、∫ 8x/(x²+5)² dxを求めてください。分数式で答えます。

解答と確かめ方

1

内側をu=x²+7とするとdu=2x dxです。10x dxは5 duなので、次のようにべきの積分に直せます。

∫ 10x(x²+7)³ dx = 5∫ u³ du
                          = (5/4)u⁴ + C
                          = (5/4)(x²+7)⁴ + C

答えを微分すると、(5/4)・4(x²+7)³・2xとなり、問題の10x(x²+7)³に戻ります。内側の微分を最後に掛けることが、係数5の根拠です。

2

指数の内側をu=3x²-2xと置きます。du=(6x-2) dxで、問題の因子はその2倍です。

∫ (12x-4)exp(3x²-2x) dx = 2∫ eᵘ du
                                   = 2eᵘ + C
                                   = 2exp(3x²-2x) + C

答えの導関数は2(6x-2)exp(3x²-2x)です。係数を展開すると12x-4であり、元の因子まで戻ります。指数の中の定数倍と外の定数倍は別々に扱います。

3

分母をu=3x²-3x-6と置くと、du=(6x-3) dxです。x>2では分母は3(x-2)(x+1)>0なので、対数が定義されます。

∫ (6x-3)/(3x²-3x-6) dx = ∫ (1/u) du
                                    = log u + C
                                    = log(3x²-3x-6) + C

導関数は(6x-3)/(3x²-3x-6)です。端のx=2では分母が0になるため、指定の区間に含めないことも元の条件と合っています。

4

分母の導関数は2x+1です。分子4x+7はその2倍に5を加えたものなので、残りを分解して計算します。

(4x+7)/(x²+x) = 2(2x+1)/(x²+x) + 5/(x(x+1))
5/(x(x+1)) = 5/x - 5/(x+1)
∫ (4x+7)/(x²+x) dx = 2 log(x²+x) + 5 log x - 5 log(x+1) + C

x>0では対数の中は正です。微分すると、最初の項が2(2x+1)/(x²+x)、残りが5/(x(x+1))です。通分すると分子は4x+2+5=4x+7となり、問題の式が復元されます。

5

u=x²+5と置くとdu=2x dxです。8x dxは4 duですから、負の指数の積分を使います。uは常に正で、分母は0になりません。

∫ 8x/(x²+5)² dx = 4∫ u⁻² du
                           = -4/u + C
                           = -4/(x²+5) + C

答えを微分すると4(x²+5)⁻²・2xとなり、8x/(x²+5)²に戻ります。負の指数を積分した際の負号が、微分によって消えることまで確かめます。

手元に残す要点

• 内側を微分し、外の因子との比が定数か調べます。
• 定数の不足を補い、置換後は文字を統一します。
• 対数型では分母が0でない区間を分けます。
• 残りの項は捨てずに別の積分として扱います。
• 答えを微分し、元の分子と係数に戻します。

途中式からつまずきを見分ける

答えの外の係数だけが違うときは、内側の導関数と問題の因子を別々に書き、その比を確認します。分子の定数項だけが戻らないときは、比例しない部分を落としていないかを見ます。対数の中が負になる区間では、絶対値と分母の零点を再点検します。

個別指導では、置換した行だけでなく、置換前の分子を復元する行まで本人の筆跡で確かめます。xとuが混在していたら、どの因子がduに対応するかを示して整理します。微分して元の式に戻るところまでつなぐと、係数を補った理由が残ります。