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高校数学C 内分点の位置ベクトル—比の向きと重みを図から式へ対応させる｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.12更新 2026.11.12武蔵野個別指導塾の特徴高校数学C 平面ベクトルを掘り下げる

内分の比から端点の重みを導き、求めた点を二つの移動量へ戻して線分内の位置と比を確かめていきます。

よくあるのは、線分上の点が一方の端に近いと見えているのに、その近い端点に小さい重みを付ける場面です。比の数字をそのまま順番に端点へ掛けると、点が反対側に移ってしまいます。図に点を置き、どちらからどちらまでの長さを表す数字かを確かめると、この取り違えを防げます。

ここでは異なる2点を結ぶ線分の内部を、正の比に分ける点を扱います。位置ベクトルを求める計算だけでなく、得られた係数から比を逆算し、点が本当に線分内にあるかも調べます。比の順序と端点に付く係数の順序を、図と式の両方で追ってください。

比から式へ、式から比へ

内分点の問題には、まず2点の位置ベクトルと比が与えられ、分点の位置ベクトルを求める型があります。次に、位置ベクトルが端点の位置ベクトルの和として与えられ、分点の比を読む型があります。さらに、内分点と一方の端点から、もう一方の端点を逆算する型もあります。

どの型でも出発点は同じです。比 AP : PB = m : n は、AからPまでの長さがm、PからBまでの長さがnに対応するという約束です。したがって、AからBまでの全体をm + nと見たとき、AからPへの移動は全体のm/(m + n)です。PがAに近いなら、移動する割合は小さくなります。

比の数字を点の名前の隣に機械的に付けるのではなく、まず移動する割合に直します。計算後には、正の比か、係数の和が1か、図の近い端と結果が合うかを確かめます。座標がある場合は各成分に戻せるので、別の見方からも点の位置を検算できます。

線分の中にあるという条件

異なる2点A、Bの位置ベクトルをそれぞれa、bとします。ここでa、bはベクトルです。正の数m、nに対し、Pが線分ABをAP : PB = m : nに内分するとは、Pが線分の内部にあり、2つの長さの比がその値になることです。AとBが一致すると線分の長さが0になり、この正の長さの比を定められません。

図1のように、APはABのm/(m + n)倍です。m、nは正なのでm + nは0ではなく、その割合は0より大きく1より小さい値です。点Oを原点とすると、ベクトルのつなぎ方から次のように導けます。

ベクトル OP = ベクトル OA + ベクトル AP
ベクトル AP = m/(m + n)・ベクトル AB
ベクトル AB = b - a
ベクトル OP = a + m/(m + n)・(b - a)
            = n/(m + n)・a + m/(m + n)・b
            = (na + mb)/(m + n)

これが内分点の位置ベクトルの式です。aの係数は反対側の長さPBに対応するn、bの係数は反対側の長さAPに対応するmです。たとえばPがAに近ければAPが短く、mがnより小さいため、aの係数のほうが大きくなります。大きい重みが近い端点に付くことは、式の暗記とは別に位置の見当として使えます。

逆に、点Pの位置ベクトルが(1 − t)a + tbで、0 < t < 1なら、ベクトル AP = t・ベクトル ABです。したがってPは線分の内部にあり、AP : PB = t : (1 − t)です。t = 0やt = 1では端点になり、正の2数による内分点ではありません。tがこの範囲の外なら直線上にはあっても線分の内部にはありません。

係数の和が1であることは、式を移動量に直すための条件です。ただし、係数の和が1でも、どちらかが負なら内部とは限りません。また、aとbが平行な場合には、任意の表示で係数を比較する根拠に注意が必要です。ここでは具体的な表示をa + t(b − a)に直し、AとBが異なることから移動の割合を判定します。

基本例題：端点からの移動を先に決める

原点Oに関するA、Bの位置ベクトルをa、bとします。AとBは異なり、点Pは線分ABをAP : PB = 2 : 3に内分します。Pの位置ベクトルをa、bで表してください。

図2のように、線分を同じ長さの5つに分けると、AからPまでは2つ分です。PはBよりAに近く、答えではaの重みがbの重みより大きいはずです。

ベクトル AP = 2/5・ベクトル AB
ベクトル OP = ベクトル OA + ベクトル AP
            = a + 2/5・(b - a)
            = 3/5・a + 2/5・b
            = (3a + 2b)/5

答えは(3a + 2b)/5です。係数の和は3/5 + 2/5 = 1で、どちらも正です。逆にAからの割合を読むと2/5なので、残りは3/5です。元の比は(2/5) : (3/5) = 2 : 3となり、Pが線分内にあることと指定された比の両方を確かめられます。

この確認では、答えが公式の形に似ているかだけを見ません。Aからの移動が全体の何割かに戻し、残りの割合と比べます。重みを入れ替えた式ではAから3/5進むことになり、図で示したPとは反対側に置かれます。

標準例題：成分から比を復元する

座標平面上のA(1, 2)、B(11, 7)に対し、P(7, 5)があります。Pが線分ABの内部にあることを示し、AP : PBを最も簡単な整数の比で求めてください。

位置ベクトルを使う前に、点の差を調べます。PがAからBへの同じ割合の移動で表されれば、2つの成分を一度に確認できます。AとBは座標が異なるので、基準となる移動は零ベクトルではありません。

ベクトル AB = (11 - 1, 7 - 2)
             = (10, 5)
ベクトル AP = (7 - 1, 5 - 2)
             = (6, 3)
             = 3/5・(10, 5)

割合3/5は0より大きく1より小さいので、Pは線分ABの内部にあります。残りの割合は2/5ですから、求める比は次の通りです。

AP : PB = 3/5 : 2/5
        = 3 : 2

答えを元の座標に戻します。比3 : 2の内分点は、Aに2、Bに3の重みを付けるので、

(2・1 + 3・11)/5 = 7
(2・2 + 3・7)/5 = 5

となり、指定されたP(7, 5)に一致します。また、ベクトル PB = (4, 2)です。AP = (6, 3)と同じ向きで、その長さの比は6 : 4 = 3 : 2です。成分を用いた往復に加えて、2つの移動量からも比を確認できました。

x成分だけで割合を決めて答えにするのは不十分です。y成分も同じ割合でなければ、PはAB上にありません。逆に、どちらかの成分が0の場合にはその成分で割らず、0でない成分から割合を求め、残りの成分に代入します。

発展例題：未知の端点と比の存在を調べる

A(2, -1)と未知の点Bに対し、P(5, 3)が線分ABをAP : PB = 3 : 2に内分しています。Bの座標を求め、指定された内分の条件に戻して確かめてください。座標は整数または既約分数で表します。

内分点から端点を求める場合も、まずPがどの割合まで進んだ点かを決めます。Bの係数は3/5で0ではないため、式をBについて解けます。Bの位置ベクトルをb、Pの位置ベクトルをpとします。

p = (2a + 3b)/5
5p = 2a + 3b
3b = 5p - 2a
b = (5p - 2a)/3

各成分を代入します。

Bのx座標 = (5・5 - 2・2)/3
           = 21/3
           = 7
Bのy座標 = (5・3 - 2・(-1))/3
           = 17/3

したがってB(7, 17/3)です。Aからの移動を計算して、結果を問題の場面に戻します。

ベクトル AB = (5, 20/3)
ベクトル AP = (3, 4)
             = 3/5・(5, 20/3)
ベクトル PB = (2, 8/3)
             = 2/5・(5, 20/3)

AとBは異なり、両方の割合は正です。したがってPは内部にあり、AP : PB = 3 : 2が確かに成立します。逆算した座標を公式に代入するだけでなく、2つの移動が同じ方向で指定比を持つところまで確認します。

比が正であるという条件を外すと、同じ判断はできません。例えばAP : PBに0を含めればPは端点になり、負の数を長さの比として指定することもできません。問題の条件が欠けているとき、式に数字を入れて出た点を無条件に内分点と呼ばず、端点の相違と比の正負を先に調べます。

誤答の位置を図で直す

AP : PB = 1 : 4なのに、Pの位置ベクトルを(a + 4b)/5とする誤答を考えます。この式ではAからの移動割合が4/5です。PはBに近くなり、指定の比とは逆にAP : PB = 4 : 1となります。

図3のように、正しいPはAから全体の1/5の点です。aに付く重みは残りの4/5で、式は(4a + b)/5です。近い端の位置ベクトルを多く残すと考えると、図と式が対応します。

もう1つの失敗は、係数の和が1なら必ず内部にあると考えることです。例えば2a − b = a − (b − a)は、AからBと反対向きに進む点を表します。係数の和は1でも、移動割合は-1なので内部にはありません。正しい判定には0 < t < 1まで必要です。

点が端点と一致する場合も区別します。t = 0ならP = AでAP = 0です。係数は非負で和も1ですが、AP : PBは正の2数の比ではありません。条件を「線分上」から「線分の内部」へ読み直し、等号が許されるかを決めます。

手を動かす5問

各問で点はすべて同じ平面上にあり、指定された端点は異なります。位置ベクトルは同じ原点Oから測ります。比は最も簡単な正の整数の比、座標は整数または既約分数で答えてください。

A、Bの位置ベクトルをa、bとします。PがAP : PB = 4 : 1に内分するとき、Pの位置ベクトルをa、bで表してください。
C(-2, 4)、D(4, -8)を結ぶ線分をCQ : QD = 1 : 2に内分するQの座標を求めてください。
E(0, 1)、F(8, 5)、R(2, 2)について、RがEFの内部にあることを示し、ER : RFを求めてください。
G(1, 2)、S(4, 0)に対して、SがGHをGS : SH = 2 : 1に内分します。Hの座標を求めてください。
異なる点U、Vの位置ベクトルをu、vとし、点Tの位置ベクトルを(1 − k)u + kvとします。k = -1/2、0、2/7、1、3/2の各場合について、TがUVの内部にあるか判定し、内部にある場合はUT : TVを求めてください。

解答と戻し方

AからBへ4/5進むので、

ベクトル OP = a + 4/5・(b - a)
            = (a + 4b)/5

残りは1/5です。4/5 : 1/5 = 4 : 1で、両方の割合が正なので指定の内分点です。Bに近い点となることも係数から読み取れます。

CからDへ1/3進みます。

ベクトル CD = (6, -12)
ベクトル CQ = 1/3・(6, -12)
             = (2, -4)
Q = (-2, 4) + (2, -4)
  = (0, 0)

QからDへの移動は(4, -8)で、CQの2倍です。したがってCQ : QD = 1 : 2であり、両方が同じ向きなのでQは線分の内部です。

両成分で移動の割合を照らします。

ベクトル EF = (8, 4)
ベクトル ER = (2, 1)
             = 1/4・(8, 4)

1/4は0と1の間なのでRは内部にあり、ER : RF = 1 : 3です。実際にベクトル RF = (6, 3)はERの3倍です。RからFまでの移動も元の座標で確かめられます。

Hの位置ベクトルをh、G、Sの位置ベクトルをそれぞれg、sとすると、

s = (g + 2h)/3
2h = 3s - g
h = (3s - g)/2
  = ((12 - 1)/2, (0 - 2)/2)
  = (11/2, -1)

ベクトル GS = (3, -2)、ベクトル SH = (3/2, -1)です。前者は後者の2倍で同じ向きなので、SはGHの内部にあり、比2 : 1に戻ります。

ベクトル UT = k・ベクトル UVです。kが0と1の間にある場合が内部です。

k = -1/2 : 内部ではない
k = 0 : Uに一致し、内部ではない
k = 2/7 : 内部にあり、UT : TV = 2 : 5
k = 1 : Vに一致し、内部ではない
k = 3/2 : 内部ではない

2/7の場合、残りの割合は1 − 2/7 = 5/7です。両方が正で、2/7 : 5/7 = 2 : 5となります。負の場合と1を超える場合は延長上であり、端点の場合とは理由が異なります。

覚えておくこと

AP : PB = m : nでm、nが正なら、Pの位置ベクトルは(na + mb)/(m + n)です。 Aからの割合はm/(m + n)、Bに残る割合はn/(m + n)です。 a + t(b − a)で0 < t < 1なら、比はt : (1 − t)です。端点の相違、比の正負、係数の和と範囲を確かめます。