高校数学C 単位ベクトル—長さをそろえる操作と逆向きの解を区別して求める｜武蔵野個別指導塾

成分を長さで割る理由と零の除外をたどり、同方向と逆方向の解を扱う単位ベクトルです。

理系の高校生が、ベクトルの長さを1にしようとして各成分を長さの二乗で割る場面があります。二乗の式は計算しやすいので、根号を付ける前の値をそのまま分母に使いたくなります。しかし、各成分を何倍したかと、長さが何倍になったかは同じ倍率で考えます。さらに、平行という条件には逆向きも含まれます。向きと長さを別々に調べれば、必要な答えの個数まで判断できます。

長さをそろえる問いの読み方

出方の1つは、成分が与えられたベクトルと同じ向きの単位ベクトルを求める問題です。まず三平方の定理で長さを求め、正の数で各成分を割ります。符号を変えないため、向きも保たれます。

もう1つは、与えられたベクトルに平行な単位ベクトルを求める問題です。同じ向きと逆向きの両方を候補にします。問題が「同じ向き」と指定する場合は、逆向きを落とします。平行という言葉と同じ向きという言葉を同一視しないことが、解の数の判断につながります。

さらに、成分に文字が入る場合には、計算前に基準のベクトルが零になる値を調べます。零ベクトルは長さが0で、割り算の分母にはできません。文字の値によっては単位ベクトルそのものを作る操作が成立しないため、その値を先に分けます。

長さと向きを別々に見る

以下では a、u などをベクトルとして書き、|a|はベクトルaの大きさ、つまり長さを表します。単位ベクトルとは、長さが1のベクトルです。成分の一方が1であるという意味ではありません。例えば (1, 1) の長さは √2 なので単位ベクトルではありません。

平面上の a = (x, y) について、横と縦の移動量を直角三角形の辺と見れば、三平方の定理から次の式を得ます。

|a|² = x² + y²
|a| = √(x² + y²)

長さは負にならないので、平方根には正または0の値を取ります。a が零ベクトルでないなら x、y の少なくとも一方が0でないため、|a| > 0 です。この条件で u = a/|a| と置くと、各成分は (x/|a|, y/|a|) です。

|u|² = (x/|a|)² + (y/|a|)²
      = (x² + y²)/|a|²
      = 1
|u| = 1

最後に負の平方根を選ばないのは、長さが非負だからです。正の数 |a| で割るので、u は a と同じ向きです。この操作を正規化と呼びます。図1のように始点をそろえると、矢印が同じ方向に伸び、長さだけが変わることを確認できます。

図1では、a の矢印を縮めて u にしています。逆向きにも長さ1のベクトル -u があります。a に平行なベクトルは実数 t を用いて t a と表せます。a が非零であることを使うと、長さは |t| |a| です。長さが1という条件は |t| |a| = 1 ですから、t = 1/|a| または t = -1/|a| です。したがって平行な単位ベクトルは a/|a| と -a/|a| の2つです。

一方、a = (0, 0) では |a| = 0 です。零ベクトルには向きを定められず、a/|a| も定義できません。式に0を代入して無理に分数を作るのではなく、問題の条件に「非零」があるか、文字の値によって非零となるかを確認します。

基本例題：成分から2方向を作る

ベクトル a = (3, 4) に平行な単位ベクトルをすべて、成分を分数で表して求めてください。また、そのうち a と同じ向きのものを示してください。

まず a は零ベクトルではありません。横3、縦4の移動なので、三平方の定理で長さを計算します。

|a|² = 3² + 4²
      = 9 + 16
      = 25
|a| = 5

長さは5であり、25ではありません。正の5で割ると、元の向きを保った単位ベクトルを得ます。

a/|a| = (3, 4)/5
       = (3/5, 4/5)
-a/|a| = (-3/5, -4/5)

よって求める2つは (3/5, 4/5)、(-3/5, -4/5) です。同じ向きは前者です。図2のように同じ始点から描けば、2つの単位ベクトルは互いに反対の向きで、長さが等しいことが見えます。

答えを条件へ戻します。前者の長さの二乗は 9/25 + 16/25 = 1 で、後者も各成分の符号が逆なだけなので1です。前者は a の正の 1/5 倍、後者は負の 1/5 倍ですから、どちらも a に平行で、向きの指定も満たします。成分の大きい方が4/5になっていることも、図2の縦の移動が横より大きいことと一致します。

標準例題：成分の符号と根号を保つ

ベクトル b = (-2, 3) と同じ向きの単位ベクトル u を、成分に根号を含む形で求めてください。さらに b と逆向きで長さ2のベクトル v を求めてください。

b の成分には負の数がありますが、長さでは各成分を二乗します。b は非零なので、求めた長さで割れます。

|b|² = (-2)² + 3²
      = 4 + 9
      = 13
|b| = √13
u = b/√13
  = (-2/√13, 3/√13)

分母を有理化すれば u = (-2√13/13, 3√13/13) とも表せます。同じ向きという条件があるため、ここではこの1つを選びます。逆向きで長さ2なら、同じ向きの単位ベクトルを負の2倍にすればよいので、次のようになります。

v = -2u
  = (4/√13, -6/√13)

この方針を選ぶ理由は、向きと長さの調整を分けられるからです。先に1へそろえれば、欲しい長さを掛ける操作と、逆向きにする負号の役割が明確になります。

元の条件へ戻して確かめます。u の長さの二乗は 4/13 + 9/13 = 1、v の長さの二乗は 16/13 + 36/13 = 4 です。長さは非負なのでそれぞれ1と2です。u は b の正の 1/√13 倍で、v は負の 2/√13 倍です。したがって、求めた向きも問題に一致します。

発展例題：零になる値を先に分ける

実数 t に対して c = (t − 1, 2t − 2) とします。c と同じ向きの単位ベクトルを、存在する t の範囲ごとに成分で求めてください。存在しない値も示してください。

まず成分を因数分解すると、c = (t − 1)(1, 2) です。t = 1 のとき c = (0, 0) となり、向きを定められないので、求めるベクトルは存在しません。この場合に分母が0になることを後から見つけるより、先に分けると安全です。

それ以外では c は非零です。長さを計算するとき、√((t − 1)²) は t − 1 と限らず、|t − 1| になる点に注意します。

|c|² = (t - 1)² + (2t - 2)²
      = 5(t - 1)²
|c| = √5 |t - 1|
c/|c| = ((t - 1)/(√5 |t - 1|), 2(t - 1)/(√5 |t - 1|))

t > 1 なら |t − 1| = t − 1 です。一方、t < 1 なら |t − 1| = -(t − 1) です。したがって答えは次のように分かれます。

t > 1 のとき (1/√5, 2/√5)
t < 1 のとき (-1/√5, -2/√5)
t = 1 のとき存在しない

それぞれの長さの二乗は 1/5 + 4/5 = 1 です。t > 1 では c は (1, 2) の正の倍数、t < 1 では負の倍数なので、各答えは対応する c の向きと一致します。逆に、同じ向きで長さ1のものは c の正の実数倍で、その倍率は長さの条件から 1/|c| に定まります。したがって、各範囲に別の答えはありません。

平方根の中に二乗があると、符号を忘れて場合分けを省きがちです。t < 1 で最初の成分は負になるはずだと、元の c の成分に戻して確認すると、誤りを見つけられます。平行な単位ベクトルなら非零の各範囲で上の2方向が両方答えですが、同じ向きの指定ではそのうち1方向を選びます。

間違いを長さに戻して直す

基本例題の a = (3, 4) に対して、長さの二乗25をそのまま使い、「(3/25, 4/25) が単位ベクトル」とする誤答を考えます。元の矢印の向きは保たれますが、長さを1/25倍しているため、長さ5の矢印は長さ1/5になります。

|(3/25, 4/25)|² = 9/625 + 16/625
                    = 25/625
                    = 1/25
|(3/25, 4/25)| = 1/5

図3のように、誤った矢印は正しい単位ベクトルより短くなります。原因は、長さの二乗を長さそのものと取り違えたことです。25の平方根である5を分母に直せば (3/5, 4/5) となり、長さの二乗は1に戻ります。

もう1つの失敗は、平行という条件で正の倍率しか調べないことです。上の正しい答えに負号を付けても長さは変わらず、逆向きの平行な単位ベクトルになります。同じ向きの指定があるときに限って、負の倍率を除きます。

手を動かす5問

いずれも成分は分数または根号を含む正確な形で答えてください。平行な単位ベクトルを求める問題では、該当するものをすべて挙げてください。

1. p = (5, 12) と同じ向きの単位ベクトルを求めてください。
2. q = (-8, 6) に平行な単位ベクトルを求めてください。
3. r = (1, -2) と逆向きで長さ3のベクトルを求めてください。
4. s = (k, k − 3) が単位ベクトルとなる実数 k を求めてください。解がなければその旨を答えてください。
5. 実数 h に対し w = (0, h + 2) とします。w と同じ向きの単位ベクトルを h の範囲ごとに求め、存在しない値も示してください。

5問の解答と条件への戻し方

1

p は非零で、長さは次の通りです。

|p|² = 5² + 12²
      = 25 + 144
      = 169
|p| = 13
p/|p| = (5/13, 12/13)

答えの長さの二乗は 25/169 + 144/169 = 1 です。p の正の 1/13 倍であり、同じ向きという条件も満たします。長さを二乗から戻して13とするところまで書くと、169で割る誤りを防げます。

2

q は非零です。まず長さを求め、その正負の逆数倍を取ります。

|q|² = (-8)² + 6²
      = 64 + 36
      = 100
|q| = 10
q/|q| = (-4/5, 3/5)
-q/|q| = (4/5, -3/5)

2つの長さの二乗はいずれも 16/25 + 9/25 = 1 です。倍率はそれぞれ 1/10、-1/10 ですから、どちらも元の q に平行です。非零の q に平行な単位ベクトルはこの正負の倍率に限られます。

3

r は非零なので、長さを1にそろえてから負の3倍にします。

|r|² = 1² + (-2)²
      = 5
|r| = √5
-3r/|r| = (-3/√5, 6/√5)

答えの長さの二乗は 9/5 + 36/5 = 9 なので、長さは3です。また r の負の 3/√5 倍ですから、指定された逆向きです。負号が両方の成分に掛かっているかも確認します。

4

単位ベクトルの長さの二乗は1です。逆に、長さの二乗が1なら長さは非負なので1です。この同値な条件を使います。

k² + (k - 3)² = 1
2k² - 6k + 9 = 1
2k² - 6k + 8 = 0
k² - 3k + 4 = 0
(k - 3/2)² + 7/4 = 0

左辺は実数 k に対し正なので、実数解はありません。したがって該当する k は存在しません。元の長さの二乗は 2(k − 3/2)² + 9/2 と書け、常に1より大きいため、元の条件に戻しても不可能と確認できます。二次方程式の形だけを作って終わらず、実数解の有無まで調べます。

5

h = -2 なら w は零ベクトルで、同じ向きを定められません。それ以外では |w| = |h + 2| ですから、符号で分けます。

h > -2 のとき w/|w| = (0, 1)
h < -2 のとき w/|w| = (0, -1)
h = -2 のとき存在しない

2つの候補の長さはいずれも1です。前者は h + 2 が正のときの w の正の 1/(h + 2) 倍、後者は h + 2 が負のときの w の正の -1/(h + 2) 倍です。よってそれぞれ元の向きと一致します。零のときも同じ式に押し込まず、分母が0になる例外として分けます。

覚えておくこと

• 非零の a = (x, y) の長さは √(x² + y²) です。
• a と同じ向きの単位ベクトルは a/|a| です。
• a に平行な単位ベクトルは a/|a| と -a/|a| です。
• 零ベクトルは向きを持たず、長さで割れません。

どこで止まったかを見分ける

答えの成分を二乗して足し、1にならなければ、長さの計算か割る数を見直します。1になっていても、元のベクトルの正の倍数か負の倍数かを調べなければ、向きの条件は確認できません。文字を含む場合は、両成分が同時に0となる値を書き出してから割り算に進みます。

個別指導で途中を確かめるなら、「その分母は長さか、長さの二乗か」と尋ね、成分を二乗して足す式を本人の手で書いてもらいます。次に倍率の符号を説明できるかを見ます。長さが1になることと、指定された向きに進むことの両方がそろって、単位ベクトルの答えが決まります。