高校数学C ベクトルの成分—二点の座標の差から演算と未知の成分を求める｜武蔵野個別指導塾

座標と移動量の違いを図で読み、未知数を左右の成分の等式から求めながら、ベクトルの成分を知る。

よくあるのは、理系の高校生が座標と移動量を混ぜて成分を書く場面です。点Bの座標が見えていると、点AからBへの矢印にも、そのままBの座標を付けたくなります。しかし、出発点が原点でなければ、その座標はAからの移動量ではありません。横と縦にそれぞれどれだけ変わるかを読み直すと、引く順序が決まります。ここでは成分を使った演算と等式を扱い、ベクトルの長さは扱いません。

どの量を求める問題か

出方は大きく3種類です。1つ目は2点の座標から、その間の移動を求める問題です。座標は原点を基準に点の場所を示し、成分は始点から終点への横と縦の変化を示します。始点と終点を先に書き分けてから、それぞれの座標を引きます。

2つ目は成分で表されたベクトルの和、差、実数倍です。横の移動は横どうし、縦の移動は縦どうしで計算します。マイナスを掛けると両方の成分の符号が変わるため、片方だけを反転しないようにします。

3つ目はベクトルの等式から未知数や未知の点を求める問題です。等しいベクトルは横の成分も縦の成分も等しいので、1本の等式を2本の数の式に直します。逆に、2本の数の式がともに成り立てば、もとのベクトルの等式も成り立ちます。解いた後は両成分をもとの条件に戻して確かめます。

成分は始点からの変化を表す

座標平面で、右向きと上向きをそれぞれ正に取ります。点Aの座標を(a, b)、点Bの座標を(c, d)とすると、ベクトル ABの成分は

(c - a, d - b)

です。横方向では、始点の座標aに変化量を加えると終点の座標cになります。したがって変化量はc − aです。縦方向も同じ考え方でd − bとなります。引く順を覚えるだけでなく、「始点 + 変化量 = 終点」に戻して確かめると、符号の誤りを見つけやすくなります。

図1のようにA(-2, 1)からB(3, 4)へ進む場合、横は右へ5、縦は上へ3です。成分は(5, 3)であり、終点の座標(3, 4)とは異なります。逆向きのベクトル BAは(-5, -3)です。始点と終点を交換すると、それぞれの差の符号が変わります。

図1ではAの横座標に5を加えると3、縦座標に3を加えると4になります。AとBが一致する場合も差は(0, 0)です。どちらか一方の成分が0でも、もう一方が0とは限りません。例えば横座標が同じ2点を結ぶ移動は、横の変化だけが0です。

以下、a、bをベクトルとし、a = (x, y)、b = (u, v)とします。和と差、実数k倍は次のように成分ごとに求めます。

a + b = (x + u, y + v)
a - b = (x - u, y - v)
k a = (kx, ky)

和では移動を続けたときの横の変化がx + u、縦の変化がy + vになります。差はbの逆向きの移動を足すので、各成分からu、vを引きます。実数倍は両方向の変化を同じ数だけ倍にする操作です。係数が0なら結果は(0, 0)で、負なら両成分の符号が反転します。

成分の等式(x, y) = (u, v)は、x = uかつy = vという意味です。成分の順番は横、縦で固定します。横と縦の値が入れ替わった組は、両者がたまたま等しい場合を除いて同じベクトルではありません。2本の式を得たら、それぞれの式を満たす共通の値を探します。

基本例題：折れた移動を一つにする

点A(-2, 1)、B(3, 4)、C(1, -1)があります。ベクトル AB、ベクトル BC、ベクトル AB + ベクトル BCの成分を求め、ベクトル ACと一致することを確かめてください。答えは成分の組で表します。

図2のように、まずAからB、次にBからCへ進みます。2回の移動でそれぞれ始点が違うため、点の名前と引く順を別々に書きます。

ベクトル ABはBの座標からAの座標を引きます。

ベクトル AB = (3 - (-2), 4 - 1)
            = (5, 3)

次にCの座標からBの座標を引きます。横も縦も負になることに注意します。

ベクトル BC = (1 - 3, -1 - 4)
            = (-2, -5)

横どうし、縦どうしを足して、2回分の変化を求めます。

ベクトル AB + ベクトル BC = (5 + (-2), 3 + (-5))
                            = (3, -2)

AからCへの直接の移動も、終点から始点を引きます。

ベクトル AC = (1 - (-2), -1 - 1)
            = (3, -2)

したがって求める3つの成分は順に(5, 3)、(-2, -5)、(3, -2)です。途中のBの座標は、2回の変化を足すと消えます。実際、Aに(5, 3)を加えるとBになり、さらに(-2, -5)を加えるとCに着きます。図2でも横に5進んで2戻るので横の合計は3、縦に3進んで5戻るので縦の合計は-2です。

もし2回目の差をB − Cとすると、CからBへの移動を足してしまいます。矢印の向きと、計算で引かれる点を一緒に確認することが修正の手掛かりです。点の座標を直接足す操作では、途中で出発点を引く理由が失われます。

標準例題：未知の点を成分から戻す

点A(4, -3)、B(-2, 5)と点Cがあります。ベクトル ACをc、成分が(4, -2)のベクトルをdとします。ベクトル AB = 2c + dのとき、Cの座標を整数の組で求めてください。

Cの座標を最初から文字で置いても解けますが、等式は移動cについて書かれています。そこでまずcを求め、その後にAの座標へ加える方法を選びます。点の座標と移動の成分を別の行に置くと、求める量を取り違えにくくなります。

まずベクトル ABの成分を求めます。

ベクトル AB = (-2 - 4, 5 - (-3))
            = (-6, 8)

c = (x, y)と置くと、等式の右辺は次の成分です。

2c + d = (2x, 2y) + (4, -2)
       = (2x + 4, 2y - 2)

左右の横成分と縦成分をそれぞれ等しくします。

2x + 4 = -6
2x = -10
x = -5

2y - 2 = 8
2y = 10
y = 5

よってc = (-5, 5)です。これはCの座標ではなく、AからCへの変化です。Aの座標に加えると、求める点は

C = (4 + (-5), -3 + 5)
  = (-1, 2)

となります。逆にCからAの座標を引くと(-5, 5)に戻ります。さらに2(-5, 5) + (4, -2) = (-6, 8)で、先に求めたベクトル ABと両成分が一致します。この確認で、等式を解く途中だけでなく、Cの座標を復元する操作も点検できます。

たとえば(-5, 5)をCの座標としてしまうと、Aからその点への成分は(-9, 8)です。2倍してdを加えても(-14, 14)となり、条件の(-6, 8)には戻りません。未知のベクトルを求めた時点と、未知の点を求めた時点を区別することが大切です。

発展例題：係数と点の条件を同時に満たす

実数tに対し、A(t, 2t − 1)、B(3t − 2, t + 4)とします。a = (1, -2)、b = (-1, 3)をベクトルとし、実数p、qを用いてベクトル AB = p a + q bと表します。p = qとなるt、p、qを求め、答えを整数で示してください。

点の座標に文字があるので、最初に終点と始点の差を文字のまま取ります。次に左右の成分を比較し、最後にp = qを使います。文字を含む座標も数値の場合と同様に、始点の各成分を括弧ごと引きます。

ベクトル AB = ((3t - 2) - t, (t + 4) - (2t - 1))
            = (2t - 2, 5 - t)

一方、右辺は

p a + q b = (p, -2p) + (-q, 3q)
          = (p - q, -2p + 3q)

です。両成分を比べると、次の2式が必要であり、同時にこの2式は等式を成り立たせます。

p - q = 2t - 2
-2p + 3q = 5 - t

ここでp = qなので、1式目の左辺は0です。

0 = 2t - 2
2t = 2
t = 1

2式目にt = 1とp = qを代入します。

-2p + 3p = 5 - 1
p = 4
q = 4

したがってt = 1、p = 4、q = 4です。条件からこの値に限られることは1式目と2式目の順に求めたことで示せました。逆に、この値が実際に条件を満たすかも確かめます。

A = (1, 1)
B = (1, 5)
ベクトル AB = (1 - 1, 5 - 1)
            = (0, 4)
4a + 4b = (4, -8) + (-4, 12)
        = (0, 4)

左右は一致し、p = qも満たします。横の成分が0だからといってベクトル全体が0とは限りません。この問題では縦の成分が4なので、点Aと点Bは異なります。等式の片方の成分だけを調べて終えると、もう片方が不一致でも気づけません。

別の道筋では、2本の式からp、qをtで表してから等しくできます。1式目をp = q + 2t − 2と直し、2式目に代入します。

-2(q + 2t - 2) + 3q = 5 - t
q - 4t + 4 = 5 - t
q = 3t + 1
p = (3t + 1) + 2t - 2
p = 5t - 1

p = qより5t − 1 = 3t + 1となり、同じくt = 1です。この解き方では、求めた係数を元の2式に代入して両方を満たすことも確かめられます。

逆向きに引いた答えを直す

図3のA(-2, 1)からB(3, 4)への移動を考えます。誤ってAの座標からBの座標を引くと、次の答えが出ます。

(-2 - 3, 1 - 4) = (-5, -3)

この計算自体は正しいものの、表しているのはBからAへの移動です。図3の赤い矢印は求めたいAB、灰色の矢印は逆向きのBAを示します。左へ5、下へ3という結果をAに加えると(-7, -2)に着き、Bには着きません。

修正するときは、Bの座標からAの座標を引き直します。

(3 - (-2), 4 - 1) = (5, 3)
(-2, 1) + (5, 3) = (3, 4)

図3の向きと、始点に成分を加えた結果の両方が一致します。終点の座標をそのまま(3, 4)とする誤りも、Aに加えると(1, 5)になるので見分けられます。座標を読んだだけで終わらせず、始点から到着できるかを確かめてください。

練習：成分の組を作り、条件に戻す

次の5問は互いに独立です。成分や座標は整数または既約分数の組で、未知数は整数または既約分数で答えてください。途中で求めた移動量と点の座標を混同しないようにします。

1. P(2, -4)、Q(-3, 2)について、ベクトル PQとベクトル QPの成分を求めてください。
2. a = (3, -2)、b = (-4, 1)をベクトルとします。2a − 3bの成分を求めてください。
3. ベクトル a = (x, y)が、a + (2, -5) = (7, 1)を満たします。x、yを求めてください。
4. D(-1, 4)からEへの移動が(6, -7)です。Eの座標を求めてください。
5. a = (2, 1)、b = (-1, 2)をベクトルとします。p a + q b = (1, 8)となる実数p、qを求めてください。

練習の解答

1. 終点から始点を引くと、次のようになります。

ベクトル PQ = (-3 - 2, 2 - (-4))
            = (-5, 6)
ベクトル QP = (2 - (-3), -4 - 2)
            = (5, -6)

Pに(-5, 6)を加えるとQになり、Qに(5, -6)を加えるとPになります。逆向きでは両成分の符号が反対です。終点の座標と成分が一致しないことも確かめられます。

2. 先にそれぞれを実数倍します。引き算の前に括弧を残すと、負の数を引く位置が見えます。

2a = (6, -4)
3b = (-12, 3)
2a - 3b = (6 - (-12), -4 - 3)
        = (18, -7)

別に、-3b = (12, -3)を2aに足しても(18, -7)です。引くベクトルの両成分を反転して足す確認は、横と縦の符号をそれぞれ点検する助けになります。

3. 左辺を成分で表して、左右を比べます。

(x + 2, y - 5) = (7, 1)
x + 2 = 7
x = 5
y - 5 = 1
y = 6

答えはx = 5、y = 6です。元に戻すと(5, 6) + (2, -5) = (7, 1)です。横の等式だけではyは決まらないので、縦の等式まで使います。

4. 移動の成分を始点の座標に加えます。

E = (-1 + 6, 4 + (-7))
  = (5, -3)

逆にEからDを引くと(5 − (-1), -3 − 4) = (6, -7)です。求めた点が指定された移動の終点になっています。成分(6, -7)そのものをEとすると、Dからの変化は(7, -11)になってしまいます。

5. 各ベクトルを実数倍して成分を比べます。

p a + q b = (2p - q, p + 2q)
2p - q = 1
p + 2q = 8

1式目からq = 2p − 1とし、2式目に代入します。

p + 2(2p - 1) = 8
5p - 2 = 8
5p = 10
p = 2
q = 2・2 - 1
q = 3

答えはp = 2、q = 3です。元のベクトルに戻すと2(2, 1) + 3(-1, 2) = (4, 2) + (-3, 6) = (1, 8)です。2本の成分の式を両方満たすため、元の等式も満たします。

手元に残す要点

• 二点間の成分は、終点の座標から始点の座標を引きます。
• 和、差、実数倍は横と縦をそれぞれ計算します。
• ベクトルの等式は横成分と縦成分の2式に直します。
• 移動の成分を始点に加え、終点に戻して確かめます。

つまずきの場所を見分ける

答えが合わないときは、まず「これは点の座標か、移動の成分か」を式の横に書いてみます。差の符号が怪しければ、始点にその成分を加えたときに終点へ着くかを調べます。等式の未知数が決まらない場合は、横と縦の両方から式を立てたかを確かめます。

個別指導で説明するときも、答えの数字だけでなく「始点 + 変化量 = 終点」を声に出して、どの点の座標を引いたかを示してみてください。2本の式に直せたら、得た値を元のベクトルの両成分に戻します。成分を移動として読み、点の位置と結び直せれば、符号の理由を自分の言葉で説明できます。