高校数学III 簡単な微分方程式と初期条件—変化率の式を積分して関数を決める｜武蔵野個別指導塾

変化率を積分してから初期点を代入し、関数を1つに定めます。対数を含む式では定義域も調べ、導関数と初期値の両方に戻して検証します。

よくあるのは、理系の高3が演習で、初期条件があるのに積分定数を残したまま答えにする場面です。導関数の式から元の関数を求めるところまでは進んでいても、指定された点を使わなければ、どの曲線を選ぶかは決まりません。積分定数を決めた後は、微分方程式と初期条件の両方に答えを戻します。この往復を使い、計算の途中で起きた符号の誤りも見つけます。

何を求める問いなのか

微分方程式は、未知の関数とその導関数についての関係式です。ここでは dy/dx = f(x) の形を扱います。右辺は x の式として与えられ、未知なのは y を表す関数です。例えば、変化率が多項式ならその原始関数を求め、指数関数や三角関数なら対応する微分を思い出して積分します。

問題には、関数そのものを求める型、指定した別の点での値を求める型、変化率と点の条件から曲線を決める型があります。いずれも初期条件 y(a) = b が曲線上の点 (a, b) を指定します。「初期」という語は時間の始まりに限りません。独立変数が x であれば、指定された x の値を基準にして構いません。

答えが y = F(x) + C のままなら、微分方程式を満たす関数の集まりを表している段階です。C が違うとグラフは上下に移動し、指定された点を通らないものも含まれます。問題が関数を求めるよう求めている場合は、その点を通る1本まで絞ります。

傾きから点を通る曲線へ

区間 I で f が連続なら、f の原始関数 F を用いて、微分方程式の解は y = F(x) + C と表せます。実際、その導関数は f(x) です。また、同じ区間で解となる別の関数を考えると、その関数と F の差の導関数は 0 なので、差は定数です。初期値 a が I にあり y(a) = b なら、C = b − F(a) と決まり、区間 I 上の解は1つに定まります。

この説明には、解を同じ区間で考えることが必要です。右辺が連続でない点をまたぐ場合、式を機械的に1本にまとめることはできません。例えば 1/x は x = 0 で定義されません。初期値が正なら、少なくともその初期値を含む正の区間で考える必要があります。

図1のように、同じ傾きの条件を満たす曲線が縦方向に並ぶと考えます。点を1つ指定すると、その点を通る曲線が選ばれます。図の曲線は模式図で、形よりも縦方向の移動に注目してください。

積分定数を先に求める方法のほか、初期値からの変化量を定積分で表す方法もあります。微積分の基本定理により、x が同じ区間 I にあるとき、

y(x) - y(a) = ∫[a→x] f(t) dt
y(x) = b + ∫[a→x] f(t) dt

となります。t は積分の中で使う文字です。x が a より小さい場合も定積分の向きに従い、符号を含めた変化量になります。この式では x = a のとき積分が 0 となり、初期条件がそのまま見えます。

初期値の位置と変化の向き

定積分の表し方では、基準点から右へ進む場合と左へ進む場合を同じ式で扱えます。ある区間で変化率が正なら、x を大きくする向きに y は増加します。基準点より左の値を求めるときは、基準点まで進む間に増えた分を引くので、積分の向きが逆になることと整合します。

変化率が区間内で符号を変えるときも、定積分は増えた分と減った分を合わせた値の変化です。符号ごとに分けて計算してもよいですが、その際は負の部分を勝手に正に直しません。初期値は基準となる関数の値であり、変化量そのものではないからです。計算の結果が初期値より大きいか小さいかを、変化率の符号と区間の向きから見積もることも、符号の検査に役立ちます。

基本例題：放物線を指定点に通す

問題：全実数 x で dy/dx = 2x + 1、y(1) = 4 である関数 y を求めてください。答えは x の式で表してください。

右辺は全実数で連続です。各項を積分し、定数 C を付けます。

y = ∫(2x + 1) dx
y = x² + x + C

ここで y(1) = 4 を使います。x だけでなく左辺の y にも指定された値を入れます。

4 = 1² + 1 + C
4 = 2 + C
C = 2
y = x² + x + 2

図2のように、点 (1, 4) が選択の基準です。C = 0 の曲線も傾きの式を満たしますが、x = 1 での値は 2 なので条件を満たしません。

確かめると、求めた式の導関数は 2x + 1 です。また x = 1 のとき 1 + 1 + 2 = 4 です。傾きの式と点の指定の両方に戻ったので、答えは条件を満たします。

同じ問題を変化量で考えると、次のようになります。

y = 4 + ∫[1→x] (2t + 1) dt
y = 4 + [t² + t] の t = 1 から x までの差
y = 4 + (x² + x) - 2
y = x² + x + 2

積分の下端を 0 と決めつけないことが要点です。基準の点から求めたい点までの変化を加えるので、指定点の値を直接使えます。

標準例題：基準点が原点でない場合

問題：全実数 x で dy/dx = 3x² − 4x、y(-1) = 5 です。y を x の式で求め、さらに y(2) を整数で求めてください。

右辺は全実数で連続です。まず原始関数を求め、負の数を代入するときは括弧を付けます。

y = x³ - 2x² + C
5 = (-1)³ - 2(-1)² + C
5 = -1 - 2 + C
C = 8
y = x³ - 2x² + 8

求めたい点での値は次のとおりです。

y(2) = 2³ - 2・2² + 8
y(2) = 8

式を微分すると 3x² − 4x となり、x = -1 では -1 − 2 + 8 = 5 です。さらに初期点からの変化を計算すると、∫[-1→2] (3x² − 4x) dx = 3 です。初期値 5 に 3 を加えた 8 と一致します。途中で変化率が負になる区間があっても、この積分は符号付きの変化量です。道のりのように絶対値を付ける必要はありません。

値だけを求めるなら y(2) = 5 + ∫[-1→2] (3x² − 4x) dx とする方法が短くなります。一方、関数全体も必要な今回の問いでは、定数 C を決めてから代入すれば両方を求められます。問いが要求するものに応じて式を選びます。

発展例題：定義域と対数を一緒に考える

問題：x > 0 で dy/dx = 2/x + x、y(1) = 3 です。yをxの式で求め、さらにy(e)を、自然対数を残さずeを用いた厳密値で表してください。ただし e は自然対数の底です。

1/x は正の区間で連続なので、その区間で積分できます。x > 0 では log x の導関数が 1/x です。以下の log は自然対数を表します。

y = 2 log x + x²/2 + C
3 = 2 log 1 + 1/2 + C
3 = 1/2 + C
C = 5/2
y = 2 log x + x²/2 + 5/2

log 1 = 0 を使いました。次に log e = 1 を用います。

y(e) = 2 log e + e²/2 + 5/2
y(e) = (e² + 9)/2

導関数を取ると 2/x + x に戻ります。x = 1 を代入すると 0 + 1/2 + 5/2 = 3 です。また、初期値から e までの変化量は 2 + (e² − 1)/2 = (e² + 3)/2 なので、初期値 3 を足すと同じ答えです。

ここで x = 0 を通る解を考えてはいけません。右辺自体がその点で定義されず、与えられた区間も x > 0 だからです。負の区間に別の式を考えることと、正の区間の初期条件から解を決めることは別の問題です。定積分で表す場合も、積分経路となる区間が右辺の連続な範囲に収まることを確かめます。

積分定数を残した答案を直す

基本例題に戻り、「y = x² + x + C」と書いて終えた答案を考えます。微分すれば確かに 2x + 1 ですが、C = 0 と C = 2 の両方が含まれます。前者は指定点を通らず、後者は通ります。微分方程式の条件は満たしていても、初期条件を使い切っていません。

図3のように、傾きの確認と点の確認を別々の関門にします。まず導関数が右辺に一致するか調べ、次に初期値を代入します。どちらか一方が違えば、解答のどこかに修正が必要です。

別の誤りとして、4 = 1² + 1 + C から C = 4 とする場合があります。4 は y の値であり、定数そのものではありません。既にある 1² + 1 を差し引いて C = 2 とします。代入する前に、左辺を y の指定値、右辺を x の指定値を入れた式として書くと、役割の混同を減らせます。

また、定積分の端点を逆にして y(x) = b + ∫[x→a] f(t) dt とすると、変化量の符号が逆になります。x = a ではどちらも b になるため、初期条件だけでは誤りを見抜けません。導関数も確認する理由がここにあります。逆に、正しい導関数でも初期条件を満たさない曲線はあります。2つの確認を省かずに行います。

練習：条件から関数を決める

各問で指定した区間の解を求めます。答えは厳密な式または整数で表してください。先に5問を解き、後の解答と照合しましょう。

1. 全実数 x で dy/dx = 4x − 3、y(0) = -2 です。y を x の式で求めてください。
2. 全実数 x で dy/dx = 6x² + 2、y(2) = 1 です。y を x の式で求めてください。
3. 全実数 x で dy/dx = cos x、y(π/2) = 4 です。y を x の式で求め、y(0) を整数で求めてください。
4. x > 0 で dy/dx = 3/x、y(1) = -1 です。y を x の式で求め、y(e²) を整数で求めてください。log は自然対数です。
5. 全実数 x で dy/dx = eˣ − 2x、y(0) = 3 です。y を x の式で求め、y(1) を e を用いて表してください。

練習の答えと戻し方

1. 右辺は全実数で連続です。積分すると y = 2x² − 3x + C です。y(0) = -2 から C = -2 となり、答えは y = 2x² − 3x − 2 です。微分すると 4x − 3、x = 0 の値は -2 で、与えられた傾きと点に戻ります。

2. 積分して y = 2x³ + 2x + C とします。1 = 16 + 4 + C から C = -19 です。したがって y = 2x³ + 2x − 19 です。微分は 6x² + 2、x = 2 の値は 16 + 4 − 19 = 1 です。初期値の 1 を定数と取り違えないようにします。

3. cos x は全実数で連続で、積分すると y = sin x + C です。4 = sin(π/2) + C = 1 + C から C = 3 です。よって y = sin x + 3、y(0) = 3 です。微分は cos x で、初期点に戻すと 1 + 3 = 4 です。初期点から 0 への変化量は -1 なので、4 から 1 減ることとも一致します。

4. 正の区間で 3/x は連続です。y = 3 log x + C に y(1) = -1 を入れると C = -1 です。答えは y = 3 log x − 1、y(e²) = 5 です。導関数は 3/x、x = 1 での値は -1 です。1 から e² への変化量 6 を初期値に加えても 5 となります。

5. 右辺は全実数で連続です。積分して y = eˣ − x² + C、初期条件から 3 = 1 + C なので C = 2 です。答えは y = eˣ − x² + 2、y(1) = e + 1 です。微分すると eˣ − 2x、x = 0 では 1 + 2 = 3 です。0 から 1 への変化量は e − 2 であり、3 を足すと e + 1 に戻ります。

別の値を求める問いでは、定数を決めた後に代入先を間違えることもあります。初期条件の x と求めたい x を並べ、どちらが基準でどちらが目的地かを確認してください。答えを基準値と変化量の和として計算し直すと、代入位置の誤りを見つけやすくなります。

手元に残す要点

• 右辺が連続な区間と初期点の位置を確かめます。
• 原始関数に定数を加え、初期条件を代入して定数を決めます。
• 基準点からの定積分を使えば変化量として値を求められます。
• 求めた関数を微分し、初期値も代入して両方の条件を点検します。

どこで止まったかを見分ける

積分はできるのに答えが決まらないときは、初期条件の x と y をそれぞれどこへ代入したか、式に印を付けてみます。初期条件は合うのに微分方程式が合わないなら、原始関数の符号や係数を調べます。微分は合うのに初期条件が合わないなら、定数の計算へ戻ります。

個別指導で確認する場合も、完成した答えの正誤に加え、図の点、代入式、微分後の式を順に説明できるかを見ると、修正する箇所を特定できます。初期点からの変化量を言葉で説明できれば、定積分の上下を逆にした誤りにも気づきやすくなります。傾きと通る点の両方がそろって、求める曲線が決まります。