高校数学III 速度から位置を求める積分—初期位置と変位を結びつけて条件へ戻す｜武蔵野個別指導塾

連続な速度の積分に基準位置を加えて、位置の関数を決めます。途中時刻の位置や2つの位置条件を使い、微分と代入で運動を確かめます。

よくあるのは、理系の高3が演習で速度を積分し、その式に初期位置を入れ忘れる場面です。原点から動き始める問題なら、たまたま正しい答えに見えることもあります。しかし出発点が原点から離れていれば、積分で得た移動分と出発点の座標を合わせなければ位置は決まりません。時刻の途中で与えられた位置を起点にする問題も含め、求めた式を元の条件へ戻すところまで追います。

何が与えられ、何を求めるのか

数直線上の点の位置を x(t)、正の向きの速度を v(t) とします。速度が連続な区間では、その区間の位置の変化は速度の定積分で表せます。まず確認したいのは、問題が求めるものが「ある時刻の位置」なのか、「2時刻の位置差」なのかという点です。前者には基準となる位置が必要で、後者は速度と両端の時刻から求められます。

出方には、時刻0の位置と速度から位置の式を作る型、途中時刻の位置から別の時刻の位置を求める型、複数の位置条件から速度に含まれる定数を決める型があります。どの場合も、位置の数値には原点と正の向きが関係します。速度が負なら、その時間帯の位置の変化は負です。負の値を計算ミスと決めつけず、数直線の向きと照らしてください。

ここで中心にするのは位置と位置差です。向きが変わる運動の総道のりを求める場合は、速さを時間ごとに足す別の判断が必要です。位置差の積分に絶対値を付けてしまうと、負の向きへの移動が正に変わり、終点の位置を復元できません。

位置差を出発点に重ねる

時刻 a から b まで速度 v(t) が連続で、x′(t) = v(t) とします。積分の基本定理から、次の関係が成り立ちます。

x(b) - x(a) = ∫[a→b] v(t) dt
x(b) = x(a) + ∫[a→b] v(t) dt

左辺の差は変位と呼ばれ、向きを含む量です。速度が m/s、時間が s なら積分の単位は m です。図1のように、基準位置から変位を加えた先が求める位置です。矢印が左向きなら、加える変位は負になります。

図1では基準位置が 2 m、変位が 3 m なので、終点は 5 m です。基準位置を変えて同じ速度で動けば、変位は同じでも終点は変わります。原点からの距離と座標も区別してください。例えば座標が -2 m なら原点からの距離は 2 m ですが、位置の式には符号付きの -2 を使います。

不定積分を使う方法もあります。v(t) の原始関数を F(t) とすると、位置は x(t) = F(t) + C と表せます。C はどの位置から動いたかを反映する定数であり、位置条件 x(a) = p から C = p − F(a) と決まります。F(0) が0とは限らないので、常に C が初期位置そのものになるわけではありません。

一方、定積分なら x(t) = p + ∫[a→t] v(s) ds と書けます。積分中の s は積分のための文字で、上端の t と区別しています。t が a より前でも、積分の上下を逆にすれば符号が反転するという約束で使えます。どちらの方法でも、速度が連続であることを確かめ、最後に位置条件と微分後の速度を調べます。

基本例題：出発位置を足す

数直線上を動く点の速度が v(t) = 2t − 2 m/s、時刻0の位置が 4 m です。0 ≦ t ≦ 3 における位置 x(t) と時刻3の位置を、m を単位とする厳密値で求めてください。

速度は多項式なので指定区間で連続です。時刻0から t までの変位を求め、出発位置 4 m に加えます。

x(t) = 4 + ∫[0→t] (2s - 2) ds
     = 4 + [s² - 2s] の s = 0 から t までの差
     = 4 + t² - 2t
x(3) = 4 + 9 - 6
     = 7

したがって位置は x(t) = t² − 2t + 4 m、時刻3では 7 m です。図2のように、速度は時刻1で負から正へ変わります。0から1までの符号付きの面積は -1、1から3までは 4 なので、変位は 3 m です。初めの 4 m にこの 3 m を加えると 7 m になり、式の値と一致します。

不定積分からも確かめます。x(t) = t² − 2t + C に x(0) = 4 を入れると C = 4 です。得られた式を微分すると 2t − 2 となり、与えられた速度に戻ります。時刻1の位置は 3 m なので、最初は左に進み、その後右へ進むという速度の符号とも矛盾しません。

標準例題：途中の位置を基準にする

点の速度が v(t) = 3t² − 6t m/s で、時刻2の位置が -1 m です。0 ≦ t ≦ 4 における位置 x(t) と時刻0の位置を、m を単位とする厳密値で求めてください。

速度は連続です。基準が時刻2にあるため、時刻0へ戻してから積分する必要はありません。時刻2から t までの変位を、位置 -1 に加えます。

x(t) = -1 + ∫[2→t] (3s² - 6s) ds
     = -1 + [s³ - 3s²] の s = 2 から t までの差
     = -1 + (t³ - 3t²) - (8 - 12)
     = t³ - 3t² + 3
x(0) = 3

答えは x(t) = t³ − 3t² + 3 m、時刻0では 3 m です。t = 0 は積分の下端2より小さいため、∫[2→0] は ∫[0→2] の符号を反転した値です。実際、0から2までの変位は -4 m ですから、時刻0の 3 m から時刻2には -1 m へ移ります。

別の方法では x(t) = t³ − 3t² + C と置き、x(2) = -1 を代入します。8 − 12 + C = -1 より C = 3 です。基準時刻が0でないときも、積分定数を位置条件に代入して決められます。式を微分すると元の速度になり、t = 2 を入れると -1 になるので、両方の条件を満たします。

発展例題：2つの位置から速度の定数を決める

点の速度が v(t) = at + 1 m/s です。a は定数で、時刻1の位置が 2 m、時刻3の位置が 12 m です。0 ≦ t ≦ 3 における a と位置 x(t) を厳密値で求めてください。位置の単位は m です。

a の値がどの実数でも速度は連続です。2つの位置の差を使えば、未知の出発位置を先に求める必要はありません。時刻1から3の変位は 12 − 2 = 10 m です。

10 = ∫[1→3] (at + 1) dt
   = (a/2)(9 - 1) + (3 - 1)
   = 4a + 2
4a = 8
a = 2

速度は 2t + 1 m/s と定まります。次に、時刻1の位置を基準として位置を求めます。

x(t) = 2 + ∫[1→t] (2s + 1) ds
     = 2 + (t² + t) - (1 + 1)
     = t² + t

よって a = 2、x(t) = t² + t m です。時刻1では 2 m、時刻3では 12 m となり、位置差は 10 m です。微分した 2t + 1 も a = 2 を代入した速度に一致します。原点から出発するという条件は与えられていませんが、計算の結果として x(0) = 0 とわかります。

別解として最初に x(t) = (a/2)t² + t + C と置き、2つの位置条件を連立しても同じです。ただし C と a の2つを一度に扱うため、位置差が先にわかる場面では差を取る方が定数を1つ減らせます。位置差の式で決まるのは a であり、その式だけでは位置の基準 C は残る点に注意します。

誤答を位置の条件で見抜く

基本例題で x(t) = t² − 2t と答える誤りを考えます。微分すると確かに 2t − 2 なので、速度だけを確認すると見逃します。しかし t = 0 を代入すると位置は 0 m で、問題の 4 m と一致しません。これは出発位置からの変位を、原点を基準にした位置と取り違えた式です。

図3のように、同じ変位を加える矢印でも、始点が異なれば終点はずれます。正しくは変位 t² − 2t に出発位置 4 を加えます。時刻3では誤答が 3 m、正しい位置が 7 m です。差の 4 m はどの時刻でも残ります。

別の失敗は、速度が負の部分を勝手に正にすることです。これは移動の向きを消してしまいます。位置差を求めるときは符号付きで積分し、求める量が総道のりなら速さを扱う、と問題文を読み直します。また、途中時刻を基準にした定積分で下端の値を足す誤りもあります。原始関数の上端の値から下端の値を引き、基準時刻を代入すれば積分が0になるか確認すると発見できます。

位置条件が足りないときの判断

速度の式だけが与えられている場合、位置を1つに決めることはできません。例えば同じ速度を持つ2つの点が、ある時刻に異なる位置にいれば、その後も位置の差は保たれます。2つの位置の差を微分すると速度の差が0になるためです。積分定数が残るのは計算不足ではなく、位置の基準がまだ与えられていないことを表しています。

逆に、位置が1時刻で与えられれば、連続な速度の積分によって他の時刻の位置を決められます。2つの位置条件があるときは、速度の式に未知数が含まれていなければ、両条件が速度から求まる位置差と一致するかを確認します。一致しなければ、与えられた条件を同時に満たす運動はありません。条件を無理に平均したり、片方を捨てたりせず、どの差が食い違うかを示すことが必要です。

積分区間の外まで速度の式が使えるとも限りません。時刻をさかのぼる計算でも、基準時刻と求める時刻を結ぶ区間で速度が与えられ、連続であることを先に確かめます。式を形式的に代入できることと、問題の条件の範囲内で位置を求められることは別です。

練習：基準を自分で選ぶ

いずれも速度は指定された時間内で連続で、位置は数直線上の座標です。位置と変位の単位は m、速度の単位は m/s、時刻の単位は s とします。答えは分数を含む厳密値で求めてください。

1. 0 ≦ t ≦ 4 で速度が v(t) = 4t + 3、時刻0の位置が -2 です。位置 x(t) と時刻4の位置を求めてください。
2. 0 ≦ t ≦ 3 で速度が v(t) = 6 − 2t、時刻1の位置が 5 です。時刻3の位置を求めてください。
3. 0 ≦ t ≦ 4 で速度が v(t) = t − 3、時刻4の位置が 1 です。時刻0の位置を求めてください。
4. 0 ≦ t ≦ 2 で速度が v(t) = 3t² + 2、時刻0の位置が 7 です。時刻1から2までの変位と時刻2の位置を求めてください。
5. 0 ≦ t ≦ 2 で速度が v(t) = bt + 2 です。b は定数で、時刻0の位置が -3、時刻2の位置が 5 です。b と位置 x(t) を求めてください。

答えと解き方

1. 速度の原始関数は 2t² + 3t です。初期位置を加えて x(t) = 2t² + 3t − 2、x(4) = 32 + 12 − 2 = 42 m です。微分すると 4t + 3 に戻り、t = 0 では -2 です。0から4までの変位 44 m を -2 m に加えても 42 m です。

2. 時刻1から3までの変位は次のとおりです。

∫[1→3] (6 - 2t) dt = (18 - 9) - (6 - 1)
                         = 4

したがって位置は 5 + 4 = 9 m です。原始関数 6t − t² の差が 4 であり、基準の位置5から増える量と一致します。速度は区間内で負にならず、この増加の向きとも合います。

3. 0から4までの変位は (4²/2 − 3・4) − 0 = -4 m です。初めの位置を p とすると p − 4 = 1 なので p = 5 m です。5 m から変位 -4 m を加えると終点の 1 m に戻ります。時刻4から0への積分を使う場合は、向きを逆にするため変位が 4 m です。

4. 時刻1から2までの変位は (2³ + 2・2) − (1³ + 2・1) = 9 m です。時刻0から2までの変位は 8 + 4 = 12 m なので、時刻2の位置は 7 + 12 = 19 m です。時刻1の位置は 7 + 3 = 10 m で、そこから 9 m 増やしても 19 m になります。

5. 0から2までの位置差は 5 − (-3) = 8 m です。積分すると 2b + 4 = 8 ですから b = 2 です。位置は x(t) = t² + 2t − 3 m です。微分すると 2t + 2、時刻0と2の位置はそれぞれ -3 と 5 となり、速度と両方の位置条件に戻ります。

手元に残す要点

位置差は速度の符号付き積分です。 位置は基準位置に、その時刻からの変位を加えます。 積分定数は位置条件から決めます。 答えは微分して速度に、時刻を代入して位置条件に戻します。

式のどこで止まっているか

式が作れないときは、数直線に原点、正の向き、既知の位置を書き、基準時刻から求める時刻までの変位を矢印で表してみます。位置差は出せるのに位置が合わない場合は、基準位置を足したか、途中時刻の原始関数の値を引いたかを調べます。式の微分が合っていても位置条件が違えば、定数の決定に戻れます。

個別指導で確かめる際も、答えの数字だけでなく、速度の符号と矢印、定積分の上下端、代入した位置条件を順に説明できるかを見ると、どこで意味が入れ替わったかが見えます。位置は変位に基準点を加えて初めて定まります。