高校数学III 関数表示の曲線の長さ—微小な線分から根号を含む積分を立てる｜武蔵野個別指導塾

高さの差と弧の長さを図で比べ、導関数から積分を立てて端点まで検算する関数表示の弧長です。

よくあるのは、理系の高3が演習で曲線の両端の高さを引き、その増加量を長さとする場面です。上に進んだ量は読み取れていますが、横へ進んだ分が残っています。坂道を横から眺めると、高さの差は道に沿った距離ではありません。どの量を足せば曲線に沿う距離になるのか、小さな直角三角形から考えます。

長さを問われたときに決めること

関数表示の曲線の長さでは、まず曲線と区間を読みます。たとえば両端の座標が与えられる型では、それぞれに対応するxを求めて積分区間にします。式とxの区間が直接与えられる型では、導関数を作って長さの積分へ移ります。長さと別の量の大小を比べる型では、計算の前に両端を結ぶ線分の長さが下限になることも役立ちます。

長さは区間内の各部分をつなげた量です。終点と始点の高さの差は、途中で下がれば負にもなりえます。一方、長さは向きを持たず、曲線をどちら向きに見ても同じです。横方向の変化も含めた小さな距離を足す必要があります。

ここでは有限な区間のグラフ y = f(x) を扱い、f′がその区間で連続であることを確かめます。端点の微分は区間の内側から考えます。媒介変数で往復する軌跡や、無限に続く区間は対象にしません。根号を含む積分は、与えられた区間で厳密に計算できる例を使います。

小さな弦から長さの式へ

区間を細かく区切り、隣り合う点を直線で結びます。横の幅をΔx、縦の変化をΔyとすると、その線分の長さは三平方の定理で √((Δx)² + (Δy)²) です。Δxを正にとれば、これは √(1 + (Δy/Δx)²) Δx と書けます。区切りを細かくすると、Δy/Δxはその近くの接線の傾きf′(x)に近づきます。

図1のように、縦の辺は小さな線分の一成分です。縦の辺だけを足すことと、斜めの線分を足すことは違います。連続な導関数を持つ曲線について、細分した折れ線の長さの極限が曲線の長さであり、次の定積分で表されます。

L = ∫[a→b] √(1 + f′(x)²) dx

a < bとします。根号の中の1は横方向に由来し、f′(x)²は縦方向の変化を横幅で割ったものに由来します。f′が連続なら被積分関数も連続なので、この有限区間の定積分は存在します。微小な弦の説明は式の意味を示すもので、1本の弦が曲線と完全に一致するという主張ではありません。

計算前には3つの点を確認します。第一に、指定区間でfとf′が連続かを調べます。第二に、端点がxの値なのか座標なのかを区別します。第三に、平方根は負にならないので、平方の形に直した後も符号を見ます。グラフの高さそのものではなく傾きが被積分関数に入る点が、面積の積分との大きな違いです。

基本例題：直線で公式を確かめる

問題：直線 y = (3/4)x + 1 の、0 ≦ x ≦ 4 の部分の長さを厳密な値で求めてください。

直線の導関数は一定で連続です。両端は (0, 1) と (4, 4) ですから、横の差が4、縦の差が3です。図2のように、この場合は曲線が線分そのものなので、積分の答えを三平方の定理と直接比べられます。

f′(x) = 3/4
1 + f′(x)² = 1 + 9/16
                  = 25/16
√(1 + f′(x)²) = 5/4
L = ∫[0→4] (5/4) dx
  = (5/4)・4
  = 5

根号は正の5/4をとります。別に、両端間の距離を計算すると √(4² + 3²) = 5 です。長さを元の図に戻すと、横4、縦3の直角三角形の斜辺と一致します。高さの増加量3より長く、横幅4よりも長いので、成分を1つ落とした答えではありません。

直線の場合に同じ答えとなる理由は、区間を何個に分けても小線分が同一直線上に並ぶからです。曲線では両端を結ぶ1本の線分は一般に曲線に沿わないので、端点の距離を計算しただけで終えないようにします。

標準例題：傾きが変わる弧

問題：曲線 y = (2/3)x√x の、0 ≦ x ≦ 3 の部分の長さを厳密な値で求めてください。

この関数は区間で連続で、右端と内点では通常の微分により、左端では右側からの微分により f′(x) = √x です。この導関数も区間で連続です。傾きは一定ではないため、代表の1か所の傾きから全体を直線とみなすことはできません。

f′(x) = √x
1 + f′(x)² = 1 + x
L = ∫[0→3] √(1 + x) dx
  = [(2/3)(1 + x)√(1 + x)] の0から3までの差
  = (2/3)・4・2 - (2/3)・1・1
  = 14/3

原始関数を微分すると√(1 + x)に戻ります。端点は (0, 0) と (3, 2√3) です。その間の弦の長さは √(9 + 12) = √21 で、14/3の二乗196/9は21より大きいため、曲線の長さは弦より長いことも確認できます。上端の高さ2√3を長さとする誤りも、この弦との比較で見つかります。

置換 u = 1 + x を使う場合も、xの区間0から3をuの区間1から4へ変える必要があります。根号を積分できても、元の端点の代入を忘れると長さが変わります。ここでは原始関数を直接微分して確かめる方法を選びました。

発展例題：両端の座標から区間を決める

まず、曲線 y = (1/3)(1 + x²)√(1 + x²) の0 ≦ x ≦ 2の部分を考えます。

与式はすべての実数xで微分可能で、その導関数も連続です。始点のx座標は0、終点のx座標は2です。終点の高さを積分の上端にしないことが、立式の最初の判断です。

f′(x) = x√(1 + x²)
1 + f′(x)² = 1 + x²(1 + x²)
                  = 1 + x² + x⁴

このままでは簡単な原始関数を得にくいので、別の曲線を考えます。y = (1/6)(x² + 4)√(x² + 4) の0 ≦ x ≦ 2の弧なら、微分して得た傾きから1 + f′(x)²を平方の形へ整理できます。次の問題を解きます。

問題：曲線 y = (1/6)(x² + 4)√(x² + 4) の、0 ≦ x ≦ 2 の部分の長さを厳密な値で求めてください。

f′(x) = (1/2)x√(x² + 4)
1 + f′(x)² = 1 + x²(x² + 4)/4
                  = (x² + 2)²/4
√(1 + f′(x)²) = (x² + 2)/2
L = ∫[0→2] (x² + 2)/2 dx
  = [x³/6 + x] の0から2までの差
  = 4/3 + 2
  = 10/3

x² + 2は区間で正なので、平方根を外す行が成り立ちます。f′も連続です。端点の高さは4/3と8√2/3で、弦の長さの二乗は 4 + ((8√2 − 4)/3)² です。これは100/9より小さく、答え10/3は弦より長いという条件を満たします。

この例で必要なのは、平方を見つけた後の符号の確認までです。平方にできない根号を見たら、勝手に項ごとに平方根を外すことはできません。問題の条件を読み直し、導関数や区間を再点検します。上の最初の式のように簡単な原始関数が得られないときは、それを得たつもりで先へ進まない判断も必要です。

高さだけを足した解答を直す

図3のように、基本例題で高さの差を4 − 1 = 3と求めるところまでは正しい計算です。しかし3は縦方向の変化です。横にも4進むため、この3を直線の長さとする結論は誤りです。

別の誤答として、√(1 + f′(x)²) を 1 + f′(x) とするものがあります。たとえば基本例題の傾き3/4では、正しい値5/4に対して後者は7/4です。二乗すると交差する項が現れるので、一般に等しくありません。平方根の中を項ごとに分けないでください。

修正するときは、まず両端の座標と横幅を書き、次にf′を計算し、1 + f′²を根号の中にまとめます。最後に被積分関数が非負であることと、答えが弦の長さ以上であることを確かめます。長さが弦より短ければ、積分の区間、導関数、原始関数のいずれかを戻って点検できます。ただし弦以上という条件を満たすだけでは正解の証明にはならないので、各変形も別に確認します。

区間と端点を取り違えないために

積分の上下端は、積分する文字の値でそろえます。点の座標が与えられた場合、まず横座標を抜き出し、その順序が小さい方から大きい方になっているか確かめます。左から右へ描くか右から左へ描くかにかかわらず、同じ弧なら長さは同じです。端点の高さを上端に使うと、元の曲線の別の部分を測ることになりかねません。

また、グラフを上下に平行移動しても傾きは変わりません。したがって同じxの区間での長さも変わりません。一方、横幅を変えれば測る部分が変わるため、同じ積分値になるとは限りません。この違いを図で説明できれば、式に高さそのものを入れる誤りに気づけます。

計算が途中で止まったときは、導関数を微分し直すのではなく、元の関数をもう一度微分して係数を確かめます。積分後は原始関数を微分し、さらに上下端を別々に代入します。計算の結果が正でも、それだけで区間が正しいとはいえません。端点の位置まで戻ることが、長さの答えを問題に結びつける確認です。

自分で試す5問

いずれも指定した弧の長さを厳密な値で求めてください。各関数の導関数が指定区間で連続であることも確かめてから立式します。

1. y = (5/12)x − 2 の、0 ≦ x ≦ 12 の部分。
2. y = (2/3)x√x + 4 の、0 ≦ x ≦ 8 の部分。
3. y = (2/3)(x + 1)√(x + 1) の、0 ≦ x ≦ 2 の部分。
4. y = (1/6)(x² + 4)√(x² + 4) の、1 ≦ x ≦ 3 の部分。
5. y = (2/3)x√x の、x座標が1の点からx座標が4の点までの部分。

練習の答えと道筋

1. 導関数は5/12で連続です。根号の中は 1 + 25/144 = 169/144 なので、長さは ∫[0→12] (13/12) dx = 13 です。両端の横の差は12、縦の差は5であり、√(12² + 5²) = 13と一致します。切片の-2は位置を変えますが、傾きも長さも変えません。

2. 導関数は√xで連続です。長さは ∫[0→8] √(1 + x) dx = (2/3)(27 − 1) = 52/3 です。両端の高さの差は 32√2/3、横の差は8です。弦の長さの二乗は 64 + 2048/9 = 2624/9 で、答えの二乗2704/9より小さくなります。定数4が両端の高さに共通していることも確認できます。

3. 導関数は√(x + 1)で連続です。根号の中はx + 2ですから、長さは ∫[0→2] √(x + 2) dx = (2/3)(8 − 2√2) = (16 − 4√2)/3 です。端点の高さは2/3と2√3で、弦の二乗は 4 + (2√3 − 2/3)² です。答えを二乗して比べると弦以上となり、元の2つの端点に対応します。

4. 導関数は (1/2)x√(x² + 4) で連続です。根号の中は (x² + 2)²/4 で、x² + 2 > 0です。したがって ∫[1→3] (x² + 2)/2 dx = [x³/6 + x] の1から3までの差 = 19/3 です。端点の高さは5√5/6と13√13/6です。横の差2とこの高さの差から作る弦は19/3より短く、長さの条件に合います。

5. xの区間は1から4で、導関数√xは連続です。よって ∫[1→4] √(1 + x) dx = (2/3)(5√5 − 2√2) です。端点の高さは2/3と16/3なので、弦の長さは √(3² + (14/3)²) = √277/3 です。答えを二乗して比較すると弦より長く、指定された両端を含む弧に対応します。

計算の手元に残すこと

• 横幅と高さの変化から小さな弦を作ります。
• 有限区間で導関数の連続性を確認します。
• 長さは ∫[a→b] √(1 + f′(x)²) dx です。
• 平方根を外す前に中身の符号を確かめます。
• 端点と弦の長さへ答えを戻します。

つまずきを見分けるには

式が立たないときは、区間の小さな部分を描き、横幅と縦の変化をそれぞれ指せるかを見ます。図に斜辺がなく縦線しかなければ、高さの差を足している可能性があります。式が書けても積分が合わないときは、導関数を差分のイメージと照らし、平方根を外す行と上下の端点を別々に追います。

個別に確認するときは、本人に「1は何を表すか」「なぜ高さではなく傾きを二乗するか」を図と式の両方で説明してもらうと、公式の暗記と量の理解を区別できます。答えが出た後も、端点の座標を代入し、弦の長さと比べるところまで手を動かします。曲線の長さは、横と縦の変化を同時に数えた先に現れます。