高校数学III 指数対数関数の極値—正の因子を分けて符号判定と値の代入を進める｜武蔵野個別指導塾

指数と一次式の積や対数を含む商を微分し、正の因子を分けた符号判定と元の関数への代入で極値を求めます。

よくあるのは、理系高3の演習で、導関数を指数因子と多項式の積に直した後、指数因子も0になるとして候補に残す場面です。指数関数は実数の範囲で常に正なので、その因子は符号を変えません。残った因子の符号を調べれば、増減の方向と極値を整理できます。対数が入るときは、計算の前に真数が正かどうかも調べます。

どこで判断が必要になるか

指数関数と一次式の積では、積の微分によって共通の指数因子が現れます。その因子を正と判断すると、残りの一次式の零点を境に符号を調べられます。符号が正から負へ変わる点では山になり、負から正へ変わる点では谷になります。

対数を含む商では、分母や対数の真数が定義域を制限します。微分後の分母が正でも、元の関数で使えない点を候補に加えることはできません。さらに、導関数の零点を求めた後は、元の関数に戻して極値を求めます。導関数へ代入して得た0は、一般に極値ではありません。

文字を含む場合は、候補が定義域に入るかで場合分けが必要です。境界で候補が定義域から外れる場合も調べ、実際に符号が変化するかを各範囲で確認します。ここで扱うのは局所的な極大・極小で、区間全体の最大・最小の比較は主題にしません。

正の因子と符号の読み方

関数fが点aの近くで定義され、aの十分近くの定義域内のxに対してf(x) ≤ f(a)が成り立つとき、f(a)を極大値といいます。不等号が逆なら極小値です。極値はその点の近くで比較する値であり、離れた場所まで比べた最大値や最小値とは区別します。

微分可能な関数では、導関数が正の区間で関数は増加し、負の区間で減少します。内点aを挟んで導関数が正から負へ変われば極大、負から正へ変われば極小です。0になることだけでは不十分で、左右がともに正なら増加が続きます。微分可能な内点で極値をとるなら導関数は0ですが、その逆は常に成り立つわけではありません。

図1のように、f′(x) = P(x)Q(x)でP(x)が調べる範囲で常に正なら、f′(x)とQ(x)は同じ符号です。eˣはすべての実数xで正です。またx > 0ならxやx²も正です。ただし負になる可能性がある因子を、符号を調べずに消すことはできません。分母が平方であっても、分母が0になる点は元の定義域から除きます。

図1の矢印は、正の因子が符号を変えないことを表しています。自然対数をlogで表すことにします。log xはx > 0で定義され、合成関数log g(x)ならg(x) > 0が必要です。最初に定義域を明記し、その範囲で微分可能かを確かめてから増減を判定します。

基本例題：指数と一次式の積

実数全体で定義されたf(x) = (x − 2)eˣの極値を求め、値はeを用いて正確に表してください。

指数関数と一次式は実数全体で微分可能なので、積の微分を使えます。まず共通因子を取り出します。

f′(x) = eˣ + (x - 2)eˣ
      = eˣ(x - 1)

すべての実数xでeˣ > 0です。したがってf′(x) = 0となるのはx − 1 = 0、つまりx = 1です。x < 1でf′(x) < 0、x > 1でf′(x) > 0なので、fは減少から増加へ移ります。図2はこの符号と元の関数値を対応させたものです。

図2の谷に対応する値は、導関数でなく元の式へ代入して求めます。

f(1) = (1 - 2)e¹
     = -e

よってx = 1で極小値-eをとり、極大値はありません。元の式に1を戻すと係数が-1、指数因子がeなので値は確かに-eです。極小値の符号が負であることも、元の積から直接確認できます。

指数因子が0に近づく方向があっても、有限の実数xで0になることとは別です。例えばxが非常に小さい負の数でもeˣは正ですから、それを零点として増減表に書くことはできません。

標準例題：対数を分子に持つ商

x > 0で定義されたg(x) = (log x)/xの極値を求め、値はeを用いて正確に表してください。

真数xと分母xはいずれも正です。この範囲でgは微分可能なので、商の微分を用います。

g′(x) = {(1/x)・x - log x}/x²
      = (1 - log x)/x²

x² > 0ですから、符号は1 − log xで決まります。log xは正の範囲で増加し、log e = 1です。したがって0 < x < eではg′(x) > 0、x > eではg′(x) < 0です。x = eでは導関数が0で、増加から減少に変わります。

g(e) = (log e)/e
     = 1/e

よってx = eで極大値1/eをとり、極小値はありません。元の商にeを戻すと分子は1、分母はeで、答えと一致します。x = 0では分母が0であり、log xも定義されません。分母が0という理由でその点を極値の候補にすることはできません。

分子1 − log xの符号を逆に読む誤りにも注意します。例えばx = 1ではlog 1 = 0なので導関数は正です。この一点で表の向きを照らし、区間全体の符号はlog xの増加によって保証します。

発展例題：候補が定義域に入る条件

実数aに対し、x > 1でh(x) = (log x − a)/xとします。aの値によって極値の有無を分類し、存在するときの値をeとaを用いて正確に表してください。

x > 1では真数と分母が正で、hは微分可能です。微分して正の分母を分けます。

h′(x) = {(1/x)・x - (log x - a)}/x²
      = (a + 1 - log x)/x²

分子が0となる候補は次のようになります。

log x = a + 1
x = eの(a + 1)乗

この候補がx > 1に入る条件はa + 1 > 0、すなわちa > -1です。a > -1なら、log xの増加により候補の左でh′は正、右で負です。よって候補で極大になります。候補をrと置けばlog r = a + 1なので、元の式への代入は次の通りです。

h(r) = (log r - a)/r
     = (a + 1 - a)/r
     = 1/r

したがってa > -1のとき、x = eの(a + 1)乗で極大値1/(eの(a + 1)乗)をとり、極小値はありません。代入後の分子が1、分母が正のrになることも元の条件と一致します。

一方、a ≤ -1ならx > 1でlog x > 0かつa + 1 ≤ 0ですから、a + 1 − log x < 0です。関数は定義域全体で減少し、極値はありません。特にa = -1では零点の式からx = 1が出ますが、1は定義域に含まれません。境界を含むかどうかを先に決めることで、この候補を誤って採用せずに済みます。

誤答を直す：零点と値を取り違えない

基本例題で「eˣ = 0またはx − 1 = 0だから、指数因子が0になる点とx = 1で極値をとり、極小値は0」と書いたとします。積が0なら因子のいずれかが0という考え方自体は使えますが、実数xについてeˣ = 0を満たす点はありません。さらにx = 1で得られるf′(1) = 0は傾きであり、関数値ではありません。

図3のように、まずeˣ > 0と書き、残るx − 1の符号を調べます。左で負、右で正なので極小です。最後にf(1) = -eと元の式へ戻します。もし導関数が0でも左右の符号が同じなら、その点を極値と呼ばず、増加または減少が続くと判断します。途中で候補が見つからない場合も、定義域内の符号を調べれば極値がないことを説明できます。

符号表を作る前の点検

指数と対数が同時に現れた場合でも、作業の順番は変わりません。例えばx > 0でu(x) = eˣ log xとすると、積の微分からu′(x) = eˣ(log x + 1/x)です。この例の括弧を v(x) = log x + 1/x と置くと、v′(x) = (x − 1)/x² です。vは0 < x < 1で減少し、x > 1で増加するため、最小値は v(1) = 1 です。したがって括弧も常に正となり、u′(x) > 0が定義域全体で成り立ちます。このように残った式の符号を調べる必要があるとき、指数因子を除く操作は問題の終わりではなく、判定の入口です。

商の微分では分子の引き算の順序も確認します。標準例題なら、分子の微分に元の分母を掛けた1から、元の分子に分母の微分を掛けたlog xを引きます。順序を逆にすれば符号表が反転し、山と谷を取り違えます。x = 1を導関数に代入して正か負かを確かめれば、少なくとも表のその区間の向きを点検できます。ただし1点の値だけで区間全体の符号を証明することはできません。

極値がないと答える場合にも根拠が必要です。導関数が定義域の各点で正、または各点で負なら、関数はその区間で単調です。内点の左右には定義域内の点があるため、どの内点も周囲の値に対して極大にも極小にもなりません。定義域が複数の区間に分かれる問題では、区切られた区間ごとにこの確認を行います。途中に存在しない点を越えて一つの増減としてつながないことが必要です。

値を求める最後の段階では、対数の性質を使う前に代入した形を残します。例えばlog r = a + 1を満たすrなら、log r − a = 1です。ここでrそのものが1になるわけではありません。分子と分母を別々に確認すると、発展例題の極大値が1/rとなる理由を見失いにくくなります。候補の式が指数を含む場合も、まず正確な形で置いてから元の式の各部分を計算します。

練習問題

各問で極大値・極小値を求め、存在しない種類も明記してください。値はeを用いた正確な式で表します。

1. 実数全体でp(x) = (x + 3)eˣとします。
2. 実数全体でq(x) = (4 − x)eˣとします。
3. x > 0でr(x) = (log x + 2)/xとします。
4. x > 0でs(x) = x(log x − 3)とします。
5. x > 1でt(x) = (log x + 2)/xとします。

練習問題の答えと道筋

1. p′(x) = eˣ(x + 4)です。指数因子は正なので、x < -4で負、x > -4で正です。x = -4で極小値-1/(eの4乗)をとり、極大値はありません。元の式に戻すと一次因子は-1、指数因子は1/(eの4乗)です。

2. q′(x) = eˣ(3 − x)です。x < 3で正、x > 3で負なので、x = 3で極大値e³をとり、極小値はありません。元の式では4 − 3 = 1となり、値はe³に一致します。

3. 真数と分母が正の範囲で、r′(x) = (-1 − log x)/x²です。分子はx = 1/eで0となり、その左で正、右で負です。よってx = 1/eで極大値e、極小値はありません。元の分子は-1 + 2 = 1、分母は1/eです。

4. 定義域内でs′(x) = log x − 2です。x < e²で負、x > e²で正なので、x = e²で極小値-e²をとり、極大値はありません。元の式に入れると対数部分は2 − 3 = -1です。

5. t′(x) = (-1 − log x)/x²です。x > 1ではlog x > 0なので導関数は常に負です。候補x = 1/eは定義域外で、極大値も極小値もありません。たとえば元の式はx = eで3/eとなりますが、この実現可能な値は停留点を意味しません。定義域内の任意の点の左右に、より大きい値とより小さい値が存在します。

練習の5問目は3問目と同じ式でも定義域が違います。3問目の候補1/eは正なので採用できますが、5問目では1より小さいため採用できません。式の形が同じでも、許される入力を変えると結論が変わります。候補を求めたら直ちに条件へ戻す習慣をつけましょう。

また、符号変化がある点と、その点での関数値は別々に書きます。たとえば2問目では場所が3、値がe³です。場所だけを書くと何を極大値とするか伝わらず、値だけを書くとどこで実現するかが残ります。両方を一組として答案に残してください。

要点

正の因子は導関数の符号を変えません。 真数と分母から定義域を先に決めます。 候補の左右で符号が変わるかを確かめます。 極値は元の関数へ候補を代入して求めます。

つまずきの診断

候補が多すぎるときは、導関数の因子を一つずつ指し、どの範囲で正か、実際に0になりうるかを問い直します。候補が正しくても値が0になった場合は、代入先がf′なのかfなのかを確認します。個別指導で途中式を見るときも、真数条件、符号の左右、元の式への代入を順にたどると、判断の抜けた箇所を特定できます。正の因子を見抜けば、極値を決める符号が残ります。