高校数学III 平均値の定理の点—割線の傾きと等しい微分係数を区間内で求める｜武蔵野個別指導塾

割線と同じ傾きの接線を探す例題で、平均値の定理を使う条件と、求めた複数の候補が開区間に入るかを照合します。

よくあるのは、理系高3の演習で平均値の定理の式を解き、求めた c が開区間に入るか確かめずに答えとする場面です。方程式の解を出すことと、定理が求める点を選ぶことは別の作業です。端点を含む範囲で関数が連続か、端点を除いた範囲で微分可能かも先に調べます。割線の傾きを出発点にして、接線の傾きがそれと一致する位置を探しましょう。

導関数による接線やグラフの考察は、数学IIIの学習範囲に含まれます。ここでは平均値の定理の点を求めることに絞り、導関数の上下限から関数値の差を評価する方法は詳しく扱いません。

どのような問いで点を探すか

1つ目は、関数と閉区間が与えられ、定理の条件を確認したうえで c を求める問いです。両端の関数値を先に計算すれば、割線の傾きは数として決まります。その数と f′(c) を等しく置き、解が開区間に入るか調べます。定理を使う条件と、方程式を解いて得た候補の条件を混ぜないことが第一歩です。

2つ目は、条件を満たす点が複数ある問いです。定理が保証するのは少なくとも1つの存在であり、1つに決まるとは限りません。導関数の方程式を解いたら、正負の候補を両方調べてから答えます。図では、同じ割線に平行な接線が異なる位置に現れることもあります。

3つ目は、条件を満たさない関数について定理を適用できるか問うものです。端点の値と導関数の式が計算できても、その間に不連続な点があれば存在の保証は得られません。条件が欠けたときにたまたま点が存在する場合もあるので、「定理が使えない」と「点が存在しない」は区別します。

割線と接線を結ぶ条件

a < b とします。関数 f が閉区間 [a, b] で連続で、開区間 (a, b) で微分可能ならば、ある c が a < c < b を満たし、次の等式が成り立ちます。これが平均値の定理です。

f′(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)

右辺は曲線上の2点 (a, f(a))、(b, f(b)) を結ぶ割線の傾きです。左辺は横座標 c の点における接線の傾きです。したがって結論は、割線と平行な接線を持つ内点が少なくとも1つある、という形でも読めます。c は点の横座標であり、曲線上の点そのものは (c, f(c)) です。問題がどちらを尋ねているかも見ておきます。

図1のように、端点を含む曲線全体が途切れず、端点の間では接線の傾きが定まることが前提です。閉区間の連続性には端点での片側からの連続も含みます。一方、微分可能性は開区間で確認します。端点で微分可能かどうかまで要求する定理ではありません。

例えば分数関数なら分母が0になる点が閉区間内にないかを確かめます。対数関数なら閉区間全体で真数が正かを確認します。区分的に定義された関数は、式の切り替わる場所で左右の値と微分可能性を別々に調べる必要があります。計算可能な部分の式だけを眺めても、区間全体の条件を確認したことにはなりません。

端点の値が等しいとき、割線の傾きは0です。この場合は開区間内に f′(c) = 0 となる点があるというロルの定理の結論になります。一般の端点値でも、割線を引いた差を考えると同じ考え方で平均値の定理に結びつきます。存在の保証は条件に基づくもので、図がそのように見えることだけを根拠にはしません。

定理を使う順番は、区間と条件、割線の傾き、導関数の方程式、開区間の確認です。候補が複数あればすべて元の傾きの式へ戻し、候補を落としていないかも確かめます。端点と一致する候補は、式を満たしても定理の点には入りません。

基本例題：放物線上の位置を決める

関数 f(x) = x² + 2x を閉区間 [0, 3] で考えます。平均値の定理の条件を確かめ、定理の結論を満たす c を分数で求めてください。また、対応する曲線上の点の座標を分数で求めてください。

多項式は実数全体で連続かつ微分可能です。よって [0, 3] で連続、(0, 3) で微分可能という条件を満たします。まず端点の値から割線の傾きを計算します。

f(0) = 0
f(3) = 3² + 2・3
     = 15
(f(3) - f(0))/(3 - 0) = (15 - 0)/3
                         = 5
f′(x) = 2x + 2

求める c では、接線の傾き 2c + 2 が割線の傾き 5 と等しくなります。方程式を解いて、その値が開区間に入ることまで示します。

2c + 2 = 5
2c = 3
c = 3/2
0 < 3/2 < 3

c は定理の条件に合います。点の縦座標も元の関数に戻して計算します。

f(3/2) = (3/2)² + 2・(3/2)
       = 9/4 + 3
       = 21/4

答えは c = 3/2、点は (3/2, 21/4) です。接線の式を y = 5(x − 3/2) + 21/4 とすれば、割線 y = 5x と傾きが等しいことも確認できます。接線に x = 3/2 を代入すると y = 21/4 となり、接点も元の曲線上にあります。

図2では端点を結ぶ線と c における接線が平行です。2本が同じ直線である必要はありません。c を求めるだけの問いなら接線の式を求めることは必須ではありませんが、平行の意味を点検するには役立ちます。

この例では導関数が一次式なので方程式の解は1つです。解が1つだった理由はこの関数の形にあり、平均値の定理そのものが一意性を保証したわけではありません。

標準例題：2つの点を残す

f(x) = x³ − 3x を閉区間 [-2, 2] で考えます。平均値の定理の条件を確かめ、結論を満たす c をすべて根号を用いて求めてください。

f は多項式なので閉区間で連続、開区間で微分可能です。まず両端の値と傾きを計算します。端点の符号を丁寧に代入することが、後の方程式の符号を守ります。

f(-2) = (-2)³ - 3・(-2)
      = -8 + 6
      = -2
f(2) = 2³ - 3・2
     = 8 - 6
     = 2
(f(2) - f(-2))/(2 - (-2)) = (2 - (-2))/4
                           = 1
f′(x) = 3x² - 3

割線と同じ傾きという条件は f′(c) = 1 です。二乗の方程式では正と負の両方を候補にします。

3c² - 3 = 1
3c² = 4
c² = 4/3
c = 2/√3 または c = -2/√3

√3 > 1 なので 0 < 2/√3 < 2 です。その負の値も -2 と 0 の間にあります。両方が開区間 (-2, 2) に入り、代入するとどちらも 3c² − 3 = 3・(4/3) − 3 = 1 です。したがって答えは c = -2/√3、2/√3 の2つです。二次方程式の解を調べ尽くしているので、ほかの c はありません。

c の値を1つ発見すれば定理の存在の結論自体は確認できます。しかし「すべて求める」問題では、それでは解答が足りません。割線の傾きが一定でも、導関数は異なる横座標で同じ値を取ることがあります。平行な接線の位置を探す問いとして読むと、2つの解の意味が明確になります。

発展例題：対数の定義域と内点の確認

f(x) = log x を閉区間 [1, e²] で考えます。ここで log は自然対数です。平均値の定理を適用できることを確かめ、結論を満たす c を e を用いた正確な式で求めてください。

区間の全点で x > 0 です。よって f は [1, e²] で連続であり、(1, e²) で微分可能です。端点の値と導関数を使います。

f(1) = log 1
     = 0
f(e²) = log(e²)
      = 2
(f(e²) - f(1))/(e² - 1) = 2/(e² - 1)
f′(x) = 1/x

割線の傾きに等しい微分係数を探します。c は正なので、逆数の式を変形するとき分母が0になる心配はありません。

1/c = 2/(e² - 1)
2c = e² - 1
c = (e² - 1)/2

残る確認は 1 < c < e² です。e > 2 より e² > 4 > 3 ですから、e² − 1 > 2 となり、c > 1 です。また e² − 1 < 2e² なので c < e² です。両側の不等式を示して、初めて区間内の答えになります。

元の傾きにも戻します。

f′((e² - 1)/2) = 1/((e² - 1)/2)
                = 2/(e² - 1)

これは両端の関数値から出した傾きと一致します。1/c = 2/(e² − 1) を満たす正の c は上の1つに限られるので、答えは c = (e² − 1)/2 です。e > 2 は、指数関数 y = eˣ の x = 0 における接線 y = 1 + x と、その右側での位置関係からも確かめられます。

対数を含む問題では、方程式を解いてから真数条件を考えると、そもそも定理を適用できる区間だったかが曖昧になります。先に閉区間が正の範囲に収まると確認し、最後に候補が開区間に収まると確認します。この2つは対象が異なるチェックです。

誤答を直す：端点は候補に残せない

次の関数を [0, 2] で考えます。f(x) = x³ − 3x² + 4x は多項式なので、閉区間で連続、開区間で微分可能です。端点の値は f(0) = 0、f(2) = 4 ですから、割線の傾きは2です。

誤答は「f′(c) = 2 を解くと c = 0 と c = 2 なので、両端が答え」というものです。実際に計算すると、この時点ですでに式の処理を間違えています。

f′(x) = 3x² - 6x + 4
3c² - 6c + 4 = 2
3c² - 6c + 2 = 0
c = 1 - √3/3 または c = 1 + √3/3

一方、端点における導関数の値は f′(0) = 4、f′(2) = 4 で、割線の傾き2とは一致しません。図3のように、調べるのは端点の接線ではなく、傾きが2となる内点です。さらに 0 < √3/3 < 1 なので、得られた2つの候補はともに (0, 2) に入ります。

もし別の関数で端点が傾きの方程式を満たしたとしても、端点は a < c < b を満たさず、定理の結論に挙げる c にはなりません。計算の誤りを直すことと、定理の範囲に合うかを判定することは別の確認です。候補を元の導関数と不等式の両方へ戻す習慣をつけましょう。

練習問題

各問で答えの形を指定します。1〜4は平均値の定理の条件を確認し、結論を満たす c をすべて求めてください。5は定理を適用できるかと、指定された傾きに等しい微分係数を持つ内点があるかを調べてください。

1. f(x) = x² − 4x、区間 [1, 5]。c を整数で求めてください。
2. f(x) = x³ − 12x、区間 [-3, 3]。c を根号を用いて求めてください。
3. f(x) = 1/x、区間 [1, 4]。c を整数で求めてください。
4. f(x) = eˣ、区間 [0, log 2]。c を自然対数を用いた正確な式で求めてください。
5. 区間 [-1, 1] で、x < 0 なら f(x) = x、x ≥ 0 なら f(x) = x + 1 とします。割線の傾きと、内点でその傾きに等しい微分係数の有無を答えてください。

練習問題の答えと解き方

1の答え

多項式なので連続性と微分可能性の条件を満たします。端点の値と傾きは次のとおりです。

f(1) = 1 - 4 = -3
f(5) = 25 - 20 = 5
(f(5) - f(1))/(5 - 1) = (5 - (-3))/4
                         = 2
f′(x) = 2x - 4
2c - 4 = 2
c = 3

1 < 3 < 5 であり、f′(3) = 2 です。もとの端点から出した傾きに戻るので、答えは c = 3 です。一次方程式なので候補の取りこぼしもありません。

2の答え

多項式は指定された区間で連続かつ微分可能です。端点と導関数を使います。

f(-3) = -27 + 36 = 9
f(3) = 27 - 36 = -9
(f(3) - f(-3))/(3 - (-3)) = (-9 - 9)/6
                             = -3
f′(x) = 3x² - 12
3c² - 12 = -3
c² = 3
c = -√3 または c = √3

0 < √3 < 3 なので両候補は (-3, 3) 内です。どちらも f′(c) = 3・3 − 12 = -3 となり、割線の傾きと一致します。答えは c = -√3、√3 です。

3の答え

[1, 4] には分母が0になる点がないため、f はそこで連続、内部で微分可能です。

f(1) = 1
f(4) = 1/4
(f(4) - f(1))/(4 - 1) = (1/4 - 1)/3
                         = -1/4
f′(x) = -1/x²
-1/c² = -1/4
c² = 4
c = -2 または c = 2

方程式には2つの実数解がありますが、区間 (1, 4) にあるのは2です。f′(2) = -1/4 で端点から得た傾きに一致するため、答えは c = 2 です。負の候補を捨てる理由は、二乗を解いた後の区間条件にあります。

4の答え

eˣ は実数全体で連続かつ微分可能です。log 2 > 0 ですから区間の順序も正しく、定理を使えます。

f(0) = 1
f(log 2) = 2
(f(log 2) - f(0))/(log 2 - 0) = 1/log 2
f′(x) = eˣ
eᶜ = 1/log 2
c = log(1/log 2)

この候補が 0 < c < log 2 に入ることを調べます。log x に平均値の定理を [1, 2] で適用すると、ある d が 1 < d < 2 を満たし、log 2 = 1/d です。したがって 1/2 < log 2 < 1、つまり 1 < 1/log 2 < 2 です。自然対数は増加するので 0 < log(1/log 2) < log 2 となります。

元の導関数に戻すと eᶜ = 1/log 2 で割線の傾きと一致します。指数関数は狭義に増加するため、これ以外の候補はありません。答えは c = log(1/log 2) です。

5の答え

f(-1) = -1、f(1) = 2 なので、割線の傾きは (2 − (-1))/(1 − (-1)) = 3/2 です。0の左からの極限は0ですが f(0) = 1 なので、f は閉区間で連続ではありません。平均値の定理の条件を満たさず、この定理は適用できません。

さらに、0以外の内点ではどちらの式も傾き1です。0では不連続なので微分可能ではありません。したがって、この関数には微分係数が 3/2 となる内点はありません。条件が欠けると結論も成り立たない場合があることを、計算で確かめた例です。

覚えておくこと

閉区間で連続、開区間で微分可能かを先に確認します。 割線の傾きと f′(c) を等しくして候補を探します。 候補は開区間に戻し、複数ある場合も残します。 定理が保証するのは少なくとも1つの存在です。

つまずきの見分け方

傾きの式は立てられるのに答えが合わない場合、まず分子の順序を f(b) − f(a) と書けているか確かめます。次に方程式の解の横に a < c < b を書き、端点や区間外の候補を一つずつ判定します。個別に考え方を確かめるなら、答えを聞く前に「この c はどの区間にあるか」「そのときの接線の傾きは割線の傾きと一致するか」と式を指して問い直します。条件と結論を別々に確かめると、平均値の定理の点を根拠を持って選べます。