高校数学III 級数の収束の必要条件—一般項がゼロでも十分でない理由を確かめる｜武蔵野個別指導塾

部分和の差から収束の必要条件を導き、調和級数を束ねた発散証明と収束する例の比較で、条件の向きを検討します。

よくあるのは、理系高3が演習ノートで、足す項がゼロに近づくことを確かめた後、無限に足した結果も有限の値に落ち着くと考える場面です。項が小さくなることと、足し続けた合計が落ち着くことは別の問いです。部分和を使って両者の関係をたどり、条件がどちら向きに使えるかを確かめます。

どの問いに使うか

1つ目は、一般項の極限がゼロでない級数を見分ける型です。級数が収束するなら一般項はゼロに近づくので、ゼロに近づかないことが示せれば収束を否定できます。和を計算できなくても判定できますが、この方法が答えを出すのは必要条件に失敗したときです。

2つ目は、一般項がゼロに近づく級数の収束を調べる型です。この場合は必要条件を満たしても結論が残ります。部分和を直接求めたり、正の項をまとまりに分けて部分和がどこまで大きくなるか調べたりします。発散を示すには、いくつかの部分和が大きいという観察ではなく、どんな大きさを指定してもそれを超えることまで示します。

3つ目は、似た形の一般項を持つ2つの級数を比べる型です。どちらもゼロに近づいても、部分和の振る舞いは一致するとは限りません。一般項と部分和の記号を分けると、何を計算したかを見失いにくくなります。

学習指導要領の数学IIIの極限には、数列の極限と無限級数の収束・発散や和が含まれます。ここでは部分和の差と有限個の項の和を使い、無限個の項を並べ替える操作は行いません。

項と部分和の役割

数列 a₁, a₂, a₃, … に対し、初項から第n項までの和を Sₙ = Σ[k=1..n] aₖ とします。無限級数 Σ[k=1..∞] aₖ が収束するとは、数列 Sₙ が有限の値に収束することです。その極限値を級数の和と呼びます。部分和が有限の値に収束しないとき、級数は発散します。

図1のように、隣り合う部分和の差として第n項を取り出せます。nが2以上なら、前の部分和に第n項を加えたものが次の部分和だからです。

Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ₋₁ + aₙ
Sₙ₋₁ = a₁ + a₂ + … + aₙ₋₁
aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁

級数が収束し、lim[n→∞] Sₙ = S とします。nが無限に大きくなるとn-1も無限に大きくなるため、lim[n→∞] Sₙ₋₁ = S です。収束する数列の差の極限をとると、次が成り立ちます。

lim[n→∞] aₙ = lim[n→∞] (Sₙ - Sₙ₋₁)
              = S - S
              = 0

したがって、級数の収束には一般項の極限がゼロであることが必要です。初項を差で表せないことは、この極限に影響しません。有限個の最初の項を除いても、nが大きいところの極限は変わらないからです。

この命題を使いやすく言い換えると、「一般項がゼロに近づかないなら級数は収束しない」です。これは対偶であり、元の命題と同じ内容です。一方、「一般項がゼロに近づくなら収束する」は逆の命題です。元の命題からは導けず、後の例で成り立たないことを示します。発散するとは限りなく正の方向へ大きくなる場合に限らず、部分和が振動して有限値に落ち着かない場合も含みます。

基本例題：必要条件に失敗する項

正の整数kについて、級数 Σ[k=1..∞] k/(k+2) の収束・発散を判定してください。

まず、一般項の極限を計算します。kは正なのでk+2はゼロではなく、分子と分母をkで割れます。

k/(k+2) = 1/(1+2/k)
lim[k→∞] k/(k+2) = 1/(1+0)
                         = 1

一般項はゼロに近づきません。級数が収束すると仮定すれば一般項の極限はゼロでなければならず、今求めた1と矛盾します。したがって、この級数は発散します。和を1と答えるのではありません。1は足し込む1項の極限であって、部分和の極限ではないからです。

さらに、どちら向きの発散かも確かめられます。kが2以上なら k/(k+2) ≥ 1/2 です。第1項は1/3なので、nが2以上のとき次の評価を得ます。

Sₙ = 1/3 + Σ[k=2..n] k/(k+2)
   ≥ 1/3 + (n-1)/2

右辺はnを大きくすると限りなく大きくなります。よって部分和も正の無限大に発散します。図2のように第2項以降は1/2以上の量を積み重ねます。初項を評価の範囲に入れないことが、項数をn-1と数える理由です。

必要条件に失敗したことだけでも不収束は示せますが、正の無限大への発散まで述べるには、上のように部分和の増え方を補うと確実です。逆に、一般項の極限が存在しない場合もゼロへの収束に失敗するため、同じ対偶で級数の不収束がわかります。

標準例題：ゼロに近づく項を束ねる

級数 Σ[k=1..∞] 1/k の収束・発散を判定してください。

各項は正で、lim[k→∞] 1/k = 0 です。必要条件は満たしますが、これだけでは判定できません。そこで有限個の項を、分母が2の累乗に達するところで区切ります。

S₁ = 1
S₂ = 1 + 1/2
S₄ = 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4)
S₈ = 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8)

第3項から第4項までの2項は、それぞれ1/4以上ですから和は1/2以上です。第5項から第8項までの4項も、それぞれ1/8以上なので和は1/2以上です。一般に、正の整数jに対して第(2ʲ⁻¹+1)項から第2ʲ項までを1組にします。項数は 2ʲ − 2ʲ⁻¹ = 2ʲ⁻¹ 個で、各項は1/2ʲ以上です。

Σ[k=2ʲ⁻¹+1..2ʲ] 1/k ≥ 2ʲ⁻¹/2ʲ
                            = 1/2

したがって、mを正の整数とすると、最初の項とm組を合わせた部分和は次のように評価できます。

S₂ᵐ = 1 + Σ[j=1..m] Σ[k=2ʲ⁻¹+1..2ʲ] 1/k
     ≥ 1 + m/2

任意の正の数を指定しても、mを十分大きくすれば右辺はそれを超えます。しかも全項が正なので、部分和はnが増えると減りません。いったん指定した値を超えた後の部分和も、その値を超え続けます。よって Sₙ は正の無限大に発散し、級数は発散します。

この証明では無限個の項を一度に組み替えていません。各mについて第2ᵐ項までの有限和を連続した区間に分けています。各項が小さくても、その数が増えると、ひとまとまりの和は小さくならないことが決め手です。一般項がゼロになるという条件だけでは、積み残される合計の大きさを制御できません。

発展例題：似た項から異なる結果へ

級数 Σ[k=1..∞] 1/(k(k+2)) の収束・発散を判定し、収束する場合は和を分数で求めてください。また、標準例題との違いを部分和で説明してください。

正の整数kでは分母はゼロでなく、部分分数に分けられます。

1/(k(k+2)) = (1/2)(1/k - 1/(k+2))
Sₙ = (1/2)Σ[k=1..n] (1/k - 1/(k+2))
   = (1/2)(1 + 1/2 - 1/(n+1) - 1/(n+2))

最後の式はnが2以上の場合を表しています。正の項のうち1/3から1/nまでと、負の項のうち対応する項が消えます。n = 1でも元の部分和は1/3であり、上の式に代入すると同じ1/3です。端に残る2項を落とさないよう、有限和で確認します。

lim[n→∞] Sₙ = (1/2)(1 + 1/2 - 0 - 0)
              = 3/4

よって級数は収束し、和は3/4です。元の和に戻してみると、和と第n部分和の差は次の正の量です。

3/4 - Sₙ = (1/2)(1/(n+1) + 1/(n+2))

この差はゼロへ向かい、部分和が3/4に近づくことと一致します。最初の項は1/3、2項目は1/8で、2項までの和は11/24です。上の部分和の式にn = 2を入れても11/24となり、開始位置が合っていると確かめられます。

こちらの一般項もゼロに近づきます。しかし標準例題では2の累乗までのまとまりが毎回1/2以上で、部分和が限りなく増えました。この例では有限和を計算すると端の2項がゼロに近づき、部分和が3/4に落ち着きます。2つの結果の差は、一般項の極限ではなく部分和の極限を調べることで判定できます。

誤答の矢印を直す

誤答は「1/k → 0 だから Σ[k=1..∞] 1/k は収束する」です。前半の計算は正しいものの、後半への矢印が逆です。収束から一般項のゼロへの接近は導けますが、ゼロへの接近から収束は導けません。図3のように、必要条件を通過した後には部分和の検討が残ります。

直すには、まず lim[k→∞] 1/k = 0 と書いた横に「判定は未完」と置きます。次に、標準例題のように連続する項を束ね、各組の和が1/2以上であることを示します。組数を増やせば部分和がどこまでも増えるため、発散と結論できます。

別の失敗は、一般項がゼロに近づかないときに、その極限値を級数の和とすることです。基本例題の1は項の極限です。級数の和を問われたらSₙを定義し、その極限が有限に存在するかを調べるという順に戻します。必要条件が使えない場合も、結論を急がず部分和に戻ることが修正の起点です。

練習：5つの判定

各級数について収束・発散を判定し、収束する場合は和を分数で求めてください。kは正の整数です。

1. Σ[k=1..∞] (2k+1)/(3k+4)
2. Σ[k=1..∞] 1/(k(k+1))
3. Σ[k=1..∞] 1/(2k)
4. Σ[k=1..∞] (1/3)ᵏ
5. Σ[k=1..∞] (2+(-1)ᵏ)/k

練習の答えと道筋

1

分子と分母をkで割ります。

(2k+1)/(3k+4) = (2+1/k)/(3+4/k)
lim[k→∞] (2k+1)/(3k+4) = 2/3

一般項はゼロへ向かわないため発散です。分母は正のkで正なので、割る操作に問題はありません。求めた2/3は項の極限であり、級数の和ではありません。

2

1/(k(k+1)) = 1/k - 1/(k+1)
Sₙ = Σ[k=1..n] (1/k - 1/(k+1))
   = 1 - 1/(n+1)
lim[n→∞] Sₙ = 1

収束し、和は1です。n = 1で部分和の式は1/2となり、元の初項と一致します。和との差1/(n+1)もゼロへ向かいます。

3

第n部分和をTₙとすると、標準例題のSₙを使って次のようになります。

Tₙ = (1/2)Σ[k=1..n] 1/k
   = Sₙ/2

標準例題ではSₙが正の無限大に発散したので、Tₙも正の無限大に発散します。一般項はゼロへ近づきますが、その事実だけでは収束は決まりません。有限の部分和を半分にした関係を使っているので、無限和に対して未確認の演算をしていません。

4

初項は1/3、公比も1/3です。有限等比数列の和を使うと、nを正の整数として次を得ます。

Sₙ = (1/3)(1-(1/3)ⁿ)/(1-1/3)
   = (1/2)(1-(1/3)ⁿ)
lim[n→∞] Sₙ = 1/2

公比の絶対値が1より小さいので (1/3)ⁿ → 0 です。したがって収束し、和は1/2です。n = 1を代入すると1/3となり、元の初項と合います。

5

偶数kでは分子は3、奇数kでは1です。どちらも1以上ですから、各正の整数kで次が成り立ちます。

(2+(-1)ᵏ)/k ≥ 1/k
Σ[k=1..n] (2+(-1)ᵏ)/k ≥ Σ[k=1..n] 1/k

右辺は正の無限大に発散するため、左辺も正の無限大に発散します。一般項は1/k以上3/k以下なので、はさみうちによりゼロへ向かいます。必要条件を満たす場合にも発散し得ることが、元の偶奇の項に戻して確認できます。

手元に残す要点

• 級数の収束は部分和の有限値への収束で決まります。
• 収束する級数では、隣り合う部分和の差から一般項がゼロに近づきます。
• 一般項がゼロに近づかないとき、級数は発散します。
• 一般項がゼロに近づいても、部分和を別に調べます。

途中式のどこを見るか

必要条件の向きが曖昧なときは、ノートに「収束なら項はゼロ」と矢印を書き、その対偶を言葉にしてみます。逆向きの矢印を書いていたら、調和級数のまとまりを自分で2組作り、それぞれの項数と下からの評価を確かめます。項の極限と部分和の極限に同じ記号を使っていないかも点検します。

個別指導では、部分和の末尾に残る項を指で追い、nを小さな値にして元の和と照合するところを確認できます。束ねる証明なら、各組の最後の分母、項数、不等号の向きを順に説明してみます。一般項のゼロへの接近は、級数の判定を始める入口です。